PN

CP-

-BN

-CP

CP-

-BN

= CP

(') Rappelons aussi qu^outre le passage des index correspondants parles points (x, ) et (34), cette méthode exige le maintien de Toricntation du transparent, sujétion dont est aiïranchie la présente méthode.

que si, en appelant a^ et b^, as et 62 les limites respectives de ai

et de a2, les différences /< (6^) — /i(ai) et/a(62)— /aC^a) présentent entre elles un notable écart, les longueurs des échelles (a^) et {0L2) offrent le même caractère. Avec la méthode actuelle, rien de pareil,; on est même libre, dans tous les cas, de donner aux deux échelles la même longueur.

Plaçons-nous d^abord dans ce cas idéal, quittes, dans la pratique, à nous en écarter plus ou moins pour satisfaire à d'autres convenances.

On peut tout d'abord se donner arbitrairement la longueur L des échelles qui appartiennent en général à la catégorie des échelles dites usuelles (n" 5) ou de leurs dérivées (n° 6). Les modules 1% et I2 sont alors donnés respectivement par

et le module /$ par la formule (2) du n° 66. On peut faire alors l'analyse des échelles (a,), (aa) et (aj), comme cela a été indiqué au n*» 2.

Si cette analyse faisait reconnaître que certains intervalles sont trop petits, il n'y aurait qu'à multiplier les trois modules d'abord choisis par un même nombre,

Portons alors sur deux axes parallèles les échelles (a^) allant du point P^ au point Qi, et (aa) allant du point P2 au point Qa (/^•6.)(').

L'inclinaison de l'axe AB, non tracé, des origines, par rapport aux axes de coordonnées A m et Br étant quelconque, nous sommes libres de choisir les points P< et P2 sur une même perpendiculaire

( ' ) Sur cette figure et les suivantes la portion graduée de chaque axe est indiquée par un trait gras.

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l49

à ces axes. Les longueurs des échelles étant égales, la figure PfQiQjPj formée par ces échelles est un rectangle. Puisque rëchelle («3) sera parallèle à celles-ci, le plus petit angle sous lequel elle sera rencontrée par l'index servant à la lecture sera ëgal à Tangle Q|P<Q2. Gomme, d'autre part, l'écartement des axes est quelconque, nous pourrons en disposer de façon à donner à cet angle telle valeur qu'il nous plaira. Si, par exemple, nous

adoptons la valeur -? nous n'aurons qu'à prendre l'écartement

Pi Pa des axes égal à la longueur P| Qi des échelles. Le quadrangle limite de l'abaque sera alors constitué par un carré et l'index coupera toujours les supports des échelles sous un angle compris entre

-7 et -• 4 a

Traçons alors la parallèle P3 Q3 aux axes telle que

PiPj l^

Fi Pi il

et choisissons un couple de valeurs a'^ et a',, des variables ai et cl2j pour lesquelles la valeur correspondante a, de la variable a3 se déduise très aisément de l'équation donnée.

Tirant sur la figure la position correspondante R| R2 de l'index nous obtenons sur P3Q3 le point R3 coté a^. Connaissant ce point et le module l^ nous pouvons très aisément construire l'échelle de la fonction /^^ en la limitant d'ailleurs aux droites P| P2 et Q^ Qj.

Tel est le type théoriquement le plus parfait de l'abaque à supports rectilignes parallèles. On pourra en pratique s'en écarter plus ou moins.

Il est bien évident, par exemple, que si les valeurs de /| et /a calculées plus haut ne s'expriment pas par des nombres simples, on les arrondira pour qu'il en soit ainsi, ce qui introduira une inégalité entre les longueurs des échelles; d'autre part les nécessités du format pourront conduire à réduire l'écartement des axes et,

par suite, à abaisser un peu la limite inférieure 7 qu'on s'était

d'abord imposée pour l'angle de l'index avec les supports.

Il peut arriver d'ailleurs que pratiquement les valeurs limites de chaque variable a, et CL2 n'aient à être associées qu'à une certaine partie de l'échelle de l'autre. Dans ce cas l'échelle (as) pourra être réduite de longueur.

CBAPITRE III.

Supposons, par exemple, que l'abaque ne soit utilisé que pour des valeurs de ai et de a2 satisfaisant à une égalité telle que

F(ai,aî)>o.

Considérons toutes les positions limites de Tindex, c'est-à-dire celles qui joignent les points dont les cotes satisfont à l'équation

F(ai,aj)=o.

Ces positions limites enveloppent une courbe C i^fig* 62 et 62 6{.$) et l'inégalité de condition signifie, selon le cas, que l'index doit ou être extérieur à cette courbe, ou, au contraire, la rencontrer. La position extrême de l'index sera l'une des tangentes menées de Qi et de Qa à la courbe C. Si l'inégalité donnée exprime que l'index doit être extérieur à la courbe C, l'échelle (aa) ne devra être construite qu'entre les points P^ et Qj (Jig* 62); si, au con-

Fig. 6a.

(aj

traire, elle exprime que l'index doit rencontrer la courbe C, l'échelle (aa) devra être construite entre les points P3 et Q', {fig* 62 bis),

68. Fractionnement des échelles, — On peut effectuer le fractionnement des échelles comme dans le cas des abaques hexagonaux. Soient C\ et c^ des valeurs des variables ai et <i^ intermédiaires entre leurs limites respectives «i et 6|, «2 et 62*

On pourra fractionner l'abaque en quatre autres ainsi limités :

I «1 entre a\ et ci, aj entre a\ et Cj,

II «1 » Cl et 6|, aj » C2 et 62,

III «1 » ai et Cl, aj » Cj et 6j,

IV ai » Cl et 61, aj » aj et Cj.

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l5i

Nous pourrons construire Tabaque I au moyen de trois axes parallèles (a^), («2), (as), gradués sur leur côté gauche par exemple {fig' 63), et Tabaque II au moyen des mêmes axes gradués sur leur côté droit, le rapport j- des modules étant, bien entendu, supposé le même dans les deux. cas.

Fig. 63.

(ir)

(no