X.tangD

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. ^j

t|ui rentre dans le type ci-dessus. Nous prendrons donc, pour représenter

ar— /,tangX, j^-— /, cos^l.

rette équation, d'où

y ^ /jrtangD.

Si l'on prend l\ •= /j, on voit que la droite cotée (D) est la droite menée par l'origine, qui fait l'angle D avec l'axe des x.

Chaque horizontale M correspond à deux cotes égales et de signes contraires. Mais on peut immédiatement écrire les valeurs de ces angles horaires en temps, ce qui donne l'heure vraie du lever ou du coucher.

Si Ton inscrit ces cotes aux points de rencontre des horizontales (iH) et

Fig. 29.

yi*^-^

d^un cercle de rayon /j, ayant «on centre en un point quelconque de l'axe des X, on obtient la Ji^, 29, qui est une réduction de l'abaque construit par M. Collignon (>).

On voit que l'horizontale, passant par le point de rencontre de la verticale dont la cote est la latitude X du lieu et de la radiante dont la cote est la déclinaison D du soleil pour l'époque, va couper le cercle horaire

(') L'abaque de M. Collignon est complété par des tracés psrniettant de passer da temps vrai au temps moyen et de tenir compte de la durée du crépuscule {\. A., '1* série, t. XVIII, p. 179, et 3* série, t. I, p. 49^)-

en deux points dont les cotes sont les heures de lever et de coucher du soleil.

Au lieu de coter les radiantes au moyen des valeurs de D, on pourrait inscrire immédiatement à côré de chacune d'elles l'indication de l'époque correspondante, ainsi qu'on l'a fait sur \di Jig, 29 pour les solstices et les équinoxes.

3° Abaque des débits d^une rivière. — Le débit d'une rivière en un point déterminé est donné par la formule

où q désigne le débit exprimé en mètres cubes par seconde, (1) l'aire de la section exprimée en mètres carrés, u la vitesse moyenne exprimée en mètres par seconde.

Pour la section considérée, l'aire a> est une fonction /(A) connue de la hauteur d'eau h lue sur une échelle plongeant dans la rivière. On peut donc écrire

D'autre part, lorsqu'il ne s'agit que d'une détermination approximative, on peut prendre pour la vitesse moyenne u le produit par 0,8 de la vitesse à la surface donnée par un flotteur parcourant pendant t secondes une longueur connue e, comprise entre deux repères, en sorte que

(a) 0,8 e = ut.

L'équation (i) peut être représentée au moyen des éléments cotés

(m) X = liU^

(9) y=^Uq,

(h) y=Yj'^h)x,

et l'équation (2), ainsi que cela a été expliqué au n^ iS, au moyen de la courbe

TV

qui est une hyperbole équilatère G, dessinée sur le quadrillage défini par

Nous pouvons faire coïncider l'axe des x de ce quadrillage avec celui de l'abaque précédent, son axe des y étant dans le prolongement de l'autre et en sens contraire.

Pour construire les droites cotées (/t), il suffit de remarquer, ainsi qu'on l'a fait au début de ce numéro, que, sur la droite x = l\, ces droites déterminent l'échelle

y = hf{h).

tQDATlOItS A TROIS VIRIABLRS. ABAQUES A ENTRECROISEUE.M. 5^

L'abaque ainsi obienu ( fig. 3o) est celui qui a été établi par

ife

„mw

Îm

lea

H. Vandervin, iogÉDieur au corps belge des Ponts cl Chaussées, pour

6o CHAPITRE II.

la stalion de Hombeek , sur la Senne (*), où l'on avait e = loo". I/abaque de M. Vandervin a été construit avec les modules

/, = o™,i, /,= o'",oo?., /', = o"*,ooo5.

La Jlg, 3o en est la réduction aux '.

Le mode d'emploi de cet abaque est le suivant : La verticale passant par le point de rencontre de ^horizontale (t) et de r hyperbole G coupe la radiante (h) en un point situé sur Vhorizontale (q) (*).

Par exemple, le aS janvier 1891, à Hombeek, le flotteur a parcouru la distance des repères en ^ = 92', la hauteur d'eau étant de 12", 04. La verticale passant par le point de rencontre de l'horizontale / = 92' et de l'hyperbole G coupe la radiante 12™, oî en un point dont l'horizontale suivie jusqu'à l'échelle des débits donne q = 38™*, 5.

4" Abaques des poutres chargées. — Le commandant Ghéry (depuis lors général) a, dans sa Pratique de la résistance des matériaux ('), «lonné une série d'abaques pour le calcul des poutres chargées, traduisant pour les diverses sections usuelles l'équation

pa^T^q

déjà définie au n° 23 (4**). Pour construire ces abaques, il a eu recours au quadrillage anamorphose défini par les équations

^ = iip, y = ^t'

d'où résulte pour les éléments cotés (q) l'équation

liX = l^qy,

qui définit des radiantes issues de Torigine. Au lieu d'inscrire à côté de chacune de ces radiantes la valeur correspondante de q, le commandant Ghéry y a placé une lettre de référence renvoyant à une table placée en regard de l'abaque où se lisent les dimensions de la section donnant cette valeur de q.

On trouvera, dans la partie du Ghapitre IV consacrée au calcul des pro-

(') Annales des Travaux Publics de Belgique, 1892. Dans le même Mémoire, M. Vandervin construit un abaque de même type pour le calcul des moments d'inertie des rectangles.

On en trouve un autre pour le calcul des sections résistantes des travées droites dans une étude de M. D. Gorrieri {Atti del Collegio degli Ingegneri ed Architetti in Bologna, 1895).

(') On pourrait, à côté de chaque verticale, écrire la valeur correspondante de t obtenue par Tintermédiaire de l'hyperbole C, ce qui reviendrait à faire une anamorphose le long de Ox.

(^) Paris, Ducher et €'•; 1877.

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUKS A ENTRECROISEMENT. 6l

fils de remblai et de déblai, d'autres exemples d'abaques à radiantes {fig» ii6 à 122).

28. Anamorphose logarithmique . — Toute équation représen table par un abaque à radiantes est également susceptible d'être représentée par un abaque à parallèles.

Le type d'équation du n" 27 peut, en eflcl, s'écrire, lorsqu'on prend les logarithmes des deux membres,

Il rentre alors dans le type du n" 26, représentablc par un système de droites parallèles tracées sur un quadrillage irrégulier.

On appréciera par la suite tous les avantages de cet ingénieux artifice, dû à Léon Lalanne, et qui a constitué la première formir sous laquelle s'est présenté à lui le principe de l'anamorphose.

Pour effectuer la représentation de l'équation ci-dessus conformément à la méthode indiquée au n^ 2i, on commencera par tracer le quadrillage formé par les perpendiculaires élevées respectivement à Ox et à Oy par les points de division des échelles définies sur ces axes par les équations

(ai) ^=^ 'ilog/i(a, ),

^«î) y- ^log/!(aj).

On n'aura plus ensuite qu'à construire les droites

ce qui peut se faire, ainsi qu'on l'a vu au n^ 26, en graduant la perpendiculaire O3 à la direction de ces droites suivant la loi

(o, bu) ' ~

Àé —

s/l\ -f- Il

La construction des échelles logarithmiques (a, ), (aj) et (as bis) n'offre d'ailleurs pas plus de difficulté que celle des échelles des foDCtions /i , /a et /a lorsqu'on dispose d'un étalon logarithmique ainsi qu'on l'a fait observer au n" 6.

Au surplus, on trouve maintenant dans le commerce du papier

à quadrillage logarithmique (*), grâce auquel la construction d'un abaque de ce genre se fait avec la même facilité que celle d'un abaque non anamorphose sur du papier à quadrillage régulier.

On doit à M. R. Mehmke un autre mode d'utilisation des plus remarquables de Tanamorphose logarithmique, sur lequel nous reviendrons plus loin (n** 139) et qui consiste à substituer à certaines courbes algébriques non pas des droites, ce qui ne serait pas possible, mais de^ courbes qui peuvent être obtenues par translation d'une seule et même courbe dessinée sur un transparent.

29. Exemples : i° Quatrième type d* abaque de multiplication, — Les exemples d'application de l'anamorphose logarithmique sont extrêmement nombreux. Le plus classique d'entre eux est celui, dû à son inventeur même, qui a trait au calcul des profils de remblai et de déblai et que Ton trouvera plus loin (n° 108). Nous aurons d'ailleurs bien d'autres occasions d'utiliser ce principe dans la suite de cet Ouvrage. Aussi pensons-nous pouvoir nous borner pour le moment à indiquer l'application classique qui en a été faite par Lalanne lui-même à la multiplication (<).

Pour représenter l'équation

a, aj = «s,

il suffit, après l'avoir écrite

logai-4-logaj= logaj,

(') Nous signalerons, sur ce papier logarithmique, dont l'idée paraît due à M. W.-F. Durand, deux intéressants articles, l'un de M. René de Saussure dans la Bévue scientifique {i* semestre 1894, p. 743), l'autre du P. Poulain dans le Cosmos (numéro du 29 juin 1895, p. 390).

(') Description et usage de l'abaque, etc. (i845; 2* édition, i85i; Z* édition, i863). Les exemples d'application de l'anamorphose logarithmique sont très nombreux. Nous citerons ceux donnés par M. Collignon pour l'écoulement de l'eau dans les tuyaux {Cours d* hydraulique)^ par le colonel Goulier pour certaines corrections topométriques {Mémorial de l'officier du Génie, n" 18, 1868), par M. A. Kapteyn pour divers calculs relatifs aux machines à vapeur {Revue universelle des mines, 2* semestre, 1876), par M. A. van Muyden pour le calcul des conduites d'eau sous pression {Bull, de la Société vaudoise des ingénieurs, mars 1884 ) ainsi que pour le calcul des conducteurs électriques {Lumière électrique, 9 janvier 1886), etc.

Divers auteurs allemands, MM. G. Hermann {Das graphische Einmaleins, ..., Braunschweig, 1875), Helmert {Zeitschrift fur Vermessungswesen, 1876), Vogler {Sechs graphische Tafeln. . .j Berlin, 1877), semblent être arrivés de leur côté au même principe dont la priorité ne saurait pourtant être contestée à Lalanne.

IQUATIONS A

! TABIIBLES. IBAQt'ES A ENTRECROH^EMEMT.

X = l logai, y ~ Hoga,,

ce qui donne pour les droites (a,) Téquation

af-H/ = /losa,.

On voit qu'une fois le quadrillage construit les droiles(a]) scdclermineot 1res aisémenl. La droite ayant pour cote une certaine valeur de a, coupe, en effet, les ases Or et Oy aux points ayant précisément pour cote, dans les graduations de ces aies, la valeur considérée de a,. On obtient ainsi l'abaque représenté par la ^ff. 3i.

Fig. 3i

1* Abaque de l'équation des portéei tum faire voir comment l'anamorphose logarithmique permet de substituer à des abaques à radiantes des abaques à parallèles. Son rôle se borne dans ce cas à remplacer des llgnea droites par d'autres lignes droitesd'unc disposition plus avantageuse. On saisira par la suite tout l'intérêt d'une telle substitution, mais il est bon d'observer que l'anamorphose logarithmique permet encore de construire des abaques à lignes droites pour des équations qui ne sauraient, sans ce secours, bénéficier d'une telle simplifi-

Une

mple remarquable n

l'abaque de l'équation d

portées lumineuses (*), conslruit pour le Service des Phares par M. E. Allard qui en était alors Tingénieur en chef. Cette équation est

looLa''^ </*,

où a désigne le coefficient de transparence du milieu, L l'intensité lumineuse et d la portée lumineuse en kilomètres.

Pour construire l'abaque de cette équation, il suffit de l'écrire

log looL — — rfloga -ilogrf, et de constituer le quadrillage au moyen des formules

(a) X - — Il logrt,

(L) 7 -z /, logiooL,

ce qui donne pour éléments cotés (d) les droites (d) y = -Y^x-\- ililogd.

On commencera donc par porter sur Ox et Oy les échelles définies par les formules (a) et (L), pour élever ensuite à ces a\es, par les points de division ainsi obtenus, les perpendiculaires qui constitueront le quadrillage de Tabaquc.

M. Allard a donné à ces échelles la forme isograde (n*^8), de façon qu'en dépit de l'anamorphose le quadrillage présente un aspect régulier. II a pris pour les modules les valeurs

'1™ 'i ^"^ -77- •= I fJJJ. . ..

et a adopté, tant sur l'axe Ox que sur l'axe O/, un intervalle constant de a""".

Cela conduit à donner à a des valeurs dont les logarithmes décroissent

régulièrement de

et à L des valeurs dont les logarithmes croissent régulièrement de

— r = o,oj.

D'ailleurs, l'échelle (a) a été construite sur o"',uo de longueur, soit jus-

(') Mémoire sur l'intensité et la portée des phares^ par E, Allard (Paris, Imprimerie Nationale; 187*3).

tQUATIONB A TROIS TABIAILBS. AiÂQDBB A ENTRECROlSBlSnT. 65

I nombre dg tel que

— j\oga„ = o,t

et l'échelle (L) sur o'iSo de longueur avec une limite supérieure égale

loooDtNM), ce qui donne pour la limite inférieure Lg o,o4(7-'oeLo)-o,3,

logLo = — 0,5 = 1 ,5,

d'où

Lo= 0,3^.

\a fig. 39. reproduit un fragment de Tabaque ainsi obtenu (*)•

M. Allard a remarqué que si (a, L, d) est une solution de l'équation,

c'est-à-dire si

100 La*' = d^y

cette égalité peut s'écrire, X étant un nombre absolument quelconque,

iooX«L\a>^) =(Xrf)«

et que, par suite, \a^, X'L, Xrf/ est aussi une solution de l'équation.

On reconnaît là une application du principe de la superposition des graduations (n** âO).

L'équation ci-dessus peut en effet s'écrire

\ loo /

Sous cette forme on voit qu'elle rentre dans le type (6) du n** 21, lorsqu'on y fait

tti ^~ dy a^T-. L, as =^ a,

ce qui fait correspondre à la solution (d, L, a) la solution (Xé/, X*L, aîcr<). ainsi qu'on vient de le constater.

Si, par exemple, on prend X = — > on voit qu'à la solution (d, L, a) correspond la solution ( — > — > a^^ ). Le passage de d ci Là — et —^

\ 10 loo I <o loo

s'opère immédiatement de tête. Il n'en est pas de même de celui de a à a*<>.

Pour cette raison, les valeurs de a^^ ont été inscrites à côté de celles de a sur une seconde ligne. Il suffira donc, si la valeur de a figure dans cette seconde ligne, de prendre sur l'échelle de L la valeur de looL et de diviser par 10 la valeur obtenue pour d.

Par exemple, la verticale 0,917 (T" ligne) ou 0,4^2 (it* ligne) coupant l'horizontale 1,78 sur l'oblique 9, on a les solutions

et

a = 0,42'-^» L = 0,0178, rf = o,9.

(') PI. K du Mémoire cité.

fiQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 67

m. — Emploi d'un transparent à trois index. Abaques hexagonaux.

Anamorphose graphique.

30. Desiderata à réaliser dans la lecture d^ un abaque. — L'anamorphose, sur laquelle nous venons de nous étendre, eh perinellant de constituer Pabaque de certaines équations, uniquement au moyen de systèmes de lignes droites et, plus particulièrement, de droites parallèles, introduit une large simplification dans la construction des abaques, mais sans qu'il en résulte de changement essentiel dans leur mode d'emploi.

Celui-ci se réduit toujours à ce qui suit : prendre le point de rencontre de deux droites cotées, et lire la cote d'une ligne, droite ou courbe, passant par ce point.

Or, du fait qu'une cote inscrite en un point d'une ligne s'étend à toute cette ligne, il résulte qu'il faut, soit en partant de cette cote pour chercher un point d'intersection situé sur la ligne, soit en parlant de ce point pour chercher la cote, suivre la ligne sur une certaine étendue.

Cette opération s'appliquant à trois lignes pour chaque lecture, on risque, pour peu qu'on ait quelque défaut d*attention, de passer de la ligne qui devrait être suivie à la voisine et, par suite, de commettre une erreur de lecture.

En outre, si les valeurs des variables auxquelles on a aflaire ne sont pas de celles auxquelles correspondent des lignes effectivement tracées sur l'abaque, il faut, par la pensée, faire une inler- |)olation entre ces lignes, opération qui n'est pas tout à fait aussi simple que lorsqu'il s*agit de placer, également à vue, un point intermédiaire entre ceux d'une échelle portée sur une ligne.

Enfin, Fenchevêtrement des lignes sur les abaques précédemment décrits peut, à la longue, produire une certaine fatigue de la vue.

Ces inconvénients ne sont pas, tant s'en faut, de nature à faire renoncer à l'emploi des abaques construits comme on "vient de le dire; on peut d'ailleurs les atténuer, dans une certaine mesure, par l'emploi de traits de force convenablement espacés dans le réseau des lignes tracées (n^ 43) ; ils sont assez sensibles cependant pour qu'on se soit préoccupé des moyens de s'en affranchir.

Le but à atteindre peut, d'après ce qui vient d'être dit, être défini ainsi qu'il suit : faire en sorte que, sur l'abaqoe, une cote ne soit attachée qiCà un seul point, l'équation à représenter se traduisant par une certaine relation de position entre plusieurs points.

On trouvera plus loin (Ch. Ill) une méthode d'une grande généralité permettant d'atteindre ce but. Mais nous possédons dès maintenant le moyen de réaliser cette condition pour les équations représentables par trois systèmes de droites parallèles, grâce à une nouvelle extension de l'usage des transparents dont il a été question aux n" 13 et 18.

31. Transparent à trois index. — Si nous nous reportons au n° 26, nous voyons que pour construire l'abaque de l'équation

nous n'avons (en prenant les modules /| et /^ égaux entre eux et

les désignant alors par la seule lettre /) qu'à porter sur les axes

Ox et Oy supposés rectangulaires et sur leur bissectrice 0^ les

échelles définies par

et à élever, par les points cotés de ces échelles, des perpendiculaires respectivement à ces trois axes.

Si donc nous avons recours à l'emploi d'un transparent tel qu'il a été indiqué aux n"** 13 et 18, nous voyons que nous pourrons, grâce à ce transparent, rendre inutile, non seulement le tracé des perpendiculaires élevées aux axes Oor et Oy respectivement par les points des graduations (ai) et («2), mais encore celui des perpendiculaires élevées à Oz par les points de la gi*aduation (a.^) pourvu que, par le centre 'du transparent, point de rencontre des index I^ et I2, nous fassions passer un troisième index I3 perpendiculaire à 0.3 {/i^^' 33).

Lorsque nous déplacerons ce transparent, en lui consentant son orientation, ses trois index I|, J2 et I3 coïncideront à chaque

instant avec trois des droites que Ton s'est dispensé de tracer et dont les cotes se correspondent en vertu de l'équation donnée.

En d'autres termes, il suffit, le transparent ayant une orien* TATioir CONVENABLE ( * ), de faire passcr les index l| et\^ respec- Uvement par les points a, et a2 des axes Ox et Oy pour que l'index Ij donne a, sur l'axe Oz,

Fig. 33.

L'abaque, dans ce cas, se réduit donc aux trois échelles rectili^es (^4), {0L2) et (as), complétées par le transparent portant les trois index Ii, la et I3 (^).

Cet emploi du transparent mobile a été proposé par M. Blum, à l'occasion des calculs de terrassements, dans une Note sur laquelle nous aurons occasion de revenir (') (n® 108).

(') Poar le maintien de l'orientation du transparent, voir ce qui a été dit au D- 13.

(') Il y a lieu de se préoccuper des variations du papier en longueur et largeQr; avec un papier de bonne qualité, ces variations, bien que pouvant difTérer d'un lens à Taulrt, sont uniformes dans chaque sens, ainsi que permet de le consulter ce fait qu'un rectangle dont les côtés sont parallèles aux bords de la feuille de papier ne cesse pas d'être un rectangle. S'il reste semblable à lui-même, c'est qoe tous les angles se sont conservés sur la figure, les droites restant des droites. Par soite, l'application du transparent à trois index donne les mêmes résultats gae s'il n'y avait eu aucune variation. Si le rectangle ne reste pas semblable à loi-même, c'est que, les droites restant encore des droites, les angles ne se sont pas conservés; par suite, le transparent précédent ne peut plus servir. Mais, si r<Hi a eu soin de figurer sur l'abaque les directions des normales aux trois échelles, elles donneront, à chaque instant, les directions corrigées des trois index du transparent.

(') A. P. C, i* sem., p. 455: 1881.

Remarque, — li n'est pas essenliel que les trois échelles donnant les cotes des trois systèmes de parallèles, non tracés, auxquels on substitue les index du transparent, soient perpendiculaires à la direction de ces systèmes; il n^est même pas nécessaire qu'elles soient reclilignes. Supposant, en effet, les trois systèmes de parallèles d'abord construits, nous pouvons inscrire leurs cotes à leur rencontre avec des lignes quelconques et effacer ensuite ces systèmes en ne conservant que leurs graduations avec les lignes leur servant de support. L'application du transparent convenablement orienté sur le tableau formé par les trois échelles curvilignes conservées tient lieu des systèmes de parallèles effacés.

On peut même, si les trois graduations ne se gênent pas mutuellement dans les limites admises, les inscrire le long d'une seule et même ligne.

Mais, si des circonstances spéciales peuvent, en certains cas, conduire au choix de telles dispositions, il est, d'une manière générale, préférable sous le rapport de la précision, d'adopter des échelles perpendiculaires à la direction des index correspondants.

32. Principe des abaques hexagonaux, — Si l'on se reporte au numéro précédent, on voit que, moyennant l'emploi du transparent à trois index,. la construction de l'abaque d'une équation représentable par trois systèmes de droites parallèles se réduit à la construction des échelles des trois fonctions /"i (ai), /^{(x.^) et f^i^z) respectivement portées sur les axes Ox^ Oy et leur bissectrice Oz, avec le même module, d'ailleurs quelconque, pour les deux premières, et ce module divisé par y/2 pour la troisième. Or, il arrive souvent que ces trois échelles dérivent d'un même étalon (n^ 6), l'étalon logarithmique par exemple; il y aurait donc avantage à pouvoir constituer l'abaque au moyen de trois échelles de même module. Cette considération fait ressortir a priori l'intérêt qui s'attache à l'artifice, dû à M. Lallemand, dont il va être maintenant question et qui a encore l'avantage d'une disposition plus symétrique des échelles, celles-ci étant parallèles aux trois côtés d'un triangle équilatéral.

Cet artifice, auquel l'auteur est parvenu par une voie qui sera indiquée plus loin (n** 33), consiste à faire usage des coordonnées ainsi définies : Ayant pris deux axes Ox et Oy faisant entre eux

un aDgIe de -^ ou 120°, les coordonnées d'un point sont les

distances de Torigine O aux pieds des perpendiculaires abaissées de ce point respectivement sur Ox et Oy.

Dans un tel système de coordonnées, toute droite est représentée par une équation du premier degré

ax -h by -^ c = o.

On trouve, en outre, bien aisément, que la distance de Torigine à cette droite est donnée par

I / a* -f- 6* -h a a6 cos ^

En particulier, si Ton prend une droite perpendiculaire à la bissectrice O^s de xOy^ droite dont l'équation est de la forme

on a

fi ,