TETE V

to,

Cm)

avancer de dix minules l'origine de chaque heure, ce qui donne la chiffraison affectée de V indice i. Avec une halte de dix minutes par deux heures, on obtient de même la chiffraison affectée de Yindice 2.

Exemples numériques :

1° Temps mis par une troupe marchant à la vitesse de 8o™, pour parcourir 37^"*. La position (I) de l'index, marquée en pointillé sur la figure, donne (chiffraison de gauche)

T r:. 7^41'» (sans haltes),

T — 9** 1 1'° (avec une halte par heure),

T - 8**2i"* (avec une halte par deux heures).

•?/' Profondeur d'une colonne qui s'écoule en 17 minutes à la vitesse de 9^'". La position (II) de l'index, avec la chiffraison de droite pour T, donne iG*"",! ou 16 10".

3° Profondeur d'une colonne qui défile en 4 minules à la vitesse de 72". On applique ici le principe des multiplicateurs correspondants (n** 21) en

IQUATIONS À TROIS VABIAILES. ABAQUES A ALIGNEMENT. ■ lây

multipliant V par lo, ce qui e^ige que la lecture E soit divisée par lo, ou, ce qui revient au même, faite en décamètres- La position (111) de l'index, avec la chiffraison de droite pour (T), donne 28'>°>,S ou MS".

Nous avons insisté sur les détails de construction des abaques de ce genre parce qu'ils sont d'un usage courant dans la pratique. Ce qui vient d'élre dit suffira, espérons-nous, à éviter tout Làtonnement dans les applications de la méthode. On en trouvera d'ailleurs par la suite d'autres exemples (n°* 71, 90, HO, 411, 112).

70. Composition des échelles. — Nous allons, pour plus de simplicité, raisonner ici dans le cas de trois échelles, mais il sera facile de voir que ce qui va être dit s'étendrait immédiatement à un nombre quelconque d'échelles.

Soient donc trois échelles à supports parallèles \,u,, AiUi,

Aj«i (yî^. 67), définies respeclivemeul par les formules

Traçons trois nouvelles échelles A13 lèlesaux premières, telles que

13, AijUij, AgiUsi paral-

AiAm

A,A„ A,Aj,

l58 CHAPITRE III.

et définies respectivement par les formules

(ûtjs) Wjj— liz/tii

(«si) "31= /ji/ji,

les modules /12, /s s 7 ^si étant liés aux précédents par les formules

Izx

D'après ce qui a été vu au n° 66, les cotes ttia, a23, asi des points obtenus sur ces échelles en prenant des alignements entre les points cotés ai, a^, as sur les trois premiers axes, seront telles que les équations

seront satisfaites.

Mais, en outre, d'après ce qui a été vu au n® 66, les points M| 21 M23 et Mai sont les barycentres des points M|, M2, M3 pris deux

à deux et respectivement affectés des coefficients r' t* T' P**"

suite, les droites Mi^Ms, M23M1 et M3, M, passent par un même point M|23 qui est le barycentre des trois premiers points. Ce point M|i3 se trouve donc sur une parallèle aux axes menée par le barycentre Ai2s des points A,, Ao, A3 respectivement affectés

des coefficients 7-» / ' r ^^ ^ ^^^ distance W|2» du point A123 telle

i\ ff 13

que

"m ^ "2 !i? !fi

lus II /j /j

le module /|23 étant défini par

liti II /j /j

ÉQUATlOlfS A TROHS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 169

Si donc on porte sur l'axe A|23W|23 l'échelle (a, 23) définie par la formule

on voit que les valeurs correspondantes de ai, a2, as et ai23 satisferont à l'équation

/l -^/l -h/s = /lî3 )

et l'on peut remarquer que si l'on se donne trois des sept variables ^•> *2^ «3» «12, a23, aju, a, 23, il suffit de prendre quatre alignements pour obtenir les quatre autres.

Tel est le principe de la composition des échelles parallèles énoncé par le commandant du Génie Bertrand dans le Mémoire d'où est extraite l'application qui suit.

Il suffit d'écrire a^ au lieu de ai 23 et de poser /i 23 ^= ~^/*j pour que l'équation précédente prenne la forme

La généralisation évidente dont nous parlions au début de ce numéro montre qu'on pourra de même obtenir ainsi la représentation des équations de la forme

c'est-à-dire de celles qui ont déjà été envisagées au n** 37.

Dans le cas où l'on n'aurait pas besoin de considérer les équations obtenues par le groupement des échelles deux à deux, trois à trois, . . ., il serait inulile*de graduer les échelles résultantes correspondantes.

71. Exemple : Abaque des distributions d'eau. — Cet abaque est celui à propos duquel le commandant Bertrand (i) s'est trouvé amené à

énoncer le principe ci-dessus. II Ta établi en partant des formules do M. Flamant.

(') Description et usage d'un abaque destiné à faciliter la solution des problèmes relatifs à la distribution des eaux {Revue du Génie militaire^ t. VIII, p. 475; 1894).

Le Mémoire a été tiré sous forme de brochure à part mise en vente à la librairie Berger-Levrault.

l60 CHAPITRE III.

Soient :

/ la longueur de la conduite,

d son diamètre,

g son débit,

h la perle de charge,

y la pente de la ligne de charge.

p la puissance de la conduite,

r sa résistance,

u la vitesse,

e la variation de prix (^).

Entre les sept premières de ces quantités, on a les équations

(,) l\ogq^ logA --= — logr,

(9.) — logA-f- log/ = — h)gy,

(3) log/-+-^log^^log/>,

(4) ^log(7-logA-i- log/ =^logrf-C,

G étant une constante numérique.

Ces quatre équations permettent de calculer quatre des quantités qui y

entrent en fonction des trois autres. On voit immédiatement qu'on peut ,

appliquer a leur ensemble le principe de la composition des échelles en

prenant

0Li~g, di—hy ^i^f,

aijsr, «is^y, dz\~^Pi

puis

fx^-Ao^q, ft^-^ogh, /jslog/,

/,îi- — logr, /î3 — -logy, /si^logp,

/i«^-^logrf-C.

Enfin l'auteur a choisi pour les modules les valeurs

L'abaque ainsi obtenu par le commandant Bertrand est celui que représente la Jîg. 68, avec une réduction d'un peu moins de -•

( ' ) Pour la définition de ces termes divers, je renvoie à la brochure du commandant Bertrand.

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l6l

Au diamètre (i et à la résistance r sont respectivement liés la section s et le débouché o par les formules

Il sufGra donc, pour avoir ces nouvelles quantités, d'accoler aux échelles {d) et (r) déjà construites des échelles (5) et (3) établies ainsi qu'il a été dit au n" il. Ces échelles se trouvent sur la ^ff. 68. On voit, en outre, que l'échelle du débit a été graduée en double suivant que l'unité admise est le litre par seconde ou par minute.

On reviendra plus loin (*) sur la construction des deux dernières échelles, celles de la vitesse u et de la variation de prix e.

Il convient de remarquer, en ce qui concerne l'inscription des graduations, l'innovation introduite par l'auteur et qui consiste à donner en toutes lettres l'indication de chaque ordre décimal, ce qui fait qu'il suffit d'inscrire un seul chiffre en face de chaque point.

B. — Abaques a deux échelles parallèles (-).

72. Type des équations correspondantes . — Le choix des origines sur les axes Au et Bv étant quelconque, on peut placer ces origines aux points où ces axes sont rencontrés par le troisième support. Les points (ai), (a2) et (ol^) ont alors respectivement pour équations

(«3)0 7- -^-/jT- = O,

/i et I2 étant des modules quelconques, ce qui donne, pour l'équation représentée,

Prenant toujours la droite AB comme axe des x en plaçant

(') Renvoi du n» 99.

(-) Une transformation homographiquc permet de ramener à ce type tout abaque à points alignés comportant trois échelles rectilignes quelconques, en rejetant à l'infini l'un des sommets du triangle formé par les trois supports.

S»J1«UJV0»Q

•cimêli

• melrea i Melres

-J..,J..|.I IsliW lMyl„.^i„ly,l|,,L

••COnd*

• •'•! ' ri'iiiii

2 3 % St169|

I ' l'i'iMiil ""I • ri

I 3 % SdSsIl 2 3^

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9 3 %S9189| Cent de mille

Millions

•inuiui j«d •aJlllo^svH

9puooe« jvd «ao)!!

4 6 8 i. 9 9 apuooec jed taJii|iMO

l'origine O au milieu de AB et adoptant le sens OB comme sens positif y on voit que le point (aj) est défini par

(aj) X — ri—Y "7"'

si l'on pose OB = 0.

En résumé, pour représenter par un abaque à points alignés l'équation (E) ci-dessus, // suffit^ ayant pris sur Ox les points A et B symétriques par rapport à O (le point B étant sur la partie positive de O x), et mené par ces points deux axes parallèles \u et Bp, de porter sur les axes A //, Br e/ Oîc, « partir de leurs origines \^ Bet O, respectivement les échelles définies par les formules (oLi)^ (7.2) et (as).

Remarque. — Pour que les échelles des variables (ai) et (aa), prises comme indépendantes, comprennent l'échelle (as), il faut que la fonction /s soit constamment positive entre lels limites considérées. Si elle devenait négative à partir d'une certaine valeur, on aurait recours à un fractionnement (n** 63) en posant

73. Disposition des échelles {^). — Faisant en sorte, en vertu de la remarque précédente, que les points («3) soient situés entre les axes Ai* et Bf, on pourra toujours, comme on l'a vu au n** 67, disposer de l\ et /j de façon à donner au\ échelles (aj) et (aj), entre les limites adoptées, la même louj^ueur, les droites Vx P, et Q, Q, qui joij^nent leurs extrémités ayant (railleurs une inclinaison quelconque par rapport à la direction des axes A M et Bp, telle cependant, quant à présent, que l'angle PiQîPi soit inférieur à l'angle PiFjQ2Cy'>. r)9).

Nous sommes libres également de disposer de l'écartement des axes parallèles. Fourrons-nous encore ici le fixer de manière que l'angle sous lequel l'index rencontrera le support P3Q3 de l'échelle (aj) ne tombe pas au-dessous d'une certaine limite?

Si, par le point P|, nous menons des parallèles d'une part Pi 5^1 au

(') La discussion mathématique de la meilleure disposition à donner à un tel abaque, développée dans ce numéro, n'est évidemment pas indispensable à Tapplication de la méthode; elle est intéressante toutefois en ce sens qu'elle fait connattre une disposition limite permettant de tirer de la méthode les plus grands avantages. En pratique, on ne s'y astreindra pas toujours, se contentant d'une sorte de tiUonnemont; mais nous avons tenu, dans les applications subséquentes, à nous y conformer rigoureusement de façon à fournir de véritables modèles théoriques.

tQUlTIO^B A TROIS VIRIIBLES. ABAQUES A ALIG.NEHENT. 1 6^

support PiQ), de l'autre aux diverses positions de l'index, nous voyons

Q]P,Qi de l'angle que l'index fait a angle varie, en effet, de QjPtQi ou

k'ec les supports parallèles. Ce dernier PiQiPj à P,PiQ, en passant par -,

et nous venons de supposer par hypothèse P,QiPi< PiP.Qi- Toute 1» question revient donc à fiser la position relative des échelles, de façon ii rendre l'angle QtPiJt te plus grand possible.

Si d'abord, en conservant l'inclinaison de la droite Qi Qi, nous changeons l'écartement des axes, toutes les largeurs devront être roodirices proportionnellement. Le problème peut donc s'énoncer ainsi : Parmi tous Us couples de points Qj et y, pris sur la droite Q[ Qi et tels que le rapport

je ■L toit constant, quel est celui qui est vu du poîn grand angle ?

Soit (fig. 70) q't, Q', l'un quelconque de ces couples de points. Pour<

obtenir un autre quelconque 7Î, Qî, nous n'avons, après avoir joint les points q'j et Q', à un point quelconque S* de Q, P|, qu'à mener par P| des parallèles P,?;, P,Q; aux droites S'^-;, S'Q',. Il suit de là que l'angle

l66 CHAPITRE III.

SOUS lequel le segment qlQl est vu du point Pi est égalàTangle ^', S'Q',. C'est donc ce dernier qu'il s'agit de rendre maximum. Il le sera lorsque le cercle circonscrit au triangle ç^'jS'Qj, cercle qui passe par les points fixes y 2 et Qj, sera de rayon minimum, et cette circonstance se produira lorsque ce cercle sera tangent à la droite PiQi. Soit alors S son point de contact. L'angle maximum est donc égal à q'^ SQ, et les points f/ii Q2 correspondants s'obtiennent en menant par le point Pi les paral- ■/ '' tvv lèles PiQi et PiQi à S^'j et à SQ^. Le problème est ainsi résolu. On peut en mettre le résultat sous forme analytique. En effet, de ce que

Q^'=-Qi^',xQiQi, il résulte, par proportionnalité, que

QiPi =QigîXQ,Q,; nu, si l'on représente par k le rapport constant ^ > que

' AQiP, =QiQ, ,

ou encore, si l'on appelle L la longueur PiQi des échelles parallèles, D la distance QiQi,

Alors

Appelons a^ et 63 les valeurs de la variable aj correspondant aux points P3 et Q3 (/i/^. Cg). Nous avons, en vertu de la formule (2) du n° 57, et en nous reportant à l'équation («3)9 du n° 72,

Pi P-i __ /i/3(Wl Q1Q3 ^^A(h,)

£1^3 ^ fiAJa,) QiQz ^ /i/»(63^

PiPî fiAiot) -+- /i' QiQi iiA^b,) -^ /,*

et, par soustraction.

/^- Q1Q2 lliA{<h)-^fi\[liA{b,)-^l,] ou

Si la valeur de la fonction A est infinie pour Tune des limites, 6, par

exemple, on a

ji =

Il n'y a plus qu*à porter cette valeur de k dans la formule (1).

L'écartement qui vient d'être déterminé, en vue de rendre maximum l'angle ^iPiQi, est indépendant de l'angle que QiQi fait avec Q|Pi. Si Ton fait varier cet angle, les points ^j et Qj parcourent les cercles décrits de Qi comme centre avec les rayons

Qi^î = -^' QiQi = L/Z,

va:

et, puisque le point Pj se trouve entre ces deux cercles, l'angle gtPiQt augmente au fur et à mesure que QiQî se rapproche de QiPf (^^. /i)*

Fig. 71.

Mais on ne saurait faire croître cet angle indéfiniment, parce que l'angle PiPjQt devenant, contrairement à l'hypothèse faite jusqu'ici, plus petit que PiQiPs) décroîtrait indéfiniment.

Arrôtons-nous dans la position pour laquelle les angles PiQîPî cl Pi Pî Qi sont égaux. Le triangle P| Qj 72 est alors isoscèle, et le point Qj se trouve sur le cercle décrit de Pi comme centre avec l'écartement D, calculé par la formule (i) pour rayon.

D'autre part, les triangles PiQi7t et PiQiQî ayant un angle commun Qi compris entre côtés proportionnels, car

QiQî Qi Pi

QiPi QiÇ'i

sont semblables, et le triangle QiF^j^j est lui-même isoscèle.

En résumé, ayant fait choix des modules li et /j, de façon que les deux échelles (aj) et (aj) aient une même longueur L, et ayant calculé k par la formule (?.), on prend pour point Qj l'un des points de rencontre des cercles décrits de Pi et Qi comme centres avec le rayon L/^. Le support de V échelle («3) est alors une droite antiparallèle de PjQi et PîQj par rapport à PiPj et QiQj.

l68 CHAPITRE III.

Il va sans dire, encore une fois, que la disposition des échelles qui vient d't^tre étudiée, théoriquement la meilleure, ne s'impose pas rigoureusement dans la pratique, et qu'il suffira, pour les applications, de choisir une disposition qui n'en soit pas trop éloignée.

On pourra notamment substituer aux valeurs de /i, de /j et de k rigoureusement calculées des valeurs arrondies qui n'en dilTèrent pas beaucoup.

Remarque. — Si les points P3 et Q3 coïncident respectivement avec les points Pi et Qj, on a A' = 1, et les triangles PiQiQî, PiQiPt sont équilatéraux. Mais le minimum de l'angle de l'index et du support PaQs descend ici nécessairement à zéro.

74. Exemples : i** Septième type d* abaque de multiplication ('). — Écrivons l'équation de la multiplication

sous la forme

Elle sera dés lors représentable (n° 72) par les systèmes de points cotes

(22) t; = /jai.

(as) .3^ = 0

Convenons de faire varier ai et aj de i à 10. Puisque les segments

portés sur Aw et Bp sont de sens contraires, et que u décroît lorsque «i

augmente, le sens de la graduation sera le même sur les axes parallèles.

Prenons dès lors

ai = 10, ^1 = 1,

ce qui nous donne

et, en outre

Mài) — ft{ai) = — I -H 10 = 9.

î/échelle (a,) étant régulière, prenons pour cette échelle la graduation du décimèlre, c'est-à-dire

d'où

(*) Corrélatif du troisième type (n-27).

Pour que Féchelle (ai) ait môme longueur, il faut donc que

d'où

La formule (2) du n^ 73 donne alors

( — -h l)(lO-4- l)

\io / II

■" " ' ' ' m ^ JLJL £t • • •

La formule (i) du même numéro donne donc à son tour

D = lo'^".

Nous prendrons

II est dès lors facile de construire le parallélogramme PiQiQiPs

ijig^ 7^ ) ( * ), dont les côtés Pi Pj et Qi Q, sont égaux à 1 0"°, les côtés Pi Qj

ctP,Q,à9«».

Fig. 72.

(» ) L^/ig. 7a est une réduction de Tabaque tel qu'il a [été construit et qu'il se irouTe décrit dans le texte.

Pour construire le support PsQade l'échelle (as), il sufCt de se rappeler que ce support se confond avec l'axe AB des origines. Or, le point Pi coté lo a pour coordonnée m,

lo lo

et le point Qj cote i a pour coordonnée c,

Il suffit donc de prolonger PiQi de !'='" du côté de Pi, et P2Qîde i*^ du côté de Qj pour avoir les points A et B, et, par suite, la droite AB

ou P5Q,.

La graduation (a^) est immédiatement obtenue, puisque c'est celle même d'un décimètre.

Pour obtenir l'échelle (ai), remarquons : i" qu'elle est linéaire; 1^ que nous en connaissons trois points, Qi(i), P|(io) et A (00). Donc, suivant ce qui a été vu au n® 7, si nous portons surQiQj une échelle régulière auxiliaire (P), ayant son point i au point Qi, et si la droite, joignant le point 10 de ( p) au point Pi, coupe en S la parallèle à Qi Qj, menée par A, les droites, joignant ce point S aux divers points de (p), donnent sur PiQi les points de même cote de («i).

En prenant pour (p) une graduation de décimètre ayant son point i en Qi, on obtient ainsi le centre de rayonnement Si, qui a servi à obtenir les points de (ai) cotés de 10 à 5.

Prenant maintenant pour (P) une échelle régulière pour laquelle le module est égal à 2*", 5, on voit que le point 5 de cette échelle tombe au point Qj. Il suffit donc de joindre le point Qj au point 5 de (ai), déjà obtenu, pour avoir le centre de rayonnement Sj correspondant. Ce centre a donné les points de (ai) cotés de 5 à 3.

Si, enfin, on prend pour l'échelle (P) le module égal à 5*", son point 3 tombe au point Qi. Donc la droite qui joint ce point Qs au point 3 de (ai), déjà obtenu, donne le centre de rayonnement S3. Celui-ci a servi à déterminer les points de (ai) cotés de 3 à i.

Il faut remarquer d'ailleurs que les trois échelles (P) dont il vient d'être question se superposent, à la graduation près, et sont données toutes trois par simple application d'un décimètre le long de QiQi-

Quant à l'échelle (as) elle s'obtiendra, par application de la Remarque qui termine le n** 60, de la manière suivante :

Les droites joignant le point i de (ai), c'est-à-dire le point Qi, aux divers points de (aj), passent par les points de (aj), de même cote que ces derniers. Ainsi ont été obtenus les points de (as) cotés de i à 10.

Les droites joignant le point 1 de (ai) aux divers points de (a^) passent par les points de (aj) de cote double. Ainsi ont été obtenus les points de (aj) cotés de 10 à 20.

Les droites joignant le point 10 de («i), c'est-à-dire le point Pj, aii\ divers points de («i), passent par les points de (23) de cote décuple. Ainsi ODt été obtenus les points de (aj) cotés de 20 à 100.

a* Huitième type d'abaque de multiplication (*). — Ce nouveau type s^obtient en prenant, dans l'équation

ai «2 = «3,

pour l'application du procédé indiqué au n'* 72, aj et «3 comme variables indépendantes, au lieu de ai et a^; mais, afin de n'avoir pas à changer les indices dans les formules données à cet endroit, nous écrirons l'équation de la multiplication sous la forme

ai = 0.

Les formules de la représentation seront donc ici

(«t) M = /,ai,

(«a) V =— liOLi,

Faisons varier ai de i à 10, aj de i à 100. Ici, les graduations (ai) et (aj) étant de sens contraires, on prendra

ai = i, ^>i=io,

aj = 100, ^j = I, ce qui donne

as = 100, ^3 = 0,1 et, en outre,

/i(^i)— /i(«i)^ 10— ï =9î /î(^î)— /î(ûr2} = — 1 -^100 = 99.

Donc, pour que les deux échelles aient la même longueur L, il faut que

L = 9^1 = 99^2- Prenons

f cm ,

Alors

li-.o'"',i

Lr.9-,9.

(») Corrélatif du second type (n" 23, r).

170 CHAPITRE m.

Pour construire le support PsQade l'échelle (as), il suffit de se rappeler que ce support se confond avec l'axe AB des origines. Or, le point Pi coté 10 a pour coordonnée m,

et le point Qj coté i a pour coordonnée v^

V = If = i

fcm

Il suffit donc de prolonger PiQi de i*"* du côté de Pt, et PjQî de i du côté de Qj pour avoir les points A et B, et, par suite, la droite AB ou PjQ,.

La graduation (ai) est immédiatement obtenue, puisque c'est celle même d'un décimètre.

Pour obtenir l'échelle (ai), remarquons : i** qu'elle est linéaire; 2* que nous en connaissons trois points, Qi(i), P|(io) et A (00). Donc, suivant ce qui a été vu au n* 7, si nous portons surQiQ, une échelle régulière auxiliaire (P), ayant son point i au point Qi, et si la droite, joignant le point 10 de (p) au point Pi, coupe en S la parallèle à QiQs, menée par A, les droites, joignant ce point S aux divers points de (p), donnent sur PiQi les points de même cote de («i).

En prenant pour (^) une graduation de décimètre ayant son point i en Qi, on obtient ainsi le centre de rayonnement Si, qui a servi à obtenir les points de (qti) cotés de 10 à 5.

F*renant maintenant pour (p) une échelle régulière pour laquelle le module est égal à ?/",5, on voit que le point 5 de cette échelle tombe au point Qj. Il suffit donc de joindre le point Qj au point 5 de (cti), déjà obtenu, pour avoir le centre de rayonnement Sj correspondant. Ce centre a donné les points de(ai) cotes de 5 à 3.

Si, enfin, on prend pour l'échelle (p) le module égal à 5'=", son point 3 tombe au point Qj. Donc la droite qui joint ce point Qj au point 3 de («i ), déjà obtenu, donne le centre de rayonnement S3. Celui-ci a servi à déterminer les points de (ai) cotés de 3 à i.

Quant à l'échelle (ol^) elle s'obtiendra, par application de la Remarque qui termine le n" 60, de la manière suivante :

Les droites joignant le point i de («i), c'est-à-dire le point Qi, aux divers points de («j), passent par les points de (as), de môme cote que ces derniers. Ainsi ont été obtenus les points de (aj) cotés de i à 10.

Les droites joignant le point 1 de (ai) aux divers points de (aj) passent par les points de (aj) de cote double. Ainsi ont été obtenus les points de («3) cotés de 10 à 20.

Les droites joignant le point 10 de (aj), c'est-à-dire le point P5, aux divers points de («i), passent par les points de («3) de cote décuple. Ainsi ont été obtenus les points de (aj) cotés de 9.0 à 100.

T.* Huitième type d^abaque de multiplication (*). — Ce nouveau type s'obtient en prenant, dans Tcquation

pour l'application du procédé indiqué au n" 72, «t et 0L3 comme variables indépendantes, au lieu de ai et a^; mais, afin de n'avoir pas à changer les indices dans les formules données à cet endroit, nous écrirons l'équation de la multiplication sous la forme

tti = 0.

Les formules de la représentation seront donc ici

i^i) M = /iai,

(3tj) V =— /jaa,

Faisons varier ai de i à 10, aj de i à 100. Ici, les graduations (ai) et (22) étant de sens contraires, on prendra

ai = 1, ^1 = 10,

aj = 100, ^2=1, ce qui donne

«3 = 100, h:i = 0,1 et, en outre,

/i(bi)—/i{aij = -' I -^- 100 = 99-

Donc, pour que les deux échelles aient la même longueur L, il faut que

L = 9^ = 99 ^2- Prenons

Alors

(•) Corrélatif du second type (n" 23, i').

La formule (x) du n** 73 donne maintenant

(0,011' -4- G, l) Cil -H O, l) III

^/ï = i,oC.' Par suite, la formule (1) du môme numéro donne

D = 1,06 xo'^", 9 = 10'^», 494.

Nous prendrons

D = lo*''", 5.

Il est dès lors facile de construire le parallélogramme PiQiPsQi dont les côtes PiPî et QtQi sont égaux à io*",5, les côtés PiQt et PîQî

à 9''",9(yî^.73)(').

Kig. y'^.

Le point Pi, coté i, a pour coordonnée f/,

et le point Qj, coté i, a pour coordonnée c,

i'= /j= o'^'^ji.

Cela permet de marquer les origines A et B sur les axes, et, par suite, dr tracer la droite AB ou P3Q3.

Les graduations (ai) et{a2) s'obtiennent immédiatement, puisque ce sont <les échelles régulières de modules m™™ et i""".

(') Mémo remarque que pour \'d /ig. 72 (p. 1G9).

fiQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 1 yS

Une fois les échelles («i) et (aj) construites, l'échelle (aa) s'en dcduit immédiatement par application de la Remarque qui termine le n** 60.

L.es points (aj) de o,i à lo s'obtiennent sur P3Q3 au moyen des droites qui joignent les points (ai), de cote décuple, au point (cti) coté 10, c'està-dire au point Qi, les points («3) de 10 à 5o au moyen des droites qui joignent les points (as) de cote double au point (at) coté 'Xy les points (a^) de 5o à 100 au moyen des droites qui joignent les points (aj ) de même cote au point (S|)coté I, c'est-à-dire au point Pi.

3* Abaque de la correction barométrique, — La correction e, exprimée en millimètres, qu'il faut retrancher d'une hauteur barométrique />, lue en millimètres de mercure, pour la ramener à zéro, la température étant de /** G., est donnée par la formule

que nous écrirons

pour que le dernier type d'abaque de multiplication qui vient d'être ex<iminé lui soit immédiatement applicable.

Posons donc

i^ = — /i e et admettons comme limites (*)

pour/?: ai = 5oo, />, = 800,

pour e: aj=r5, /^^rrro,

ce qui donne pour t

et, en outre,

/t(bi) — /i(«i) = 0,00016 X 3oo = 0,048,

Si donc L est la longueur commune des échelles nous devrons avoir

o,oi8/i = 5/2= L.

Prenons

/___ < cm

Alors

ccm

Comme ici la fonction /s (aj) est - qui pour la limite ^3=0 devient in-

(') Annuaire du Bureau des Longitudes [jour i8yy, p. 211

iinie, il faut, pour avoir A', appliquer la formule (2') du n* 73. D*ailleurs, puisque

on a, pour les valeurs limites s = 5, /> = 5oo,

-, I o. non 16 X 5oo ^

Par suite, la formule (9/) en question donne

. 5xo,oir> 8 ^

iVoii

Nous prendrons

Construisons donc le parallélogramme P| Qi QjPj (/ig- 74) { 0 ayant pour côtés 5 et 8'™.

tftf^ p,

L'cchello (£)est immédiatement construite puisque, vu le choix de /j, égal à 1"", clic se confond avec une échelle de décimètre.

L'échelle (p) est une échelle régulière dans laquelle les points Pi et Qi sont cotes respectivement 5oo et 800; elle est donc aisée à construire, el l'on peut aussi facilement marquer son origine, point coté o, qui, jointe à l'origine Qj de l'échelle (s), donne le support P3Q1 de la troisième échelle (0-

Le point coté o de celte dernière échelle se confond avec le point Qj puisque / = o doit donner e — o quelle que soit la pression />, et son point

(') Mùme remarque que pour Va fi^. 72 (p. i6()).

coté 00 se trouverait sur Pi Qi, puisque de môme / = 00 donne e = ». On peut remarquer maintenant qu'on a, pour ainsi dire sans calcul,

t = So" avec p = 5oo, e = 4-

Donc, joignant par une droite le point (p) cote 5oo, ou P|, au point (e) colé 4» on obtient sur PsQi le point (t) coté 5o.

L'échelle (/) est linéaire; on en connaît trois points (^ = o), {t = co) et (^ = 5o); il est donc facile de la construire, ainsi qu'il a été vu au n° 7, en se servant de l'échelle (t) dont les cotes seraient décuplées. Tirant la droite qui joint le point coté 5o de cette nouvelle échelle, c'est-à-dire le point Pj au point (t) coté 5o, qui vient d'être obtenu, on a, sur PiQi, le centre de rayonnement. Projetant à partir de ce centre les points (e) sur PiQi, en décuplant leurs cotes, on obtient les points (t).