V. — Abaques dérivés des abaques à points alignés

A. — Abaques a double alignement (-).

88. Principe général, — Supposons que les variables a, ai et 12 d'une part, a, as et a4 de l'autre soient liées par des équations

(*) On doit encore à M. Râteau l'idée d'un ingénieux dispositif qui permettrait de réaliser mécaniquement l'abaque à points alignés ci-dessus (A. F. A. S.; congrès de Pau; 1892). Supposons une masse gazeuse, de pression /?, emprisonnée sous une cloche flottante. Les variations de p entraîneront des variations de niveau de la cloche, et l'on conçoit que Ton pourra déterminer le profil de celle-ci de façon que ces variations de niveau soient proportionnelles à celles de log/?. Les extrémités de deux tiges verticales fixées respectivement sur deux telles cloches donneront ainsi, par leurs déplacements, les variations de log/? et de logP, et pourront, par suite, servir à marquer, sur les échelles parallèles de la fig, 93, les points cotés (/?) et (P). Si donc un fil est constamment tendu (grâce, par exemple, à deux petites poulies et deux contrepoids égaux) entre les extrémités de ces tiges, il coïncidera à chaque instant avec la position de l'index qui, par sa rencontre avec l'échelle intermédiaire, fait connaître la valeur de K.

(') Désignés dans notre Note O. 30 sous le nom à^abaques à pivotement.

ai4 telles que

/i(ai) ?i(ai) 4^i(ai)

/î(aj) ?î(aj) ^t(^t)

fia) (p(a) 4.(a)

/3(aa) ?a(aî) ^aCa»)

Chacune d^elles sera représentable par un abaque à points alignés, et Ton voit, puisque les fonctions y, ^, ^ sont les mêmes dans les deux équations, que leur échelle curviligne (a) sera la même. Par suite, les deux abaques pourront être construits avec cette échelle en commun {Jlg» qS).

Fig. 93.

Si Ton se donne les valeurs de trois des variables ai, a2, aj, a,, les équations (E) et (E') permettent de calculer celle de la quatrième, en plus de celle de a.

Sur Tabaquc la droite passant par les points cotés a, et a2 et la droite passant par les points cotes ol^ et a4 se coupent au point coté a.

Or il peut arriver qu'une équation entre quatre variables ai , a-j, ag, aj résulte de l'élimination d'une variable auxiliaire a entre deux équations telles que (E) et (E').

Le diagramme qui vient d'être construit fournira donc dans ce cas une représentation de l'équation considérée.

Son mode d'emploi, pour obtenir a,, par exemple, connaissant a,, ao cl «3, se réduira a ceci :

Faire passer l'index par les points cotés ai et a2, puis le faire pivoter autour du point oîi il rencontre V échelle (a)

jusqu'à ce qiCil passe par le point coté cl^. Il coupe alors la dernière échelle au point coté du.

Comme, en général, on n'aura pas besoin de connaître la valeur correspondante de la variable auxiliaire a, on pourra se dispenser de marquer la graduation relative à cette variable; il suffira de tracer son support qui sera dit la ligne des pivots. Si pourtant on veut, dans chaque cas, repérer la position du pivot, on n^aura qu'à marquer sur cette ligne une graduation absolument quelconque.

L'abaque ainsi constitué par Taccolement de deux abaques à points alignés ayant une échelle commune sera dit, pour rappeler son mode d'emploi, un abaque à double alignement.

On peut, dans le cas le plus général, former le type des équations ainsi représentables.

Remarquant que l'une des fonctions/, cp, i}^, la dernière, par exemple, peut toujours être remplacée par l'unité, et posant, pour abréger l'écriture

a,- bi \ ajbj i

= [aibj],

nous voyons que les équations (E) et (E') peuvent s'écrire

De là, en posant encore pour abréger,

[aibj] [Cidj]

= [aibj,Ckdi],

nous tirons

Donc, si G et r sont les fonctions inverses respectivement de/ et de <p, le résultat de l'élimination de oc sera

La forme de cette équation est, comme on voit, assez compliquée; mais il n'y avait qu'un intérêt purement théorique à faire voir la façon dont elle pouvait être obtenue.

En pratique, on n^aura guère à appliquer la méthode que dans le cas où l'échelle auxiliaire (a) sera une échelle régulière, c'est-à-dire où, dans les équations (E) et (E'), la fonction y(a) se réduira à a, la fonction 9 à i et la fonction ^ à o. Ces équations s'écrivent alors

<pi h

et l'élimination de a, faite immédialeinent, donne

89. Echelles rectilignes et parallèles, — Dans ce cas l'équation donnée est de la forme

On la décompose immédiatement en

et

On peut construire les abaques de ces deux dernières équations, dont Taccolement par l'échelle (a) produira Tabaque à pivotement demandé, par l'un ou par Tautre des procédés suivants qui, bien entendu, ne sont pas théoriquement distincts, mais qui, en pratique, présentent une différence sur laquelle on insistera plus loin.

Premier procédé, — Pour représenter Téquation (E') on peut poser

Il vient alors pour a2, en vertu de ce qui a été vu au n® 66, («î) "2 = — ^s/j,

avec

It l l\

Taxe A2 U2 {fig* 94) étant d'ailleurs tel que

AsA

00, si Ton lient compte de (i), que (*)

Représentant par x^ et X2 les distances des axes A| Ux et A2«2

à l'axe Aw des pivots, on peut écrire

^ — Ll

De même l'équation (E") sera représentée par

l ayant la même valeur que ci-dessus, et

(*0 Uk = — hA,

(!) On Toit que, dans ce cas particulier, on retombe sur le principe de la composition des échelles (n« 70).

avec

(3) et

On obtient ainsi la disposition de \'^jig. 94 (*).

Les cinq modules /, /|, Li^ /a, /i ne sont astreints à vérifier que les égalités (i) et (3). On pourra donc chercher à les déterminer en vue de la meilleure disposition de Tabaque.

Comme on connaît les limites (*) entre lesquelles, pratiquement, reste comprise chaque variable, on peut calculer les différences 8|, 82, 83, 84 entre les valeurs extrêmes des fonctions y,, ^"2?

Si, dès lors, on veut faire en sorte que les échelles (ai) et («2) d'une part, (as) et (a4) de l'autre aient même longueur, on posera

/j 81 = /jÔj,

Ces deux équations jointes à (1) et (3) permettent d'exprimer quatre des modules en fonction du cinquième, / par exemple. On

trouve ainsi

ô| — Oj Oj — do

l\ - l — ^: > «2 = < — sr

Ôi Ô2

Les quatre échelles seront de même longueur si /, 8«=:/3S3, c'est-«i-dire

«X "N Ji N

Oi — O2 — O3 — Ô^.

( ' ) On peut, sur celte figure, placer les systèmes (a,), (oij) d'une part, («3), (014) de l'autre, de côtés dilTcrenls par rapport à Taxe ku des pivots, afin de la rendre plus claire. Mais rien n'empêche évidemment, pour réduire la largeur de l'abaque, de placer les deux couples de systèmes associés d'un môme côté de l'axe Aa.

(-) Théoriquement, les valeurs limites de trois des variables prises comme indépendantes entraînent celles de la quatrième; mais, en pratique, celle-ci reste généralement comprise entre des valeurs plus resserrées que ces limites théoriques, et qui résultent des données fournies par l'expérience.

ÉQUATIONS A TROIS VARCABLES. ABAQUES A ALIG!iEME>T. 219

Il ne resle plus qu'à choisir le module / pour que les diverses graduatioDS donnent le degré d^approximalion exigé.

Second procédé, — On pose

enfin

(a) avec

U — loL,

Dans ce cas, l'axe des pivots est si lue à la fois enlrc les échelles (ai) et (aj) et entre les échelles (ag) et (aj) {Jig- 90), les dislances

Fig. 95.

Ot

(ou)

(ot.)

(aj)

P3 -Ȃj

Xi^X'ij ^3, iP4 de cet axe aux supports parallèles de ces échelles étant telles que

"Il .ri

Si l'on veut ici que les échelles (ai) et (ao) d'une pari, (as) el (a^) de i'aulre soient de même longueur, il faut avoir, en appelant toujours 0|, O2, Og, Si les différences enlre les valeurs extrêmes des fonctions /i, /a, /a, /*,

/i^i — /1O2, /a 83 = /^Oi,

ce qui donne

Oi 0,

Les quatre échelles seront de même longueur si /^Si = /s S), ou

Oï -4- Oj = ôs -H O4.

Dans ce cas, comme dans le précédent, si l^ = /$ et l^z= l^^ on peut faire coïncider les supports des échelles (cl^) et (aj) d'une part,(a2) et (a^) de l'autre. Il suffit, pour cela, de placer les deux graduations d'un même support de part et d'autre de ce support, en adoptant le même côté pour celles qui doivent être associées par le moyen de l'index.

Comparaison des deux procédés. — Le premier procédé présente l'avantage (surtout lorsque les deux couples d'échelles associées sont d'un même côté de Taxe des pivots) que les deux points dont il faut prendre l'alignement avec Tindex sont, pour chacune des deux positions de celui-ci, du même côté du pivot. Lorsque cette condition est remplie, on peut se servir pour l'index d'un fil tendu que Ton fixe sur le pivot. Si elle ne l'est pas, comme dans le second procédé, on ne peut plus fixer le fil sur le pivot, et, pour repérer la position du pivot, il convient de munir l'axe sur lequel il se trouve d'une graduation d'ailleurs absolument quelconque. En revanche, ce second procédé a l'avantage de limiter la longueur de la portion utile de Taxe des pivots à celle de la plus grande longueur des échelles parallèles {Jig* 90), tandis que, dans le premier cas, elle la dépassait sensiblement, à moins que l'on ne diminuât beaucoup la longueur des échelles P3Q3 et P4Q4

{fg- 94)-

Cette seconde considération remportera généralement sur la première. Toutefois, il jaura des cas où, pratiquement, les points extrêmes des échelles P2Q2, PjiQ* n'auront pas à être associés respectivement à toute la partie utile des échelles P<Q«, P3Q3, en sorte que la longueur de la portion utile PQ de Taxe des pivots se trouvera réduite.

Manière d^ effectuer la construction, — Quel que soit le pro-

cédé emplo^^é, on effecluera la construction de la même manière, une fois qu'on aura arrêté les valeurs des modules /i, /a, /a, l^»

On commencera par tracer Taxe des pivots, puis les supports, en observant, pour leurs écartements par rapport à cet axe, les relations (2) et (3) dans un cas, (6) dans Tautre.

Cela fait, on construira, tout à fait indépendamment les unes des autres, et seulement en vue de la meilleure disposition à obtenir trois des échelles, (a<), (a2) et (as) par exemple, réduites à leurs portions utiles PiQ^ P2Q2» PsQa-

Pour fixer la position de la quatrième échelle sur son support,

il suffit de fixer celle d'un de ses points. Or il sera toujours facile,

par une particularisation convenable, d'obtenir un système de

valeurs de a®, a", aj et aj satisfaisant à l'équation. Dès lors, la

droite, joignant les points cotés a^ et a", coupera l'axe des pivots

en un point, et la droite unissant ce point au point coté 7.\ coupera

le support de la quatrième échelle au point où devra se trouver

la cote aj. Ce point suffira pour déterminer la position de cette

dernière échelle.

90. Exemples. — Nous allons donner des exemples de l'un et de l'autre procédé :

I® Abaque des poutres uniformément chargées. — Si une poutre à section rectangulaire de largeur b et de hauteur h supporte une charge uniformément répartie q par mètre courant sur une portée /?. on a, entre ces quantités, la relation

k étant la limite de travail admise pour le bois par unité de surface (par eiiemple 60*^ par centimètre carré). D'ailleurs la valeur commune des deux membres de cette égalité est le moment de flexion de la section la plus fatiguée.

Posant

nous pouvons écrire cette équation

log<7 -\- alog/? = iog^ -+- 1 log/t 4- logXi. Prenant donc /i = log^, /î='2log/?, /a^Iog^, /4=^•2log/^ — logXi,

nous aurons, par application du premier procédé, l'abaque à double alignement correspondant, en posant

(q) Ui= /ilog^,

(p) Wî = — /î^log/?,

(b) "3= ^jlogô,

(h) "i = — hi'i^o^h -h logA-,),

avec

La yiff. 96 donne la réduction au tiers de l'abaque construit d'après ce • procédé par M. J. Mandl, lieutenant du Génie dans l'armée autrichienne (»), avec les modules

/, = 7-,5, /•-4'^",7^, /3=ia'"w, /4=6'=^35.

Les échelles graduées sont alors définies par

(7) "i^ 7"">5 xlogy,

(p) Wî-^ — 9"".44xlog;>,

(b) W3^ i2'''",7xlog6,

(/ï) Mv - — 12*'", 7 X Iog6 —6,35 X logAri.

Si Ton se reporte à la manière d'effectuer la construction indiquée à la fin du n** 89, on verra qu'il est inutile de calculer le terme constant du second membre de cette dernière formule.

M. Mandl a complété cet abaque (*), par un dispositif ingénieux qui permet de déterminer b et h en vue de rendre la section de la poutre semblable à un rectangle donné. Posons

(•) Mittheilungen ûber Gegenstânde der Artill.-u.~Genie-Wesens, 1893. La disposition de la /îg. 96 suppose le sens positif pris du haut vers le bas.

(-) Sur l'axe des pivots, l'auteur, d'après la remarque faite plus haut, aurait pu inscrire les valeurs du moment de flexion. Il a préféré, avec juste raison, inscrire les numéros d'échantillon des fers du commerce, de type courant en son pays, (jui donnent ce moment de flexion. La graduation de gauche se rapporte à des fors à double T, celle de droite à des fers à U. L'index tendu entre le point cote <7 cl le point coté p venant rencontrer l'axe des pivots en un point, il suffit, sur chaque f^raduation, de prendre le numéro inscrit au-dessus de ce point pour savoir quel est le type de fer correspondant à adopter. Pour l'exemple numérique indiqué en pointillé {p — \"',C)o, ^y=:oS:'i1), on a le choix entre le fer à double T n" 10 et le fer ù U n" 30. Les fabricants de poulres en fer devraient joindre un abaque de ce genre à leur album d'échantillons pour tous les types de sections.

Fig. 96.

JL2

nir

rv^

35JL

25 JL

-Te

■ ao£L--

ft.A^UJ-.g

jLSO

Nous avons alors

log6 — logA = logX.

Or, si nous faisons un changement d'origine sur l'axe A^Uv» et si nous remettons /j à la place de 12'"*, 7, nous pouvons écrire les formules définissant les échelles (6) et (h),

1/3= /jlog6, 1/4 = — /alog/i.

Nous voyons donc que, pour les couples de valeurs satisfaisant à la relation ci-dessus, nous aurons

Mj-^- M4= /s logX.

Cette équation définit un point (X) situé sur la parallèle équidistante des axes As «s et A4U4. Donc, />owr que la section ait la similitude définie par une certaine valeur de X, il suffira que Vindex passe par le point (X) correspondant.

Ayant tracé la parallèle équidistante des supports des échelles (6) et (A), il n'y a qu'à joindre par une droite les points cotés 60 et A01 ^els que

pour avoir sur cette parallèle le point (X) correspondant. C'est ainsi, par

exemple, que les droites joignant le point (^i) coté 20 aux points (b) cotés i5

et 20 donnent les points A et B correspondant respectivement à X = 7 et

Les lignes pointillées de la fig. 92 montrent les positions de l'index pour Texemplc numérique p = 4'"î6o, q = o\ 4i-

Pour X = - , on a 6 = i7'^'", h = 23'^'",

cm

•2" Abaque de rêcoulenient des gaz par des tuyaux, — M. F. Gaud a reconnu que récoulement des gaz dans les tuyaux obéissait à l'équation (^)

^D5=i655AQ«, où

h représente la perte de charge kilométrique exprimée en millimètres

d'eau; D le diamètre du tuyau en cenlim(Hrc?; A le poids du mètre cube de gaz en kilogrammes; Q le débit horaire en mètres cubes.

(') Bull. ojf. de la Soc. tcchn. de iAcctyUne, r année, p. i3«5; 1898.

PraUquement, d'ailleurs,

h reste compris entre o,i et 3oo, D » 0,5 et 25,

A » o,o8 et 3,

Q M o,oo5 et loo.

ÉcrivoDS d'abord Téquation ci-dessus sous la forme

log^ H- 5 logD = logA -^ 2logQ H- logi655.

D'après la remarque faite plus haut, il n'y a pas lieu, pour la construction des échelles, de tenir compte de la constante. Nous poserons donc, suivant le second procédé,

(h) a, = /, logA,

(D) W2=/, DlogD,

(A) M3=/3l0gA,

(Q) i/,-/4 2logQ.

Nous avons d'ailleurs

Oi= logSoo — Iogo,i =3,47, 02= 5(log25 — logo,5) =8,i9, 83= log3 — logo,o8 —1,57,

O4 = 2(log 100 — logOjOOj) = 8,60.

Par suite.

Ces deux quantités étant peu différentes Tune de l'autre, les longueurs des échelles, supposées égales pour chaque couple, n'auront elles-mêmes, entre elles, qu'une petite dilTérence.

L'égalité rigoureuse pour chaque couple exigerait que l'on eût, d'une part,

de l'autre,

I O I "^ loi''

Ces divers rapports sont voisins des suivants :

qui satisfont, en outre, rigoureusement aux égalités nécessaires

Si on les adopte, on obtient les longueurs d échelles voulues pour le

rlOO

rO.5

so-

lo-^

ao5^

OtOl-

aoos -

lO-T

degré d'approxiinalioii qu'exige la pratique en prenant

fl — 70 , {2 -^ 10 , «3—1 ^o , /; — 9.4

mm

tQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEXENT. 227

Les échelles sont dès lors définies par

(h) i/,= 7o"""log/i,

(D) i/jr^ i4o«»"logD,

(A) M3— i'2o""" logA,

(Q) wv= 48™"logQ,

et leurs longueurs sont données, au millimètre près, par

Li= 7o""(log3oo — logo,i) =238* L, = i4o"""(Iog25 —logo, 5) =238' L3 = i2o"""(log3 —logo, 08) = 192' L4= 48'"'"(Iogioo — Iogo,oo'))= 2o6'

(mm

(mm

.mm

Lmm

On voit qu'elles diffèrent peu les unes des autres.

Les distances a?i, arj, 3:3, r^ de ces échelles à l'axe des supports devront être telles que

Xx '»

3Cz

Xi 2

Pour que l'index rencontre les axes sous des angles qui restent sensiblement compris entre 4^** et 90", il faut que les écartements des échelles {h) et (D) d'une part, (A) et (Q) de l'autre, diffèrent peu de la longueur des échelles. On atteint ce résultat en prenant

C'est avec ces données qu'a été construit l'abaque dont la Jlg. 97 est une réduction.

Les deux positions de l'index marquées en pointillé sur la figure montrent que pour h = 2,3, D = 4,6, A = i ,5, on a Q = i,25.

91. Échelles reclilignes non parallèles. Abaque du nivellement barométrique, — Les équations qui viennent d'être représentées, à titre d'exemples, sont de la forme

Il a suffi de prendre les logarithmes des deux membres pour leur donner la forme voulue, mais elles peuvent, sans subir cette transformation, être traduites en abaques à pivotement. Si, en effet, on appelle a la valeur commune des deux membres de celte équation, on peut représenter les équations

en posant d'une part

de l'autre

u = /a, u = ioL,

«3= Ufiy

et faisant coïncider les échelles (a).

En voici un exemple emprunté à l'excellent Traité de Topographie de M. Prévôt (ï).

La diiïérence de niveau Z, en mètres, entre deux stations voisines, est donnée approximativement par la formule

où h et t désignent la hauteur barométrique exprimée en millimètres et la température à la station supérieure, h' et t' les mêmes quantités à la station inférieure.

Posant

on peut écrire cette formule

Appelant a la valeur commune des deux membres de cette équation, quantité qui représente la différence de niveau correspondant à une diffé-

(') La Topographie appliquée aux Travaux publics (Ouvrage faisant partie de la Bibliothèque du Conducteur des Travaux publics; Dunod, éditeur; 1K98). L'abaque ici reproduit figure sur la Planche jointe au Tome \.

M. Prévôt a également construit, pour la détermination du poids des cordes filées employées dans les instruments de musique un remarquable abaque à double alignement rentrant dans le type du n" 02, mais s'appliquant à une équation plus compliquée. M. Gustave Lyon, Directeur de la maison Pleyel- WoIfT, qui a fait constamment usage de cet abaque au cours des éludes qui l'ont conduit à Tinvention de la harpe chromatique, a, dans une conférence faite le i\ février 1H97 devant le Groupe parisien des Polytechniciens, déclaré que Pabaquc de M. Prévôt lui a fait gagner les on/.e douzièmes du temps qu'il eiU dû, s'il en avait été privé, consarrcr au calcul numériciue.

Nous citerons encore un abaque de ce genre construit par M. G. Pesci pour le jaugeage des tonneaux (G. C. ; t. \\\V; 18)9).

rcnce de pression de i"", nous poserons, comme il vient d'être dit,

(z) ui = /jZ,

(6) «3= /3(8ooo-i-32e).

Les échelles (e) et (^i) seront alors défînies respectivement par

liiu — /M| = o, ou, en désignant par 81 la demi-distance des origines A et Ai,

(0 et

^ l -^ Lt

^ = ^' i-Tl

l^\iu— luz = o,

ou, en désignant par 03 la demi-distance des origines A et A3,

Fig. 98.

Lio

if

Li*

Lis

Lie

\a fig, 98 reproduit l'abaque ainsi conuruit par M. Prévôt : i** avec les

q3o chapitre 111.

I mm

modules /= lo™", /i=o"",i, /8= -; — 't ^i" avec les mêmes modules / et /j

€l le module /i= o""°,5.

Les deux abaques ainsi obtenus ne diffèrent que par leurs graduations (Z) et (e). Les deu\ graduations distinctes relatiyes à un même axe sont placées de part et d'autre de cet axe, ce qui, en l'espèce, est d'autant plus commode que les points de division sont les mêmes d'une graduation à l'autre et que seules les chifTraisons difTèrent, l'une étant quintuple de l'autre.

Pour qu'il n'y ait aucune hésitation dans la façon de lire ces graduations, celles qui doivent être associées dans la seconde position de l'index ont été munies de chiffres soulignés.

Les deux positions de l'index, tracées en pointillé sur la figure, se rapportent à l'exemple numérique pour lequel on a

iVoii

e = 24""",3, fx = 7io'"'",4, 0=i3",6.

L'abaque, pris avec ses graduations soulignées, donne

On aurait pu, pour la disposition des échelles de chacun des deux abaques juxtaposés, appliquer ici ce qui a été dit au n° 73.

92. Echelles curvilignes, — Parmi les équations rentrant dans le type général (2) du n" 88, celles qui se rencontrent le plus souvent sont de la forme

Désignant par a la valeur commune des deux membres de cette équation, on aura à représenter simultanément les équations

Pour la première, on pose

<a) u — Irt,

(«1) v=—I^fu

ce qui donne pour le5 points (a2)

{a,)o iiU-hl/^ç = lli^i

OU

f^our la seconde,

(at> u — loL,

Ce qui donne pour les points (a4) Ou

Il est, bien entendu, nécessaire de faire coïncider les échelles (a) des deux abaques, dont la graduation n'aura d'ailleurs pas à être marquée, et dont le support constituera l'axe des pivots.

Quant aux échelles (a,) et («3), on pourra leur donner le même support en prenant le môme axe des v dans les deux cas. Les graduations correspondantes n'auront alors qu'à être portées de part et d'autre de cet axe.

93. Exemple : Abaque de V écoulement de Veau dans les canaux découverts. — La formule donnée par M. Bazin (*) est la suivante :

OÙ U désigne la vitesse moyenne en mètres, R le rayon moyen en mètres, 1 la pente, y un coefficient numérique qui dépend delà nature de la paroi. Elle peut s'écrire

Sous cette forme, on voit qu'elle rentre dans le type (E) ci-dessus lorsqu'on prend

«i^T, aj=R, ^3=^1, «4=^ et

CUAPITBE lir.

Il eo résulte que les quatre échelles seront définies, < ) été vu au n° 93, par les formules suivantes :

Les échelles (y), (I) ei (U) sont rectilignes. L'échelle (R) a pour sup

port la courbe dont l'équation, obtenue par étiminaiion de R entre te^^ formules (R), est

La construction de cette ellipse est bien simple. Considérons i^ff- 99) Vig. 99.

rcle qui, rapporté à Oar a pour équation

à la perpendiculaire Oy élevée en O à ci

il le cercle décrit sur A,B comme diamètre. Pour une même abscisse x, a entre l'ordonnée^' du cercle et l'ordonnée^ de l'ellipse la relation

,>nr,

Donc, réduisant l'ordonnée PM' du cercle dans le rapport donne PM', on n'a qu'à faire tourner celle-ci en PM de façon à la rendre parallèle à 0^ pour avoir le point correspondant M de l'ellipse.

Les expressions (R) et (U) de a^ montrent en outre que les cotes R et V des points M et Psont liées par la relation

T/abaque, dont la fig. loo est une réduction, a été construit avec les

nodules

/ = S"", Ix = Sa"", /j = 8""",

la demi-distance des origines A et B étant

En outre, Téchelle (U) étant d'abord supposée s'étendre de A (coteoo)

Fig. loo.

Ua

à B (cote o), on a, pour une raison donnée dans la Remarque qui termine le n** 73, pris Taxe AB des origines incliné à 6o° sur la direction des axes Au et Bp.

L'échelle (y) est alors donnée par

C'est une échelle régulière facile à construire (* ). Elle a été portée sur le cAté gauche de l'axe Bp.

(') Les seules valeurs de y à considérer sont, d'après M. Bazin :

o,o6. — Parois très unies (ciment, bois raboté, etc.)*

o,i6. — Parois unies (planches, briques, pierre de taille, etc.)*

0,46. — Parois en maçonnerie de moellons.

o,85. — Parois de nature mixte (terres très régulières, pcrrés, etc.).

i,3o. — Parois en terre dans des conditions ordinaires.

1,75. — Parois en terre d'une résistance exceptionnelle (galets, herbes, etc.).

234 CHAPITBE III.

L'échelle (I), portée sur le côté droit, de I = o,oooi à r=o,oi, ^= défînie par

L'échelle (U), portée par l'axe AB des origines, est définie par

C'est une échelle segmcniaire (n"5, 3"), bien facile à construire soit a * moyen d'un étalon segmentaire, soit par transformation d'une échel^^ régulière (n""?), puisqu'on en connaît immédiatement trois points qui socm ^ le point A coté oo, le point B coté o, et le milieu de AB coté i. Il suff^ ^ d'ailleurs de prendre les valeurs de r entre o, i et 5.

Pour ce qui est de l'échelle (R), on commencera par tracer l'ellipse qu ^ lui sert de support en remarquant qu'ici le rapport de réduction qu ^ entre dans les formules (2) est

Une fois ce support construit, on a immédiatement l'échelle (R) en remarquant que, d'après la formule (3), qui donne ici

on a la projection de l'échelle (R) sur AB, faite parallèlement à Au et B(^, en divisant par 4 les cotes de l'échelle (U).

Il suffit de prendre les valeurs de R entre o, 2 et 5.

C'est ici l'axe Xu qui sert d'axe des pivots. Pour savoir quelle est sa longueur utile, il suffit d'associer la plus grande valeur de y (Y = ï>7^) à la plus petite de R (R = 0,2). On trouve ainsi un peu moins de 8*", 8.

Les positions de l'index tracées en pointillé sur la Jig-, 100 correspondent à l'exemple numérique y = i ,3, R = 1,6, I =o,ooa, pour lequel l'abaque donne U = 2"", 4. ^

B. — Abaques a transversales diverses.

94. Abaques à transversale circulaire, — Si l'on analyse le mode d'emploi des abaques à points alignés, on reconnaît qu'il consiste essentiellement en ceci : deux points cotés déterminant la position d^une transversale rectiligne (l'index) tracée sur un transparent, si cette transversale passe par un troisième point coté, il existe entre les cotes des trois points une équation dont on a ainsi un mode de représentation.

L'idée se présente dès lors de remplacer la transversale recti- Qe par une transversale quelconque, telle que sa position soit

complètement définie par deux points cotés. Cette idée se rencontre dans un Mémoire de M. le capitaine Goedseels (*), professeur à rÉcole de Guerre de Bruxelles, dont nous allons résumer la substaDce.

La seule courbe, invariable déforme, qui partage avec la ligne droite la propriété d'être déterminée de position par deux points, esl un cercle de rayon constant. De même, en effet, qu'une droite définie par deux points peut glisser sur elle-même en faisant naître une translation, un cercle de rayon donné, défini par deux points, peut glisser sur lui-même, en faisant naître une rotation. Le type d'abaque correspondant est donné par \difig. loi .

Fig. ICI.

La considération des transversales circulaires ne présente guère qoun intérêt théorique. Nous nous y arrêterons toutefois un instant pour faire voir que le calcul que nous avons développé au D'^ 82 permet de mettre sous forme symétrique (^)le type généf^l d'équation ainsi représentable.

L'équation du cercle de rayon R servant de transversale, rapporté à deux axes rectangulaires fixes, mais d'ailleurs quelconques, du plan est

5cl 7i étant les coordonnées variables de son centre. Exprimant

(') Le» procédés pour simplifier les calculs ramenés à l'emploi de deux transçersales gui se rencontrent au sein d'une graduation. Bruxelles, 1898.

(') Ce type d'équation n'est pas, dans le Mémoire de M. Goedseels, donné sous forme symétrique.

que ce cercle passe par les trois points cotés («i), (a2), ( dont les coordonnées sont définies respectivement par

on a les trois équations

jî+TT)»— 2//{- 2cp/r, -+- /?+©?— R«=o (i= f,2, 3,).

Le problème qui consiste à éliminer Ç et tj entre ces trois éq lions est algébriquement le même que celui qui a été réso au n^ 52, lorsqu'on remplace

ai par i,

— lOl,

Nous pouvons donc écrire immédiatement le résultat. Convenant d'abord, pour simplifier l'écriture, de poser d'une manière

générale

at b\ C\

a, bi Cl =!a/^iC/|,

«s ^3 Cz

et remarquant que

I ai /;-f-(p/-R« 1 = 1 I «/ /* + ?? .

fi

nous avons pour l'équation cherchée

Si l'on pose

on voit qu'avec la notation abrégée du n° 52 l'équation précédente

peut s'écrire

D)-hD|-f-4D^(D— R«D^) = o.

En particulier, si les points (ai ) et (ag) sont distribués sur Ox, les points (as) sur O^, celte équation, toutes réductions faites.

fiQUATIONS A TROIS YARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 287

prend la forme simple

95. Abaques à transversale quelconque et repère. Abaques àéquerre. — Si la transversale e.st autre qu'une droite ou un cercle (*), il faut trois (2), au lieu de deux, conditions pour définir sa position par rapport à l'abaque : aussi ne suffîra-t-il plus de la faire passer par deux points cotés et faudra-t-il lui imposer, eaoQire, une condition simple quelconque. Celle qui se présente tout naturellement à l'esprit consiste à mettre en coïncidence avec l'un de ces deux points cotés, un point marqué sur la transversale et que nous appellerons son repère.

En faisant varier la nature de celte transversale et la position du repère, on peut engendrer des modes de représentation en nombre pour ainsi dire indéfini, s'appliquant à des équations de types divers. Il s'en faut pourtant que toutes ces sortes d'abaques soient d'un grand intérêt pratique. Ceux qui. à ce point de vue, présenteront le plus d'importance, seront, cela va de soi, ceux pour lesquels la transversale sera de nature simple.

On peut, par exemple, supposer que celle-ci se réduise à un système de deux droites, plus particulièrement à deux droites rectangulaires ('), le repère étant le point de rencontre de ces deux droites. On obtient ainsi le type d'abaque représenté par la fig' 102 et que M. Goedseels a appelé abaque à équerre.

Il est très facile de former le type général d'équation correspondant. Les trois systèmes de points cotrs étant, en efTel, défi- Dïspar les formules

(') Rigoureusement il faudrait dire un système de trois droites parallèles ou QC trois cercles concentriques, comme on le verra plus loin (n" li5, Beni. I).

(') Pour s*en rendre compte, il êuffit de rapporter cette transversale mobile cl •ûTariable de forme à deux axes rectangulaires qui lui soient invariablement liés. S* position se trouve alors définie par celle de ces axes; or cela exige trois consistions, deux d'entre elles définissant, par exemple, la position de l'origine et la ^'oisiéme l'orientation des axes.

(') Ces deux droites rectangulaires pourront être soit dessinées sur un trans- P^cni, soit constituées par les bords d'une équerre, comme c'est le cas pour le ProGlomèlre Siégler (nMl3).

on a, en écrivant la condition de perpendicularîté des droit;. ^ O'X' et O'Y' dont l'ensemble constitue la transversale,

Si les points (ai) sont distribués sur l'axe Oy, les points (aj) ^i

(aj) sur Taxe O^, on a/i ^ o, ^2^ o, çj^ o, et l'équation se réduit à

Un abaque de ce genre se rencontre dans le profilomèire de M. Siégler dont il sera question plus loin (n® 113).

96. Abaques à trans^^ersalc quelconque pour équations à quatre variables, — La fixation sur l'abaque de la position d'une transversale quelconque, invariable de forme bien entendu, exigeant trois conditions simples, nous avons dû, pour utiliser une telle transversale dans la représentation d'une équation à trois variables, lui imposer une condition venant s'ajouter à l'obligation de passer par deux points cotés. Nous pourrons donc, au lieu de cette condition supplémentaire réalisée ci-dessus au mojen du repère, lui imposer l'obligation de passer par un troisième point coté et nous aurons ainsi un mode de représenlation applicable à des équations à quatre variables. Ce genre d'abaque est également proposé par M. Goedseels dans le travail déjà cité.

Reprenons, par exemple, l'équerre du numéro précédent; elle nous donnera le type d'abaque ainsi défini :

On applique, sur ^abaque portant les quatre échelles curvilignes («i), (aa), (as), (a4), une équerre dont on fait passer l^un des côtés par les points cotés ai et 0L2 et l'autre côté par le point coté OL^. Ce second côté coupe alors la quatrième échelle O.U point coté a,.

Comme précédemment la forme d'équation correspondante s'obtient immédiatement en écrivant la condition de perpendicularité des deux axes constituant la transversale, ce qui donne

Exemple : Abaque des levers tachéométriques. — C'est à M. Gocdseels que nous empruntons cet exemple.

Soient h la lecture stadimétrique, i la distance zénithale, a Tazimut donnés pour un point par le tachéomètre, X, Y, Z les coordonnées rectangulaires de ce point. On a, en représentant par C une constante instrumentale,

(i) X = /f(G sint-h cost) sin/cosa,

(2) Y — A(G sini H- cosf) sint sina,

(3) Z = //(G sin £ -f- cost)cosf,

ou, en supprimant le terme h cos'/, généralement négligeable, (3') Z = -Gsin9.t.

On voit que les formules (i), (2) et (3') se ramènent à une seule équation (E) ^ «4 = a2(Gsina3 H- cosas) sinaj cosai,

grâce aux identifications (1)1 OLxT=a, aj — A, «3—^, «4 — X,

(2)1 ai-^^ — r/, OLii^h, «3--^, a; — Y,

(3)i ai -:= 2t, a«— -> a3Ei3-, ol.-^L,

Bornons-nous donc à représenter l'équation (E). Or elle peut s'écrire. ^1 Pf q étant trois paramètres arbitraires dont on disposera par la suite,

(— ^cosa,) /?(sin«a3-4- gsinaacosasj -+- (— -^jir- 'j^)^ ""

Sous cette forme, elle rentre immédiatement dans le type général ci-dessi grâce aux identifications

-:. 'l^PS

^i^— q cos»!

ç>, =-=/? (sin*aj -I- ^sinascoszsj

riL -= o.

Les points («i) et (aj) sont donc distribués sur 0^, de part et d*auti

Fij;. io3.

If

A rn

(3ti ) -

ga-

T — Tr^'-I — T 1 1 M ' 'r ' 'I

(le l'origine, lc< points (a*) et (a^) sur la partie positive de Ox; oii dis-

ÉQUATIO:«iS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 24 1

i nouera d*ailleurs ces derniers les uns des autres en plaçant les graduatons correspondantes de part et d'autre de 0.r.

Pour un tachéomètre dont la constante G est égale à 100, ce qui est le 2 as ordinaire, et en donnant au\ paramètres m, /?, q les valeurs

. Goedseels a obtenu Tabaque dont la fig, io3 est la réduction à la oitié.

Les graduations angulaires y sont faites en grades (').

Prenons l'exemple numérique pour lequel les données sont

h = 1,54, a = 70^ t = 93S <l'où l'on déduit immédiatement

ce dernier angle, pour être compris entre o et 2ir — 4oo*, ayant été augmenté de ai:.

Les trois positions de l'équerre, dont la première seule a été marquée en pointillé sur la figure, donnent successivement :

Pour a, = 70, aj = i,54, ag = gS,

X = a^ rr. 66'" ;

Pour ai — 3o, «j = r, 54, ^3 — 93,

Y =av^i34"'; Pour ai = 3 14, ^i = 0,77, as = 100,

Z = av = 8"».

97. Abaques à parallèles mobiles. — La position du Iransparenty lorsqu'une droite qui y est tracée est amenée à passer par deux points cotés, n'est déterminée, avons-nous vu, qu'à une translation près; mais il est des lignes dont cette translation ne fait pas varier la position : ce sont les droites parallèles à la première. De là l'idée d'un autre mode de représentation appli-

(') Suivant le conseil donné par le colonel Goulier, pour la graduation des mires, les chilTraisons de (a,) et de {a^) ont été inscrites de façon que le sens croissant de la graduation soit dirigé vers la droite du chiffre lu normalement. Ce conseil n'a pas été suivi en ce qui concerne la chiiïraison de (ot})? parce que, l'abaque étant tenu comme l'indique la figure, les chiffres seraient lus à l'envers.

M. dO. 16

cable à des (^nations à quatre variables, qui a été proposé p. M. M. Begbin (' ).

Sur l^ abaque portant quatre échelles curvilignes (a,), (a^ (a,) et (a,), on applique un transparent portant des lign ^ parallèles équidistantes (Jig- io4), de façon que l'une d'elle' Ajj, passe par les points cotés ai et ol^. Celle, A', qui passe alo^

Fig. loî.

par le point coté as (-), rencontre alors la quatrième échelle en un point dont la cote est a,.

Il suffit d'exprimer le parallélisme des droites définies, d'une part par les points (a,) et (a^), de l'autre par les points (aj») et (as), pour avoir la forme de l'équation représentée

/s et '^4 désignant des fonctions quelconques de a,. Ce type est le même que celui du numéro précédent, ce qui était évident a priori.

Si l'on fait a^iziai, on tombe sur un mode de représentation d'une équation à trois variables dans lequel, à la variable ai correspondent deux éclielles curvilignes (a,) et (a,)'.

(') G. C. t. WII, p. i-j'i (iSq:)).

(-) Celte parallèle A' peut n'être pas une de celles qui sont effectivement tracées sur le transparent, mais être interpolée visuellement entre celles-ci. Lorsqut* les parallèles é({uidistantes sont suffisamment rapprochées, une telle opération comporte une {grande précision.

Oomme c'est la première fois que s'offre à nous un exemple de ce genre, nous insisterons sur la remarque que voici :

Lorsqu*à une même variable correspondent plusieurs sys- ^^mes gradués sur un abaque, cette variable, prise pour in- ^dnnue^ ne peut, en général, être obtenue au moyen de Va- ^€zque que par tâtonnements.

Dans l'exemple qui nous occupe, on voit que, pour avoir ai «orsque 7.2 et as sont donnés, il faut, ayant fait passer la droite A^ par le point coté aj, faire tourner le transparent autour de ce point, jusqu'à ce que la cote du point où AJ^ coupe l'échelle (a,) et la cote du point où la parallèle à A'^, passant par le point coté as (parallèle qui varie à chaque instant sur le transparent), coupe l'échelle (ai)', soient égales entre elles.

L'emploi d'un tel abaque ne sera donc avantageux qu'autant que l'on n'aura jamais à prendre la variable ai pour inconnue. Il faut observer d'ailleurs que, dans la plupart des formules usitées en pratique^ î^ y ^ une ou plusieurs variables, souvent même toutes les variables, moins une, pour lesquelles cette condition a lieu (').

Quel sera, d'autre part, le bénéfice que l'on pourra avoir à retirer d'une méthode de ce genre? Celui,, dans certains cas, de substituer à un abaque comportant des lignes cotées un autre abaque sur lequel ne figurent que des points cotés, dont la supériorité, tant au point de vue de la facilité du dessin que de la commodité et de la précision de la lecture, a déjà été signalée (n° 30).

98. Exemple (*) : Second abaque des murs de soutènement pour des terres profilées suivant leur talus naturel. — Reprenons l'équation du n* 53

k^ -f- kp sinç coscp — ~r cos'ç = o.

Nous avons vu qu'elle est représentable au moyen d'un système de cercles

les de droites; en revanche, elle ne l'est pas au moyen

et de deux systèmes de droites; en

(1) Cette remarque a déjà été formulée, sous une forme un peu différente, dans le renvoi au bas de la page 32.

(') La modification du profilomctre Siégler, que nous avions proposée naguère (A. P. C, avril i883, p.403), est un premier exemple d'application de ce procédé.

de trois systèmes de droites entrecroisés, ni non plus, corrélativem par points alignés.

La méthode des parallèles mobiles permet néanmoins, comme va voir, de représenter cette équation uniquement au moyen de s tèmes de points cotés; c'est même à l'occasion de cette application iM. Beghin a fait connaître le principe de la méthode.

L'équation peut s'écrire, X, {x, v étant des paramètres actuellement in terminés,

H^ ^'' f • ^ / » vcotçpN

sin<pcos^ [i ' \ -i /

Elle rentre alors dans le type général ci-dessus, moyennant les identi cations (' )

2fX

sin2cp

tn m — = f\

''^ sincpcoscp

/3-vA,

?), (?i), (j»)et(A-)

seront

dès lors définies

sin2^

vcottp

Les deux premières auront pour support l'axe Oj*, de part et d'autre duquel elles seront marquées, la troisième Taxe 0^, la quatrième la parabole dont l'équation est

Ix^

Si l'on prend X r-. S^^y [i r= a*^"", v = 6*"', ou a

/cm X = -r — >

sin2(p

X — ?/"'.C0tQp,

C) On peut ici, bien évidemment, faire correspondre deux échelles à la variable cp, allendu que cet angle, qui représente rinclinaison naturelle des terres employées, sur l'horizon, n'a, en aucun cas, à être pris comme inconnue.

fiQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 2^5

r*our les mêmes limites des variables qu'au n° 53, et en prenant les axes Ox et Oy inclinés à 45* Tun sur l'autre, on obtient l'abaque de

Kig. io5.

la fig. io5. On a, sur cette figure, tracé en pointillé les positions des parallèles correspondant à l'exemple numérique du n° 53, savoir :

tp = 3o*, p = 0,75.

L'abaque donne bien encore

2^6 CHAPITRE lY.

SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS (•)• APPLICATION GÉNÉRALE AU CALCUL DES PROFILS