II. — Calcul des profils de remblai et de déblai
101. Généralités. — Les équations qui s'oflVent dans le calcul des profils de remblai et de déblai rentrent dans les types
(^) [/i(ai)J"'»f/2(a,)]"''-/4(aO.
Pour représenter la première de ces équations par trois systèmes recti lignes, on posera, en représentant par U, V et W trois fonctions linéaires quelconques en x ely (3), soit
^^) /i~Y» •^*"'tJ' /5=Y'
( ') Cet abaque à (|ualrc échelles semble, au premier abord, appartenir à la catégorie des aba(iues superposés (n" 99); il n'en est rien. Kn réalité, il s'agit ici «le deux abaques accow/?/e.v par l'échelle {i), attendu que la seconde échelle commune se rapporlr, pour l'un et pour l'aulrc des deux abaques réunis, à des variables différenlcs h et k.
("^) Il va sans dire que ces fouctions linéaires doivent être telles que leurs quotients deux à deux ne se réduisent pas à des constantes.
soit
Afin d'employer pour le second abaque au moins un système de lignes cotées commun avec le précédent, nous écrirons l'équation (2) ci-dessus sous la forme
Nous voyons alors qu'il suflit, pour que le second ne se compose que de lignes droites et soit accouplé au premier par la variable ai, de poser, en appelant T une nouvelle fonction linéaire, soit
soit
Cela fait donc, dans Thypothèse de l'accouplement par la variable ai , quatre variantes de la solution qui peuvent être résumées dans le tableau ci-dessous :
rM
variante, variante, variante, variante.
i*' abaque ....
2' abaque { /7" =
Si l'on voulait que les abaques fussent superposés, il faudrait, clans le groupe (3) ou le groupe (4), prendre les deux premières M. D'O. 17
équations, ce qui donnerait, pour le système (^4), soit
et Tune ou Taulre de ces fonctions rationnelles ne sauraient se réduire à des fonctions linéaires que pour m^ = m2, auquel cas on retomberait sur la circonstance examinée dans la Remarque 1 du n" 99.
Donc, la superposition entraîne dans ce cas la nécessité d'admettre un système de lignes cotées non droites, ce qui met obstacle à l'application du principe des points alignés.
Mais l'anamorphose logarithmique (n® 28) permet de tourner la
difficulté. 11 suffit, en effet, d'écrire les équations précédentes
sous la forme
log/,--log/|r=log/3
pour qu'en posant
m, log/i -t- /w, log/j = log/iy
log/i=M, log/,-N, log/3-M-+-N,
M et N étant deux fonctions linéaires quelconques en x et y, on ail deux abaques supcrposablcs, puisque les lignes cotées (ai) et (a2) y sont les mêmes, et, de plus, uniquement composés de droites, ce qui permet de les transformer en abaques à points alignés.
I^es principes qui viennent d'être exposés contiennent la théorie de tous les abaques qui ont été et pourraient encore être proposés pour le calcul des profils de remblai et de déblai. Nous allons nous étendre sur ce sujet non seulement en raison de l'intérêt intrinsèque qu'il présente pour les ingénieurs, mais encore parce que c'est précisément à son occasion que sont nées la plupart des méthodes d'où est sorti le germe de la Nomographie. On va voir avec quelle simplicité la synthèse réalisée dans ce corps de doctrine permet de retrouver les multiples solutions du problème, dues à diflerenls auteurs, et d'en faire une comparaison critique.
102. Rappel des formules. Distinction des cas, — Représentons par
z la cote du sol naturel, prise avec son signe, par rapport à la plate-forme (remblai, signe — ; déblai, signe H-);
ô la déclivité transversale (tangente de l'angle sur l'horizon) du sol naturel, prise avec le signe -+- ou avec le signe — , suivant que, à partir de l'axe, le sol est en rampe ou en pente ;
b la demi-largeur de la plate-forme ;
V cette demi-largeur augmentée de la largeur du fossé;
bf la distance à l'axe de l'arête inférieure et intérieure du fossé;
/ le talus des remblais ;
£' le talus des déblais ;
h la profondeur du fossé ;
F l'aire de la section du fossé;
o son périmètre (somme de la largeur au plafond et de la longueur des deux talus);
R l'aire du remblai ;
D l'aire du déblai ;
€ l'emprise ;
/ la longueur du talus.
Posons, en outre,
bt = a,
bu
et considérons les quantités e, À, t, s', )/, ff', v définies par les formules
ff H- C =
{a'^zy
I h I désignant la valeur absolue de Q.
Remarquons d'ailleurs que les formules (i) et (3) d'une part, (i') et (3') de l'autre nous donnent encore
(3 bis)
an- c = — 1
Tous les cas à considérer sont alors au nombre de six, pour lesquels les demi-proGls ont été représentés sur \difig> 1 13, et les
Fig. II 3.
résultats relatifs à ces six cas peuvent se résumer dans le tableau ci-dessous (*) :
(') Nous renvoyons pour les dcmonslrations ù notre Mémoire 0.19 d'où est extraite la matière de la présente section.
