II. — Abaques à trois échelles rectilignes

A. -- Abaquks a tuois kchelles pauallèles (*).

6G. Type des équations correspondantes, — Ces équations sont celles de la forme

(') Tout abaque à poinls alignés comportant trois échelles rectilignes concourantes peut l'Ire ramené à ce type par une transformation bomographiquc rejetant à finfini le point de concours des trois supports.

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l45

[/jetant toujours mis là pour //(a/)], auxquelles est applicable la inélhode des abaques hexagonaux (n** 32). Rappelons qu'on y ramène aussi celles de la forme

en les écrivant

log/i-^log/î=log/3-

Pour représenter Téquation (E) ci-dessus par un abaque à points alignés, posons ( * )

(ai) u = /,/,,

(ai) V = hfi^

ce qui nous donne

Il «J

équation qui, avec le choix d'axes que nous sommes convenus de faire (n*» 57), définit le point

L'expression de x ne renfermant que des constantes, on voit que les points («3) sont distribués sur une parallèle C(v aux axes, dont le point de rencontre C avec AB {fig* 60) est tel que (n® 57)

^'> gb^-t;-

(') Noos supposons que a^ et a^ sont les variables indépendantes naturelles de la qaeslion (vo<> le renvoi au bas de la page 3a).

Quoique ce ne soit pas rigoureusement indispensable il est préférable, au point de Tue de la précision, que l'échelle du résultat (aj) se trouve e/i^re les échelles des {ionnées («i) et (a,). Elle pourrait d'ailleurs sans cela se trouver fort éloignée de celle-^i, voire même à l'infini si la condition imposée plus loin à /, et /, conduisait à prendre ces modules égaux.

Pour que cette situation relative des échelles soit réalisée, dans tous les cas, il font, si dans l'équation ( E ) les fonctions /, et f^ sont de signes contraires, adjoindre à l'une d'elles le signe — de façon que dans l'équation («3)0 les deux termes du premier membre soient de même signe.

Par exemple, si l'équation (E) s'écrit

f\ yj — /a»

les fonctions/, et /, étant positives, on pose

■ 46 CHIPITKB III.

Si donc nous représentons par

l'écliclle de la fonctioa déterinioée s puisque iv n'est antre chose que j', que

urcet axe, nous voyons, nous avons

En résumé, ayant clioisi arbitrairement les modules U et /», et en ayant déduit le module h par la formule (2), nons voyons que, pour construire l'abaque de l'équation (E) ci-dessus, il suffit, ayant pris sur la droite AB le point C tel que la formule (1)

Pi g. 60.

xoit vérifiée, de mener par les points A, B, C trois axes parallèles Ah, Bc, Civ et de porter sur ces trois axes, à partir de leurs origines A, B, C, respectivement les échelles définies par les formules {a,), {^^) et {^^).

Il est d'ailleurs très Facile de donner le principe de celte sorte d'abaque par un procédé purement élémentaire, équivalant au fond à l'emploi de coordonnées parallèles, mais ne faisant pas intervenir explicitement leur notion.

Si l'on coupe les trois axes Am, Bf , Ctv par une transversale quelconque MN qui les rencontre en M, N, P, on a, par construction,

PM CA h 7,

Donc le point P est le barycentre des points M et N respectiçement affectés des coefficients ^ e^ y-« Il en résulte que (*)

ou, en vertu de l'égalité (2) supposée vérifiée, que

AM BN CP /i "^ /î "" /3 '

Or, toujours par construction, on a supposé les cotes a^, 0L2 et aj inscrites aux points M, N et P, telles que

AM = /,/„ BN = /,/,, CP = /,/3.

L^égâlité précédente devient donc

Remarque, — Dans le cas particulier où l'on prend pour les axes Am etBi^des modules égaux l^ = /2» ^^ formule (i) montre

que Civ se confond avec Oy, et la formule (2) que l'on a /$ ^-: 7 »

ce qui d'ailleurs était évident a priori,

67. Disposition et limitation des échelles, — C'est la libre disposition que l'on a des modules /| et l^ qui fait toute la souplesse de la méthode. Rappelons que dans la méthode des abaques hexagonaux (*) ces modules sont nécessairement égaux; il en résulte

(') Rappelons en deux mois le procédé élémentaire qui donne cette formule.

Oo a