I. — Généralités
99. Abaques indépendants, accouplés ou superposés. — On rencontre dans quelques applications des systèmes d^équatioiis de la forme
F(ai,a,,a,) = 0, *(ai,aï»3t4) =0.
On peut, en utilisant les méthodes exposées dans les deux Chapitres précédents, construire un abaque pour chacune de ces équations. Ces abaques indépendants permettent de calculer les valeurs des deux dernières variables lorsqu'on se donne soit ai et 7.2J soit Tune de celles-ci avec a3 ou aj.
Supposons, par exemple, qu'on se donne ai et as. L'abaque de F fait alors connaître a-j, puis, au moyen de ai et aa, l'abaque de <[> fait connaître a^.
Mais, si l'on se donne ol^ et a,, les abaques construits ne permettent d'obtenir a, et a^ que par tâtonnements. On procéderait ainsi : Prenant arbitrairement une même valeur de ai sur les deux abaques, on verrait, en la joignant respectivement aux valeurs de ag et a., données, les valeurs de ol^ qu'elle déterminerait, et l'on ferait varier cette valeur commune de ai jusqu'à ce que les deux valeurs obtenues pour aa devinssent égales.
(') On trouvera ail Chapitre suivant (n" 139) uu autre exemple d'abaque pour iin système de deux équations.
SVSTËHES DE DEUX EQUATIONS. 2^J
Un tel procédé laisseraiL à désirer sous le rapport de la rapidité et de la précision, \fais il faut bien dire que, lorsque, en pratique, des équations se présentent sous la forme ci-dessus, ce sont les variables aj et ce, qui y sont génératenicnt prises pour inconnues. Puisque le choix est libre de deux sur trois des systèmes cotés constituant l'abaque d'une équation (n" 46), On peut toujours admettre pour chacune des équations précédentes un système commun répondant à une des variables communes, a, par exemple, «t, en particulier, un s^'stème de droites parallèles. Dans ces conditions, on peut dessiner les deux abaques l'un à côté de l'aulrt: en superposant leurs sj'stèmes de parallèles (a,), tout en dégageant l'une de l'autre les parties utiles des autres systèmes cotés de chacun d'eux. On obtient ainsi un diagramme dont la disposition est celle de la^ï"'. io6, et l'on dit que les deux abaques sont accouplés par la variable a, .
La remarque qui vient d'être faite à propos des abaques indépendants s'applique encore aux abaques accouplés. Ils ne peuvent donner a, et ^i, lorsqu'on connaît a, et x,, que par tâtonnements.
Mais, puisque, comme nous venons de le voir, nous disposons librement de deux des systèmes cotés de chaque abaque, adoptons maintenant pour l'un et pour l'autre les mêmes systèmes (cl,) et (xi). Nous pourrons alors tracer sur le même tableau le système (a,) et le système (a,) qui, joints aux deux premiers, constituent l'un l'abaque de F, l'autre l'abaque de 4'. Dans ce cas, le diagramme obtenu présente la disposition de la Jlg. lo-, et nous disons que les deux abaques sont superposés.
Ici, les courbes cotées qui correspondent ù des valeurs de »t, «ii*j.'**CO''*"'w«"""'*^'^''^""î'^^*<'^""o^*'^^^ équations don-
^4^^ <:HAPIThe IV.
nées, passent par un même point. Il est, par suUe, iadifférenl=r^ qu'on so donne les valeurs de tel on tel couple d'entre elles. Le^^courhcs cotées au moyen des valeurs des variables données s^scoiipenl en un point par où passent deux courbes prises respecli — vemenl dans les deux autres systèmes et dont les cotes sont le& valeurs des inconnues.
Fig. .07.
La superposition des deux abaques étant, comme on vient de le voir, toujours chose possible, il semble, « priori, qu'on ne doivf pas hésiter à y recourir dans tous les cas. Il est cependant uneconsidération qui peut y faire renoncer : il se peut, en elTel, qur chacun des deux abaques F' cl <[> soit individuellement susceptible d'unamorphiise avec des choix dilTércnls pour les systèmes (a,) et (xi); dans ce cas, la bien phis grande simplicité de la construction pourra faire renoncer aux avantages de la supcrpo-
/iemarque I. — Si les équations F et 4> sont de la forme
les courbes cotées (xj) et (a,) sont géométriquement les mémr et ne dilTèronl que par leurs graduations. Le diagramme forn par les abaques superposés se réduit donc ;'i un ensemble de Irt systèmes de courbes lOLées, dont l'un pourvu de deux graduatioi l'une pour aj, l'autre pour «i-
SYSTÈMES DE DEtX ÉQUATIONS. 249
11 va sans dire que, dans ce cas, il ne peiil être question de l^T^endre ol^ et cl^ comme données indépendantes. La connaissance ^e Tune d'elles entraîne celle de Tautre et laisse le système des "Valeurs de ai et a2 indéterminé.
Remarque II. — Si les équations sont telles qu'il puisse y
«xvoir superposition, et que les quatre systèmes de lignes cotées
^ie soient composés que de droites, on substituera à celles-ci,
Cïn vertu du principe du n° S6, et par l'emploi des coordonnées
parallèles (n" 57), de simples points cotés.
Dès lors, la droite joignant les points correspondant à deux des variables coupera les deux dernières échelles en des points dont les cotes seront les valeurs correspondantes des deux autres variables (*).
100. Exemples (*). — i" Abaque des triangles sphériques rectangles. Point à la mer. — La resolution du triangle sphérique ABC, rectangle en A, peut, dans cinq cas sur six, se réduire à l'emploi des deux seules équations
(i) cos»! cosaj — cosas,
(2) cotai sinaj — cola^.
Les cinq éléments à considérer dans le triangle sont, en effet, l'hypoté nuse a, les côtés de l'angle droit b et c, et les angles droits B et G, d'où les six cas de résolution :
Données. Inconnues.
I*' cas a, b; c, B, C;
2* cas bf c; a, B, C;
3* cas «î B; 6, c, G;
4* cas 6, B; a, c, G;
5* cas ^, G; a, c, B;
6* cas B, G; «, 6, c.
(*) Indépendamment de l'application de ce genre d'abaque, développée dans les n** 110 et 111, nous citerons encore les échelles (a) et (e) de l'abaque du commandant Bertrand (n*> 71), chacune d'elles jointe aux échelles (g), {d) et (y) constituant un abaque du type visé dans la Remarque II ci-dessus, et un abaque construit par M. Dariès pour la formule de M. Maurice Lévy, relative à récoulement de l'eau dans les conduites {Nouv. Ann. de la Construction^ 5* série, t. IV, col. ii3; 1897).
(^) L'abaque des corrections dynamiques de niveau ( n" 36, 2") peut être cilé comme un exemple d'abaques superposés, les deux abaques en lesquels il se décompose ayant en commun les éléments cotés {d) et (t, ).
on a
ai=c, a^sB,
ai=-:a, av.= B,
a, - 6, at=c,
a,. -a, «issc,
Voici comment les équations (1) et (a) permettent de résoudre les cioq premiers cas (*) :
i'^ cas : Pour aj==a, a|=^6,
u* r^5 ; » ai =^ b, ajr-^ c,
a,-3 c, OLib,
V Cfis : •• a3r-=flr, av:~ B,
» ai^"C, ajf-ft.
i' oa* ; » ai F b^ a^ =^ B,
ï'^ Crt5 ; » aj r= 6, a^ =~ C,
11 suffit donc de superposer les abaques des équations (i) et (!i) pour pouvoir résoudre à vue, au moyen de Tabaquc à quatre systèmes de lignes cotées ainsi obtenu, les cinq cas indiqués ci-dessus.
Kn prenant tout simplement pour lignes cotées (ai) et (a,)
( ai ) j* — /ai,
( aj ) j^ = /a*,
ce qui donne
(a,) cosy siuy - cosa,.
(Xi) nu y sin •--- — cola;,
on obtient Tabaquc do la Jifi^. 108, construit par MM. Favé et Rollet de risl(\ ingénieurs hydro«:raphes, en vue de l'application suivante (*) :
Dans la détermination du point à la mer par la hauteur des astres, on a à résoudre le triangle pcMe-zénilh-aslre V7»E (Ji^. 109), connaissant la dislance polaire PE — 0, la colatitude PZ = X et l'angle horaire ZPE = iH. Il s'agit d'ublenir la distance zénithale ZE — 5 et Tazimut BZE = A, ou >ou su|)plément PZE (').
On peut, pour elToeiuer celte résolution, appliquer le procédé de Towson, qui a déjà donné lieu au\ tables de Lord Kelvin (Sir William Tliom>on) et qui consiste à mener par le point E le grand cercle EB normal au méridien PZ.
I ' • On trouvera plus loin ( n"* \'1\) un abaque pernietlaDt de résoudre tous les ras possibles relatifs aux triangles sphériques.
(-) Annales hydrographiques., i\)>..
(') C'est cet angle que, dans leur Mémoire, MM. Favé et Rollet de PIslc représentent par \z.
SÏSTbXES DE DEUX ÉQUATIONS- 35l
n»-it triangle rectangle PBE nous pouvons, connaissant à et Ai, cqI. PB == m el BE = n. C'est ici le troisième cas de résolution, et, en
Tn
tMj
TE
mr
ffî
îF
It"--/
:>f><<:5Mi-
iH"
Tm
tt
.Ai?
vnl
fl-^
"t^CT
tf^
cH
ht^T-
reportant au tableau ci-Ucssus, nous voyons qu'il suffit de prendre que l'abaque donne
•loi CHAPITRE IV.
Nous connaissons alors, dans le triangle rectangle ZBE,
BE = n et ZB -^ m — X,
et nous devons calculer z et A. C'est ici le deuxième cas de résolution
Fig. iot>.
et le même tableau nous montre que pour
«ï -- /i, aj— m — X,
Tabaquc donne
lin résumr, rem])loi <le Tabaque pour obtenir z et A, connaissant o, M et X, «iera le suivant :
Ayant pris le point de rencontre des courbes «3=:: o et «4= M, on descend sur l<i verticale de ce points au point dont la distance au premier y comptée sur cette verticale, est égale à X. Les deux courbes passant par ce nouveau point donnent a^^rr. z et a^ — A.
Kn prenant sur les axes Ox cl Oy des échelles de 9.""" pour io\ et, traçant les courbes de 10' en lo', on obtient facilement l'approximation de la minute qui suffit pour les besoins delà navigation. \^î\ Jig. 110 reproduit, à grandeur d'exécution, un fragmentde 10" carrés de l'abaque de MM. Pavé et Rollct de l'isle. L'interpolation parallèlement aux axes s*opère au moyen d'un transparent sur lequel un carré de 1° de côté est subdivisé en carrés de 10' de côté.
Pour les différciits usages auxquels cet abaque peut se prêter pour les besoins de la navigation, nous renvoyons au Mémoire des auteurs où la (jucstion est traitée dans les plus grands détails.
SYSTËHER DE DEUX EQUATIO.NS. ioi^
a° Abaque des formules de Fresnel pour la réjlexion vitrée ('). —
Ces formules dtfinissent les racines A ei k des coeffirienls de réilexion h*
t A' de la manière suivante :
(I) Cooatruit par le tapiiainc Lafa; [Journal de Physique théorique et appliquée, î* série, t. VIll, p. 96; 1899).
Pour construire Tabaque de ce système de deux équations, le capitai Lafay les a d'abord mises sous la forme
