rr

Il vient alors, pour (z),

OU, en appelant toujours 20 la distance AB des origines,

Les échelles (p) et (q) ci-dessus sont les mêmes que celles de l'abaque de l'équation du second degré (n° 79). Pour la troisième, l'expression de cv est aussi la même que dans le cas du second degré. Autrement dit, la projection de Téchelle (z) faite sur l'axe AB parallèlement à Ai^ et Bp set la même.

Nous avons vu au numéro précédent comment on pouvait construire cette échelle projetée.

Nous allons maintenant faire voir comment, pour une valeur quelconque de z, on peut passer du point M projeté sur AB au point /> correspondant de Tcchelle curviligne (z) {Jlff, 83). Rendons-nous compte pour cela de la nature du support Z de cette échelle.

Aoo

L*équation en a et p de la courbe Z, obtenue en exprimant que l'équation (z)o a une racine double (n** 57), est

C'est donc une courbe de la troisième classe. D'ailleurs les expressions (z) de X et y montrent que la courbe Z, unicursale, est également da troisième ordre. C'est donc ce que Salmon a appelé une cubique cuspidale (^), c'est-à-dire une cubique unicursale douée d'un point d'inflexion et d'un point de rebroussement. Il est d'ailleurs très facile de vérifier que le point d'inflexion se confond avec le point B où la tangente est AB et

O Courbes planes, traduction Chemin, p. 186.

le point de rebroussement avec le point situé à l'infini sur la partie négative de Taxe A. a, cet axe constituant lui-même la tangente en ce point.

Si, en effet, on transporte Torigine du milieu O de AB au point B, les coordonnées du point M coté z deviennent

^ /i-+- ItZ ^ /,H- l^z

Elles montrent que, à l'origine B, la tangente est Bâ?, puisque, pour x tendant vers o, lim — = o.

En outre, y^ négatif pour z très petit et positif, devient positif pour z très petit et négatif, d'où résulte que la courbe est située de part et d'autre de sa tangente en B, c'est-à-dire que ce point B est un point d'inflexion.

Pour 5 = Lh X, a? = — 20, ^ = — x>, ce qui montre que Taxe A a est une a<îymptote de rebroussement pour la branche de courbe située du côté des/ négatifs.

Les tangentes au point d'inflexion B et au point de rebroussement R« se coupant au point A, le théorème général sur la constructioïk point par point des cubiques cuspidales que nous avons fait connaître (*) montre <]nc :

Si Von joint le point A au point de rencontre K de la droite BP et de la symétrique de PM par rapport à Oy^ la droite AK et Vor^ donnée PM se coupent sur une droite fixe issue de B.

La vérification de ce théorème est d'ailleurs bien aisée avec le dernier choix d'axes de coordonnées qui vient d'être fait, c'est-à-dire avec Tori- «^ine au point B.

Les coordonnées du point K, immédiatement déduites de celles de P, sont, en effet,

— 'lU^ ~nz^

ll-h liZ '^ lx-\- liZ

ce qui donne pour équation de la droite AK

i^l%y = — /f -s(ar-|- 28). La première des formules {z)' qui donne Vx du point H peut s'écrire

IxX — — liZ{x -\- 1^),

{^) N. A., 3' série, t. XI, p. 386, el t. XII, p. 345. Dans la première de ces deux Notes, p. 388, 2* ligne, au lieu de « par le point T », il faut « par le point I ». La démonstration ne laissait d'ailleurs aucun doute au sujet de cette faute d'impression.

Un autre théorème donné dans cette mème-Notc (p. 391) montre {fig. 83) que si la parallèle à BP menée par A coupe PM en N, il suffit de prolonger AN de la moitié NT de sa longueur pour obtenir la tangente PT à la courbe Z en P.

Divisant membre à membre les deu\ dernières égalités, on a

équation qui montre que le lieu du point II est la droite BH coupant l'axe ku (x — — 28) au point C défini par

En amenant le point P au point S sur Oy^ on voit que BC passe parce point. Ayant donc marqué sur Ai^ le point G ainsi défini, on obtiendra le point P coté z, connaissant sa projection M sur AB de la façon suivante :

On mène par M la parallèle MP aux axes qui coupe BC en H, e/, *«/• la droite AH, on prend le symétrique K du point H par rapport (m point de rencontre I avec Oy, La droite BK coupe MH au point P cherché.

Hemarquons d'ailleurs, comme dans le cas du second degré, que les racines négatives de l'équation (E) pouvant être obtenues, en valeur absolue, comme racines positives de la transformée en — ;;, qui se déduit <l€ l'équation donnée par le simple changement de ^ en — </, il n'y a lieu *'e considérer que les valeurs positives de -s, auxquelles correspondent des points situés entre les axes A a et B y.

l^'ailleurs les équations du troisième degré qui se rencontrent dans les applications n'ont généralement qu'une racine positive, et c'est la seule *^<*nt on ait besoin.

Rappelons, en outre, que, si Zq est une racine de l'équation

^^9 est une racine de l'équation

^^ qui permet d'étendre l'usage de l'abaque au delà des limites de ses ^'chelles.

Soit, par exemple, l'équation

^'ii se rencontre dans le Mémoire de M. Gorrieri cité ci-après. Remar- <luant que cette équation peut s'écrire

'*n tend l'index entre le point (/?) coté — 2,1 et le point {q) coté — 9, ce I^JÎ donne le point {z) coté 2,4^. On a donc

82. Cas particuliers divers. — La répartition des tôles de semelles dans les grandes poutres de pont, en vue d'assurer un travail à peu près constant du métal dans toute l'étendue de la poutre, exige, pour être opérée avec exactitude, la résolution d'équations trinômes du troisième degré.

Dans son Traité de la stabilité des constructions (*), M. J. Pillet applique à cet usage l'abaque qui vient d'être décrit avec les données particulières que voici :

L'équation étant écrite

-3' — pz — ç = o,

Tabaque est fractionné pour la valeur çr = o, 1. La première partie de l'abaque est définie par

la seconde par

u^p>< So*"" (de o à 0,45), (; = ^ X 200*^" ( de o à o, i) ;

u =p X 5o*" (de o à o,45), ç =z q X 20^ (de o à 1,1 5).

On voit que les deux échelles (p) coïncident. Quant à la première échelle (^), elle coïncide avec la seconde lorsqu'on décuple ses cotes. On peut donc se contenter de marquer Tune des deux. Les deux échelles (z) correspondantes sont portées par deux arcs de courbe distincts.

L'auteur a d'ailleurs soin de faire observer que l'usage de l'abaque s'étend au delà des limites de ses échelles, grâce à l'emploi des multiplicateurs correspondants rappelé ci-dessus.

De même le calcul de la hauteur des poutres dans les travées associées dépend d'équations trinômes du troisième degré de la forme

où X représente la composante normale de la résultante de toutes les forces qui précèdent la section considérée, M le moment de cette résultante par rapport au centre de gravité de cette section, R la limite de la charge permanente par unité de surface, a et a' des coefGcients qui dépendent de la forme de la section.

Pour les diverses formes usuelles de section (bois et fer), M. D. Gorrieri a fait l'application du type d'abaque ci-dessus à l'équation cubique

correspondante (*), en prenant comme variables indépendantes/? = — ^,

(') Paris, 1895. {Voir p. 194 de cet Ouvrage.)

(2) Calcolo dellc sezioni resistenti per le travi assoggettate etc, {Bullettino del CoUegio degli Jngegneri ed Architetti in Bologna; 1896).

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. IqS

q = -7^ pour les poutres en bois a section rectangulaire,/; ~ k' 7 ~ "o

pour les divers types usuels de poutres en fer, distingués chacun par des valeurs particulières attribuées à a et a'.

Les onze abaques ainsi construits sont tous fractionnés en trois pour rëchelle (/?).

Il ny a pas lieu ici de faire varier z d'une manière continue : il suffit de marquer les points correspondant aux valeurs de z qui se rencontrent «lans les types de fers du commerce, et de prendre, pour chaque couple de valeurs de/> et de ç, la cote du point (;;) situé immédiatement audessus de la position de l'index joignant les points (/?) et (^). C'est d'ailleurs ce que Tauteur a eu soin de faire.

83. Troisième exemple : Abaque de l' équation lie Kepler (*). — L'équation de Kepler qui lie à l'anomalie moyenne \l l'anomalie excentrique a d'une planète circulant dans une orbite d'excentricité e est

a — e sina — ^,

OL et \L étant exprimées en parties du rayon. Ces variables prennent donc toutes les valeurs de o à ar = 6,2832. Quant à la variabfe e, elle reste comprise entre o et 0,4*

Remarquons en outre que les anomalies a et jjl sont ensemble inférieures ou supérieures à lu.

Pour représenter l'équation posons

< jjl) u ^ /, fX,

(e) V - lie.

Il vient dès lors pour (a) (a)o /,MH- /, sinat^ — /i/^a = o

^/, sina — /i liliT.

/i sina -4-/* " /|Sina-f-/2

Remarquons que tant que a est inférieure à ir, or est, en valeur absolue, inférieur à o, demi-distance des origines, c'est-à-dire que le point (a) correspondant est entre les axes Xu et ]^v.

Pour a supérieure à t:, ce point serait en dehors des axes. Fractionnons donc l'abaque à partir de cette valeur de a, ou, puisque nous venons de remarquer que a et fx sont ensemble inférieures ou supérieures à t:, à

partir de [Ji = it, pour changer le sens croissant des fx sur Au. Gela revient, en désignant par a' et jjl' des valeurs de a et [x supérieures à tz, à prendre pour [i'

(fx') w = /,(2ir-ix'),

en conservant l'équation (e).

Il vient alors pour (a') ^

(ol')o — fiti-h liSinoi'v -+■ /j/j(2 7: — a') = o

, ,, ^/,sina'-h/, — /,/,(9-r — a')

^ ^ /isina— /î •^ /iSina'— /,

On voit immédiatement que le point (a') coïncide avec le point (a), dont la cote est liée à la sienne par la relation

Il suffit donc de construire les points (a) pour a < ir et d'inscrire à côté de chacun d'eux la cote itz — a, en outre de la cote a, pour avoir du même coup les points (a'). On pourra d'ailleurs, pour plus de commodité, inscrire ces cotes en degrés.

Pour que l'échelle ((jl) (qui, comme on vient de voir, revient sur ellemême à partir du point coté iz) et l'échelle (e) eussent même longueur, il faudrait avoir

TT /j = Oj4 /s ou

d'où

On aurait donc des échelles sensiblement de même longueur en prenant /, = 8/i. Sur l'abaque de la Jig, S\ empruntée au Mémoire O.ll, on a pris /j = 10 /j, ce qui donne les formules

(il) W = /, |JL,

, . ^ sina — 10 10/1 a

sina -h 10 *' sin a -1- 10

Pour obtenir le degré de précision requis par l'Astronomie moderne, il faudrait évidemment adopter une valeur de Ix qui rendrait l'emploi de l'abaque peu pratique.

jgj

Urk st l>aque construit avec /| = 5o"™, ce qui lui donne un e hauteur de '20 )umîit aisément l'approximation du demi-degré (*). Sur celui de la /iff. 84, on a pris /j = 10™".

Fig. 84.

dL »

Cet exemple particulier va encore nous permettre de faire voir comment on peut, avec une écheUe curviligne, déterminer l'écartemenl des axes en vue de rendre aussi grand que possible le minimum de l'angle de l'index avec les échelles.

Il suffit de jeter les yeux sur la /l^. 84 pour voir que ce minimum est donné par l'angle de la droite qui joint le point (fx) coté o au point (e) coté 0,4, avec la tangente à la courbe qui porte l'échelle (a) au point coté 0.

Pour calculer cet angle, transportons l'origine en ce dernier point.

Les coordonnées du point (a) deviennent alors, si l'on pose /i= kli,

•20 sinot

d'où

sma

X 28 sina

sina

Le coefficient angulaire m\ de la tangente à l'origine, limite de ^ lorsque a tend vers zéro est donc donné par

nti = -

o , 5 kli

(') Un tel abaque peut encore rendre des services aux astronomes en leur fournissant pour rapplication des méthodes d'approximation usitées pour la résolution de l'équation de Kepler, telles que celle de Gauss (Baillaud, Cours d'AstronomiCf t. II, p. g^)» une valeur très sensiblement approchée qui dispense de tout tâtonnement.

Celui de la droite qui joint la nouvelle origine au point (e) coté 0,4» dont les coordonnées sont

X — 20, y ~ o,4^^i< est donné par

mj — — ^ — — - -^ — .

xù 0

La tangente z de l'angle que font ces deux droites est, par suite, donnée par

o.ïkUl 0» o,iA:W} I -4- - ■ ^-— -

Cherchons le maximum de t.

l/cquation ci-dessus peut s'écrire

TO* - o,3A7|0 -î- 0,1 A*t/} = o.

Pour que ses racines o soient réelles, il faut que

o,«9X*/î — o,4A-«':«/î^o ou

Le maximum de t. indépendant de A, ce qui est digne de remarque, est donc donné par

valeur qui correspond à un angle de 25"'2-2'3o'. Pour cette valeur de •:, on a

-— — '— - — o,3i6aVi.

I/ccarlement -xo des axes devra donc^ dans cette hypothèse, être pris égal ù o,63-2A:/i.

La disposition des échelles étant ainsi arrêtée, nous allons indiquer comment une construction très simple permet de déduire l'échelle cur\iligne (a) de l'échelle rectiligne(jji), elle-même très aisée à obtenir, puisque c'est une échelle régulière.

Supposons d'abord pour cela que nous ayons inscrit (au crayon, dr façon à pouvoir les faire disparaître) les cotes des points (fx) en degrés.

Si nous prenons comme axes de coordonnées BA {x jposilifs) et Br (y positifs), les coordonnées du point P coté a (Jiff, 85) sont

jT =■ — > y ~ • - •

/iSina-r-/x *^ /|Sina-:-/j

La droite BP a donc pour équation

ar ~" 28

et, par suite, le point M(j? = •>.8), pour ordonnée

c'est-à-dire que le point M est celui dont la cote, sur l'échelle (fx), est égale à celle du point P.

En d'autres termes :

JJéchelle curviligne {ol) projetée à partir du point B sur Au donne précisément l'échelle ((a), les cotes étant conservées de l'une à l'autre.

F'ig. 85.

Ap;

hàr^^^---^,.^^

Il suffit donc, pour avoir l'échelle (a), de connaître sa projection faite

sur AB parallèlement k Au, Cette projection est donnée par l'expression

de X ci-dessus

/i sina -+- /,

Pour construire l'échelle ainsi obtenue, il suffit de poser

sina = tj

ce qui, moyennant l'usage d'une table des sinus naturels, ramène cette construction à celle de l'échelle linéaire

ht-\-U

Cette dernière exige simplement la détermination directe de trois points (n»7).

Or on a immédiatement

pour a = 0,

a: = 28 (point A),

Ces trois points permettent de construire l'échelle demandée dont on

igS CHAPITRE III.

n'a d'ailleurs besoin qu'entre ^ = o et / = i, et que nous désignerons par

(t)j bien qu'elle soit cotée au moyen des valeurs de a.

Il faut remarquer, en outre, que pour deux valeurs supplémentaires de

a, on a sur AB le même point Q.

Finalement, la construction de l'échelle X se réduit à ceci : La parallèle aux axes menée par le point Q de l'échelle {t) coté

a coupe les droites qui unissent le point B aux points de l'échelle

(|i) cotés a et T. — a, en des points qui sont les points cotés a et t: — a

de r échelle (a).

B. — Abaques a trois échelles curvilignes.

84. Second abaque du fruit intérieur des murs de soutènement, — Tout ce qui a été dit des abaques à trois systèmes de droites quelconques (n** 47 et suiv.) peut être transporté corrélativement du domaine ponctuel déûni par les coordonnées cartésiennes au domaine tangentiel défini par les coordonnées parallèles.

Un exemple suffira pour le bien faire comprendre.

Reprenons Téquation du n** Si

/ /\j.« // Ni. (i — /)(i-h 20) (i-+-/)/i«— /(i4- p)h — ' '\^ ^ =0,

relative au calcul du fruit intérieur des murs de soutènement.

Nous aurons sa représentation au moyen de points alignés en changeant simplement x et y en u tl v dans les équations (/), (/?), {h) du n® 51, ce qui donne

{h) hu-\-v — A« = o.

Ce sont trois systèmes du second degré, et les deux premiers ont pour support une même conique, de même que les systèmes de droites dont ils sont les corrélatifs avaient pour enveloppe une même conique. Les cotes l et p d'un même point de cette conique, considéré successivement comme appartenant à l'un puis à l'autre, sont d'ailleurs liées par l'équation

Si l'on construit les trois systèmes ci-dessus, on obtient la disposition représentée par la fi^, 86, corrélative de celle que montre la yî^, 47.

Nous avons, à la fin du n'^ 51, fait ressortir le» défauts de cette dernière. Ceux qu'offre la disposition de la Jîg^. 86 ne sont pas moins sensibles. On voit, en effet, que les droites joignant deux à deux les divers points des échelles (/>) et (/), prises dans leurs parties utiles, coupent cette dernière sous un angle très petit. Pour remédier à ce défaut, nous allons appliquer

ici la transformalion homographique exposée au n*^ 60, qui renvoie pour

les formules au n° 49.

Fig. 86.

Faisant varier / et /> de ^ à i, proposons-nous de faire en sorte que le quadrangle limite formé par les points

soit le rectangle des points

Tunité de longueur étant d'ailleurs prise égale au demi-écartement des axes.

Nous référant aux notations du n° 49, posons

G(/>) =-■ X/î-+- fX?î-+- v4/,,

et de même avec les accents prime et seconde. Les fonctions //, (p/, ^i étant ici

QOO CHAPITRE III.

nous avons

H(/) ca -3iJL — v)/î-f-(i[x-+-v)/ — aX, G{p) — -iv/?» -(4X H-3fx — 3v)/?-t-*2X-h3ui— V,

K(// ) - — V A» -u X /j -H jji,

et les équations des points (/), (/?), (/*) s'écrivent

Les conditions imposées au quadrangle limite donnent donc les relations

(I) H'(i)--ro, (-Jt) H'(i) = o,

Ci) G(i)-^o. (6» G'(i)^G'(i) = o,

Les équations (3) et (7) développées sont

d'où

JL —

Les équations (1) vX ('\ ) sont

II' — o,

6 X' — 9 jji' — v' — o,

d'où

ïiCs équations ( -i ) et ( 8 ) sont

SX" -qu"— Gv'rr o,

d'où

Knfin les équations ( p et (G) sont

6X — Q»i - V -<- OX" - () 'jl" - v' — o,

r^ a' - v' - X' - ijl" — v'^o

OU, en tirant les X et les [jl en fonction des v des équations (9), (lo) et (ii),

d'où

lOV-h V = o, iov'-u3v''=o,

Prenons

Les équations (9), (10), (11) nous donnent alors

Xr^ — r», X' = — I, X''=i5,

Portant ces valeurs dans les expressions des II, G et K écrites plus haut, nous avons

H'(/) =io(/-i)(/-f-3),

G'(p) =9.(2/? -h 0(3/> -+-•>.), G'ip) = -— 10(2/? — l)(2/? -h I),

K'ifi) -r 5^(4A-3),

d'où enfin, pour les équations des systèmes (/), (p) et (A),

(Ph (/> — 0(2/ï — l)W-f-(2/>-^l)(3/?-h2)P— '5(2/? — l)(2/>-4-l) = 0,

(A), 2(A — i)(A — 2)M-hA(6/i — 1)4^ — 5A(4A — 3) = o.

Voyons comment on peut construire ces divers systèmes qui constituent des échelles curvilignes (Jiff^ 87).

Échelle (/). — On a immédiatement les points cotés i et o,5, qui sont, d*après la détermination même qui vient d'être faite,

(1) w = o, c'est-à-dire 37 = — i, y t= o,

puis les points cotés — 2 et — 3 :

i — 1) ^= Il c'est-à-dire ar— i, y= 1,

enfin le point coté oc

(oc) W -f- 2i> -r- 5 = o,

G est-a-dirc j? = -,

L*échellc curviligne (/), projetée successivement de chaque point ( — a ) et ( — 3) sur une parallèle à la droite joignant ce point au point («),

Kig. 87.

o.eH

a re-

donne une échelle régulière, et, comme on connaît les points (i) et (o,5) de ces échelles régulières, la construction en est des plus aisées.

Échelle (/?). — Les quatre points (/) cotés (i), (o,5), ( — a) et ( — 3)

sont les points (/>) cotés ( — o,5), ( — T )' ('^ ^' (^>5)» ^" vertu de ]

marque faite au début de ce numéro, qui se vérifie d'ailleurs sur Téquation {p)t' Quant au point (oc), il est ici

u -\- Sv — 10 = o, c'est-à-dire a? = -> y = -.

La construction sera la même que pour l'échelle (/), les centres de rayonnement étant ici

(-0,5) [ou (/ = !)], et (-'0 [ou(/ = o,5)]. Echelle (h). — Pour l'échelle (/i), on a tout de suite les points

(; = I, c'est-à-dire

II c = 25, »

iii-h'iiv = Oy

u-T-'iv — 10 = o,

X — ly

ar — I,

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 2o3

Oji voit que les points (h) cotés o, i et oo coïncident respectivement

avec les points (/>) cotés > i et oc.

D'ailleurs, l'équation donnée montre que, quel que soit A, pour /= i, €-»n a

Oonc les droites joignant le point (/), coté i aux divers points (/t), passent par les points (/>) cotés ih — i, ce qui simplifîe grandement la construction de l'échelle (A), puisque, à une simple modification des cotes

près, l'un des faisceaux qui ont servi à obtenir l'échelle (/?) sert également

pour l'échelle (A).

rv. — Application de la méthode des points alignés à la représentation de lois empiriques.

80. Abaque de la vitesse d'un train remorqué par une locomotive de type connu, — Lorsque trois variables sont liées entre elles par une loi qui n'est connue qu'empiriquement, on peut toujours, comme nous l'avons vu, en faire la représentation au moyen d'un abaque cartésien (n®16). La méthode des points alignés exigeant que l'équation représentée offre certains caractères fonctionnels, très généraux, il est vrai, on est en droit de se demander si elle pourra également se prêter à la représentation de lois empiriques à trois variables.

La meilleure façon de répondre à la question est de donner quelques exemples d'une telle représentation.

£n premier lieu, il se peut que Tempirisme de la loi n'intervienne que dans la détermination d'une fonction de Tune des variables, liée aux autres variables par une formule mathématiquement déterminée.

C'est le cals pour une formule, traduite en abaque à points alignés, par M. M. Beghin, ingénieur de la C* des chemins de fer départementaux (').

Soient :

M et R^ le poids et la résistance par tonne de la machine; T et Rf les inômes quantités pour le train remorqué; r la rampe diî la voie en millimétrés, E l'effort de lia machine.

V) A. P. cl, livraison d'octobre 1H93, p. .j'|8.

ao4 CHAPITRE III.

On a, entre ces quantités, la relation

Pour une machine donnée, M est une constante; quant à E, Rm et R/, ce sont des fonctions empiriques de la vitesse V. L'équation ci-dessus lie donc en réalité les trois variables r, T et V.

Remarquons qu'elle peut s'écrire

Si l'on pose

P étant le poids total du train, qui peut être pris comme variable indépendante au lieu de T, elle devient

F(V; = P[*(V)-^/'] ou

/• p— -^*(Vj = o.

Sous cette forme, et regardant les variables r, P et V comme «i, «$ et Œj, on voit immédiatement qu'elle rentre dans le type du n** 78. Il suffit donc, pour la représenter, de poser

ce qui donne

(V) /jM -h /jFCNOi' H- /,/,*(¥) = o.

Les échelles (r) et ( P), respectivement portées par les ax3s A a et Bc,

sont faciles à construire. L'échelle curviligne (V) peut également cire

ronstruile lorsqu'on connaît empiriquement F(V) et *( V), clesl-à-dire un

tableau, sous forme numérique ou sous forme graphique (p*** 9 ou 12),

dos valeurs de ces fonctions correspondant à diverses valeilirs de V. Au

surplus, si les vitesses extrêmes entre lesquelles on applique la formule

ne sont pas très éloignées, la fonction 4>( V) varie peu dans 1 intervalle, et

(*n représentant par k sa valeur sensiblement constante

les points (V) sont distribués sur la droite, dont les coord

Icles sont

u -~ /ik, V — o.

on voit que )nnées parai-

Mais M. Beghin a fait la remarque que, à défaut même de la détermination empirique des fonctions F et *, l'échelle (V) pouvait être construite lorsqu'on disposait d'un tableau d'essais. En effet, prenant des

couples de valeurs de r et de P correspondant à une même vitesse V, on n'a qu'à unir par des droites Jes points cotés,- au moyen de ces valeurs sur

les échelles (/•) et (P). Ces droites devront passer par le point cote au moyen de la valeur de V considérée. Cette façon de procéder est confornir âla Remarque faile à la fin du n'' 60. Elle a en outre, ici, l'avantage de per-

2o6 CHAPITRE III.

mettre de rectifier des erreurs d'expérience, attendu que toutes les droites répondant au cas où V a la valeur donnée doivent passer par un même point.

La fig, 88 reproduit Tabaque de M. Beghin, construit avec les modules /j = 1 1™, /, = /i"", pour la machine de 25 tonnes des chemins de fer corses.

La position de l'index tracée en pointillé, correspond à l'exemple numérique /• = 10°*", T =^ 70''' ou P = 95^, pour lequel on a V = 32^".

86. Abaques du tir de siège. — Dans l'exemple précédent, il s'agissait <rune équation ayant mathématiquement la forme requise pour l'application de la méthode des points alignés, mais dans laquelle l'une des variables entrait sous des signes fonctionnels qui n'étaient définis qu'empiriquement, n arrivera plus souvent que la loi unissant trois variables ne se présentera pas sous la forme d'une équation remplissant une telle condition, mais que, au degré d'approximation requis par la pratique, on pourra l'y amener. Voici un exemple remarquable de ce cas, que nous empruntons à un intéressant travail du lieutenant d'artillerie Lafay (<) (aujourd'hui capitaine).

La charge C d'un canon dépend de la vitesse initiale V qu'on veut imprimer au projectile, et celle-ci est fonction de la portée P et de ce que les artilleurs appellent Vangle tabulaire 4>.

Il s'agit donc, pour déterminer la charge G ou, ce qui revient au même, la vitesse V, de construire un abaque donnant V lorsque P et 4» sont connus.

Ayant remarqué que, pour de petites valeurs de 4>, la relation qui unit ces quantités peut prendre la forme

sin2cï>-./(V)F(P),

où y et F sont des fonctions connues empiriquement, on est conduit, pour chercher à étendre celte formule, à de plus grandes valeurs de 4>, après avoir gradué les axes cartésiens Ox et Oy suivant les lois

a-=:/F(P), ^ — / sin 'A<ï>,

à marquer sur le quadrillage ainsi obtenu les points correspondant à des <:ouples de valeurs de P et de * donnant, d'après l'expérience, une même valeur de V et à unir, pour chaque valeur de V, ces divers points par une ligne {fig. 89).

Cette ligne passe par l'origine et reste d'abord presque confondue avec sa tangente en ce point, ce qui explique que, pour les petites valeurs de 4>,

(') lievue d'Artillerie, octobre 1H95.

Le colonel Lan{,'ensliolil, de rartillerie russe, a étendu aux mortiers de côte le travail que le lieutenant Lafay avait réalise pour noire canon de i55 long.

ia formule ci-dessus est sensiblement exacte. Mais elle ne tarde pas à s'en écarter. Pourtant, si Ton ne considère que sa portion MN correspondant aux valeurs pratiques de la portée ( 2000 1 P i^ ^ooo pour le mortier, par exemple), on reconnaît que Tare ainsi limité diffère peu d'une droite qui, prolongée de part et d'autre, est dessinée en trait mixte sur la figure.

Fig. 89.

On peut, avec une approximation suffisante, substituer, entre les limites considérées, cette droite, à la courbe donnée par l'expérience, et cela pour toutes les valeurs pratiques de V. L'abaque défini en coordonnées cartésiennes peut, des lors, être transformé en un abaque à points alip^nés rn«59).

C'est ainsi qu'a été obtenu Tabaque dressé par M. Lafay, dont \di/ig. 90 est une réduction.

A l'échelle de l'angle tabulaire a été accolée celle de la hausse correspondante, à l'échelle de la \itessc initiale celle de la charge pratique.

Nous nous sommes borné, pour les besoins de notre exposé, à extraire du travail très intéressant de M. Lafay l'exemple précédent, mais ce savant officier a^ traité de même les divers calculs que soulève le tir «le»* pièces de siège et a réuni tous les abaques correspondants sur une même planche de 34*"™ sur 38*", des lettres de référence indiquant la façon dont les diverses échelles doivent être associées.

Cette possibilité de réunir les divers abaques dans les limites d'un cadre «Hroit, par juxtaposition de leurs échelles respectives, est un avantage sérieux à Tactif des méthodes qui n'utilisent que des systèmes de points cotés.

87. Abaque des consommations i/téorlques d'une machine à vapeur. — Voici enfin un cas bien remarquable, traité par M. Râteau, ingénieur au Corps des Mines (*), où, comme on va voir, l'emploi de la méthode des points alignés a permis non seulement de représenter une relation empi-

(' ) Annales des Mines, février iS()-.

Sil

- ' il

fiQDATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNBMBHT.

rique unissant irois variables, mais encore de mettre en évidence

: loi

physique qui n'avait pas été soupçonnée jusque-là.

Li consommation théorique K dune machine à vapeur dépend des pressions P (amont) et p (aval) entre lesquelles elle fonctionne. K s'exprime d'ailleurs en kilogrammes par cheval-heure, P et /> en kilogrammes par

centimètre carré.

Kig. gi.

l'encellenle idée de construire les quadrillage logarithmique (')dé-

(') Les exemples analogues sont tellement frëque ne saurait d'une manrùre générale trop recommande aux physiciens. Il existe d'ailleu drille logaritbmiquement, ainsi Nous tenons, à ce propos, à rapporter que le profcssi

LS dans la pratique qu'on ce mode de représentation : commerce, du papier quan- 28(noic(i)delap.63).

rC.-V. Boys, dont, en mai

■Sg6, nous visitions le laboratoire du Collcge de Science à Londres, r

avoir systématiquement recours à ce mode de représenUlioo qui, dans un grand

DOinbre de cas, lui avait éié du plus utile secours.

fini par

et il a ainsi constaté, au degré d'approximation permis par Texpérience, que ces lignes (K) se confondaient avec des droites (/ig. 91). C'était un premier point déjà intéressant; il en résultait que l'équation unissant les variables K,/? et P est de la forme

/(K)log/? -+- c?(K) log P 4- i^K) = o.

Mais lorsqu'on jette les yeux sur la Ji^, 91, il ne parait guère facile de reconnaître si les droites obtenues sont ou non concourantes, vu que leur point de concours, s'il existe, se trouve fort éloigné des limites du dessin. Afin d'en décider M. Râteau a eu recours à la transformation de cet abaque à droites entrecroisées en un abaque à points alignés, suivant le mode indiqué au n* 59 (*), ce qui lui a donné \^ Jig, 9a.

On voit ainsi que les points cotés (K) viennent, dans les limites au moins de l'expérience, se disposer en ligne droite, d'où l'on doit conclure que les fonctions/, çp et <}/, précédemment laissées arbitraires, sont linéaires par rapport à une même fonction y de K. On a donc

f = a -i-by.

^--a'-hb'y,

et l'équation encore inconnue que représente l'abaque doit être de la forme

(a -h by^) log/?-h(a' -h i'/JlogP -i- a" -{- b" y = o.

Pour avoir la représentation de cette équation en points alignés, en plaçant les points (K) entre les a\os parallèles A a et Bi^, on pose

// — / ^^?iPi ^ = — ^ log P,

/ étant un module quelconque, ce qui donne

{a-hby)u — {a' ^ b' y) v -^ l {a" -^ b" yj = 0.

L'ordonnée du point que définit cette équation est

-^ ~ (a — a') H- ( b —ly)yj

et, par suite, la formule qui définit réchcllc (K) sur son support,

( ') Il faut observer qu'on est ici dans un cas où s'appli(|uc la première remarque de la note au bas de la p. i3o. C'est pourquoi les sens croissants des échelles (P) et {])) sur \^ fig. <)J se trouvent inverses l'un de l'autre.

/' étant le module dont la projection sur la direction des axes Xu et Bv est égale à /.

gUiQ jvd toujui«j6o|i>| u8 cf9n\o9<\w |«Av uoia*»dj

I I I I [ I I I r j 1 1 ir| I I I I > I » I I I I I I I [ o* o* o' o* o o o* ^ J"

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a s ^ fO r^ <D <0 * n c«

'f UJQ jed s9ijuujej6o||)| uo^ an|08q« -tuouicp uoibsaj^j

Pour analyser cette graduation, remarquons que, dans le cas théorique où les pressions d'amont et d'aval seraient égales, la consommation K se'rait infinie, quelle que fût cette commune valeur P de la pression. Or,

toutes les droites unissant deux à deux les points (/>) et (P) de même cote passent, d'après les formules qui définissent ces mêmes échelles, par le point

u -h V = Oy

c*est'à-dire par le milieu de la distance des origines non marquées A et B. Prenant donc le point de rencontre d'une quelconque de ces droites avec le support du système (K), on a le point E coté ».

Si maintenant en chaque point de l'échelle (K) on élève une perpendiculaire proportionnelle à sa cote, on obtient la courbe représentative de la fonction définie par cette échelle (n* 3). Or cette courbe, qui a nécessairement pour asymptote la perpendiculaire élevée en E au support EF de l'échelle, semble au premier coup d'œil se confondre avec une hyperbole équilatère. Admettant cette hypothèse, on peut, au moyen de théorèmes connus sur l'hyperbole équilatère, en faire la vérification graphique (*); elle se trouve ainsi justifiée.

Il en résulte que la formule définissant l'échelle (K) est de la forme

ce qui aura lieu, en vertu de la formule écrite plus haut, si

b' = o, et

L'équation prend donc la forme

{a-^bK) log/? -h (a' -h b'K) log P -+- a" = o,

et comme, ainsi que nous venons de le voir, /> = P doit toujours donner K = 00, il faut, en outre, que

Gomme d'ailleurs b et b' ne sauraient être nuls, car K disparaîtrait de l'équation, iious pourrons poser 6 = i, et nous voyons finalement que l'équation cherchée est de la forme

(a -h K) log/? -h (a' — K) log P -f- a' = o.

(') Soient, par exemple, M et N deux points quelconques de l'hyperbole. Menons par chacun de ces points des parallèles aux directions asymptotiques ; nous formons ainsi un rectangle dont la seconde diagonale coupe l'asymplote connue au centre O de la courbe. Cela' posé, si une droite quelconque menée par O coupe en I et en J les parallèles aux asymptotes menées par l'un des points M ou N, le quatrième sommet du rectangle, dont les trois premiers sont M ou N, I et J, appartient à la courbe. On trouve ainsi que si, pour construire l'hyperbole, on a porté perpendiculairement à EF les ordonnées ^ =r XK, la seconde asymptote est définie par y = o^f\\, •

EQUATIONS À TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 2l3

Portant dans cette équation des systèmes de valeurs de K, /? et P donnés par l'abaque, et traitant les équations linéaires en a, a\ a ainsi obtenues par la méthode des moindres carrés, on trouve

L'équation cherchée est donc, si l'on change tous les signes,

(0,85 — K) log/> -4- (K -f- 0,07 ) log P — 6,95 = o,

6,95 —0,92 log P

log P — log/?

Telle est l'eupression mathématique de la loi suivant laquelle K dépend de P et /?.

Elle cadre remarquablement avec les données de l'expérience, comme M. Râteau le fait voir dans son Mémoire (*).

Le point sur lequel nous- insisterons ici, c'est l'importance qu'a présentée, pour la recherche qui vient d'être résumée, l'emploi de la méthode des points alignés. C'est elle, en effet, qui, en permettant de reconnaître que les éléments cotés (K) formaient une série linéaire, et en ramenant l'analyse de la graduation correspondante à celle d'une simple échelle recliligne, a rendu possible la détermination complète de l'équation qui traduit analytiquement la loi suivant laquelle K dépend de P et p.