II. — Anamorphose

24. Principe. — Nous avons vu au n" IS qu'en substituant aux échelles régulières, qu'il est tout naturel, de prime abord, de porter le long de Ox et de Oy, d'autres échelles fonctionnelles, on peut toujours transformer en une ligne droite la courbe représentative d'une équation liant les variables auxquelles correspondent ces deux échelles.

Dans quel cas une telle modification apportée aux deux échelles Oj: et Oy d'un abaque cartésien à trois variables transformerat-elle à la fois toutes les courbes de cet abaque en lignes droites?

La réponse à cette question est facile.

Pour qu'avec les graduations

les courbes (as) constituant l'abaque soient des droites, il faut et il suffit que leur équation soit de la forme

Ceci aura lieu si l'équation proposée est

/i(ai)/3(a3)-+-/2(a2)?8(aj) -4- 1^3(313) = o.

Nous obtenons ainsi à la fois la forme des équations auxquelles cet artifice est applicable et l'indication de la manière dont cet artifice doit être mis en œuvre.

Dans le cas où il ne s'agit que de la courbe isolée constituant Tabaque d'une équation à deux variables, comme au n® 15, une telle transformation n'offre aucun avantage appréciable, le travail requis pour l'établissement d'une échelle fonctionnelle étant équivalent à celui qu'exige la détermination des points de la courbe correspondante; on n'économise, somme toute, que le tracé de la courbe réunissant les divers points obtenus individuellement. Il n'en va pas de môme ici, et Tavantage y devient très sensible.

Si le travail exigé par le changement de graduation équivaut à

ÉQUATIONS À TROIS TARIÀBLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 5l

peu près à la construclion d'une courbe, comme on aurait un certain nombre n de celles-ci à tracer, on voit que l'économie réalisée peut-être représentée environ par le travail requis par le tracé de /i — i courbes. Une fois, en effet, le nouveau quadrillage établi, il suffit d'y marquer deux points pour obtenir chacune des lignes droites destinées à remplacer les courbes qu'on aurait eu à construire point par point dans le système primitif, et qui ont, en outre, sur celles-ci l'avantage d'un tracé rigoureux.

Le principe d'une telle transformation a été indiqué, pour la première fois, par Léon Lalanne qui lui a donné le nom à* anamorphose géométrique (*). C'est sous la forme indiquée au n° 28 qu'il s'est d'abord présenté à lui et cela à propos des applications traitées plus loin aux n°^ 29 (i") et 108.

25. Exemple : abaque de tir, — Dans un travail relatif à une question de tir (>), le capitaine G. Ricci, de l'artillerie italienne, se propose de construire Tabaque de l'équation

p(c?cos<p -4- a) = d^ — a',

destinée à faire connaître a lorsque p et 9 sont donnés. Il suffît d'écrire cette équation sous la forme

é/cos© — a = o,

pour voir qu'elle rentre dans le type précédent. Nous porterons donc sur les axes les graduations

(?) 7 = ^ïCos<p,

et nous aurons ainsi pour les courbes (a)

âf« — a» d

c'est-à-dire des droites.

Le capitaine Ricci a construit cet abaque pour p, variant entre 1000 et

(') Mémoire sur les Tables graphiques et sur la Géométrie anamorphique (A, P, C, i*' semestre 1846).

(') Rivista di Artiglieria e GeniOy t. IV, p. i65 (novembre 1896). On trouvera dans le Bulletin astronomique^ t. III, p. G.! et '.>32, une série d'intéressantes applications du même principe, dues à M. Hadau.

8000 (de 100 en 100 entre 1000 et 6000, de 200 en 200 entre 6000 et 8000). pour «p variant entre 0° et 120° (de 2 en 2 entre 10* et 20^*, de i en i entre «o** et 120"), enfin, pour a variant entre — 800 et 5oo, de 10 en 10.

En vue de réduire les dimensions de l'abaque, il Fa fractionné en troi> parties accolées les unes aux autres. Pour chacune de ces trois parties In a été pris égal à o'",2o, tandis que /i varie de Tune à l'autre. Ayant adopté /i= 5oo" pour la partie qui s'étend de 8000 à 3ooo, l'auteur a réduit cette valeur de l\ à la moitié, soit à 25o", de 3ooo à 2000 et à son sixième, soit à 83"", 33, de 2000 à 1000. Il en résulte que sur les verticales suivant lesquelles ces trois abaques partiels s'accolent (p = 3ooo et p = 2000) les droites (a) changent de direction.

La fig, 2G donne une réduction de cet abaque.

26. Abaques à parallèles, — Les équations du type signale au n** 24 peuvent revêtir la forme très simple

/i(ai) ^-/2(aî) -H/sCaj) = o,

qui est extrêmement fréquente dans la pratique. Dans ce cas, ayant constitué le quadrillage de Tabaque en élevant respectivement aux axes O^ et Ojk des perpendiculaires par les points des échelles que définissent les équations

(ai) ^ = ^i/i(ai),

(«î) J^ = ^/i(aî).

on oblienl pour équation des courbes cotées (aj)