J-HC

De même, l'abaque R bis correspondant au système des équa —

lions (i) et (3 bis)^ qui sont

(i) f-he= — -»

(3 bis) d -f- c —

donne un abaque Rt'', avec accouplement par la variable z^ dont* les quatre variantes sont données par le tableau ci-dessus, où Tonj remplace les premiers membres par

i**" abaque... { -»

2* abaque. . .

a — Zy

et un abaque Rg , défini de même par

I*' abaque... '

1 et — <C|

ff

9/ abaque... ' -^

Pour avoir des abaques superposés nous devrons, comme on l'a vu au n® 101, recourir à une anamorphose logarithmique en écrivant les équations (i) et (3) sous la forme

log(a -z) — log( / -^ 0) = loge, 2log(a — z) — log(/ -i- 0) = log(T -+- c) -+- log2,

et posant

log(a —;;):.-- M,

log(/-^e) = N,

d'où

loge = M — N, log(cn-c) -f-loga = 2M — N.

Ces quatre dernières équations, où M et N sont des fonctions linéaires en x et jk^ définissent les quatre systèmes de droites (>s), ^0), (s) et(o") de Tabaque à superposition. En y remplaçant x et y par les coordonnées parallèles u et ç^, on substitue à ces quatre systèmes de droites quatre systèmes de points.

Pour les raisons déjà dites (n** 56), c'est ce dernier type d'abaque qu'on devra préférer. Aussi nous y arrêterons-nous davantage (n®* HO, m et H2). D'ailleurs, en outre des avantages signalés à l'endroit cité, l'emploi des points alignés offre encore ici, comme on le verra plus loin, celui de permettre de compléter l'abaque par un dispositif fort simple grâce auquel, au moment même de la lecture, on est fixé sur le cas dans lequel on se trouve sans avoir à recourir à la /ig. ii4, et l'on connaît, s'il y a lieu, les abaques de renvoi correspondants.

Nous allons toutefois montrer comment les autres abaques qui ont été proposés pour le même objet rentrent dans les types généraux qui viennent d'être décrits.

iOS. Abaques superposés à graduations algébriques. — Ce sont ceux qui sont obtenus sans anamorphose logarithmique. Nous venons de voir qu'ils ne sont susceptibles de superposition qu'autant qu'on y admet un système de lignes cotées non droites. Il est très remarquable que le premier en date des abaques de cubature, celui de Davaine (*), appartienne précisément à ce typelà. Il est constitué par les systèmes de lignes cotées {^)

(z) a — z = Xj

xy

(*) Mémoires de la Société des Sciences de Lille, i845.

(') Ici, comme dans toute la suite de ce Chapitre* on a, pour simplifier l'écriture, fait abstraction des modules. II suffît, dés lors, de considérer, dans les équations des diverses lignes cotées, x et y comme les rapports respectifs de l'abscisse et de l'ordonnée aux modules correspondants.

a68 CBAPITHE IV.

ce qui donne hjlg. 1 15 {')où les arcs de courbes appartiennenl à des hjperboles ayant Ox el Oy pour asymptotes-

Suivant la remarque faite au début du n° 103, il suffit de mulir les droites (s) d'une seconde graduation définie par

pour avoir les valeurs correspondantes de ).. Cette observation serait à répéter pour tous les abaques suivants.

106. Abaques accouplés ('). — Nous n'avons pas, parmi les abaques counus, rencontré un seul exemple d'abaque du tjpeB:

Type Ro- — Si, dans la première variante de ce type, on prend

(') Celle (ieufi-S a

nqucl

c doit Hm considârtic que c

(') Parmi les abaques donnés en exemples dans ce paragraphe, les abaques SwitLonski et Paulin sont les seuls sur lesquels l'accouplement tel qu'il rient rl'élrc diillni ail cLi! réalisé par leurs auteurs. Pour tous tes autres, les deux abaques ont clé construits séparénienl.

a obtieot les droites cotées

qui déânissent uq abaque de M. Massau ('). Les axes des x des deux abaques étant mis en coïncideuce el les axes des y dans le

prolongement l'un de l'autre, on obtient la disposition de la fig. I i6.

Deux autres abaques du même auteur dérivent de la quatrième

(') Ann. de l'Astoc. des lngénieur$ $orlU des Écoles spéciales de Cand (iH8l) : Hémoire sur l'Intégration graphique (Lii. III; n" 302 et 2121).

'iJO CHAPITRE IT.

variante du ijrpe Rg avec les parLÎcularisatîons

et

Type Rî". — Si, daos la troisième variante de ce type, on prend

1 obtient les droites cotées

|w définisseal encore un abaque de M. Massau (>), représenu^ >«r \&Jig. 11-,

Si l'on porte les mêmes valeurs particulières de U, V. W et T tans la deuxième variaote, ou si l'on faft dans la quatrième, U=*, V=^, W = i, T = i,

QQ obtient encore deux abaques proposés par le même auteur.

Sur l'abaque de \ifig. 1 17 (comme d'ailJeurs sur tous ceux où interviennent des radiantes) on peut, suivant la remarque faite au n° 55, effacer les droites issues de l'origine, pourvu qu'on les remplace par une droite pivotante autour de ce point, en conservant un point de chacune d'elles muni de sa cote.

Dans ces conditions, rien n'empêche de replier la partie inférieure de la Jig. 1 17 sur la partie supérieure, ce qui donne lu fig. 118. Tel est l'abaque qui a été proposé par M. Switkowski(^).

Kig. 118.

rn fv, ■ iW-fî

nr-^-^

On voit que le mode d'emploi de cet abaque est le suivant :

La droite pivotante étant amenée à passer par le point 0 coupe ta verticale z en un point dont l'horizontale donne e, sur l'échelle de gauche, et X. La droite pivotante étant alors amenée à passer par le point e de l'échelle de droite coupe la même verticale z en un point dont l'horizontale donne a.

On a indiqué au pointillé sur la fig. 1 18 les deux positions de la droite pivotante pour s ^ — 2,5, 0 — — o, i , Type Rj". - Avec

U -I, \.^x, yN=y--a, Tr-^ + c.

la deuxième variante donne

On obtient ainsi l'abaque construit par iM. Paulin {■) {fig. 119)-

SÏSTËaES DE DEUI ëquatious.

la quatrième variante donne de même

C'est l'abaque qui a été proposé par M. Lanave ( ' (Jîg. i ao).

(<) Itevue pratique des Travaux publia, juillet iSgi, p. ij3. M. D'O.

37^ CHAPITRE lY.

107. Abaques indépendants. — On peut enfin renoncer à accoupler les abaques en vue de la réalisation d'un autre desideratum .

Nous allons en iodtcguer un exemple dû à M. Rouît ( ' ), où l'on s'est proposé de séparer dans chacune des quantités à calculer li partie qui varie avec ia largeur de la plate-forme de celle qui eo est indépendante, de façon que le même abaque puisse servir si, le long d'un même tracé, la largeur de la plate-forme prend successivement plusieurs valeurs.

Fifi. ,1..

" Il

MJJM IL

ni L

"iî'-

La formule (i) (n'IOS), oîi l'on remplace a par sa valeur, peut s'écrire

Construisons à part les abaques des formules

Il suffit pour cela de prendre pour la première les droites cotées pour la seconde

(I) Mémoire »utographiii; Bordeaux, 1877. Ce procédé est reproduit dins II Statique graphique de Fa varo- Terrier, t, II, Calcul graphique, p. 378. M. Rouit indique plusieurs variaiites de son abaque. Nous noua contentons ici d'ea rcpro-

SYfiTfcXKS DE DEUX tQCAJtOKS. 3^5

On peut construire ces deux abaques sur la même feuille, les droites (ei) et (S) de l'un coïncidant avec les droites (sg) et (0) de l'autre. On obtient ainsi la ^^. 121.

Pour se servir de l'abaque, on prend les points de rencontre de l'horizontale (0) avec les droites (b) et (s). Les cotes des verticales passant par ces points sont e, et e^. Il reste ensuite à faire la différence algébrique

De même, la formule (3 bis) (n° 102), où l'on remplace a et c par leurs valeurs, peut s'écrire

Construisons à part les abaques des formules

0,= — (t A), ei a,= — .

Il suffit pour cela de prendre pour la première les droites cotées

pour la seconde

On construira encore ici les deux abaques sur la même feuille Fig. lia.

'1 • 1 rènb 1 1 1 11 [

iM

en remarquant que les droites (v|) et{e) de l'un coïncident avec Jes droites (at) et (s) de l'autre. On obtient ainsi la^^. 12a.

276 CHAPITRE lY.

L'horizontale (e) coupe les droites (6) et (;;) en des points doDt les verticales ont pour cotes o-| et ors. Il reste ensuite à faire la différence algébrique

J = »! — ffj.

Remarque, — Si la largeur de la plate-forme ne reste pas la même tout le long d*un tracé, elle n'y prend, en tout cas, qu'un très petit nombre de valeurs différentes. Aussi Téconomie de temps résultant de ce qu'on n'a à construire qu'une seule paire d*abaques pour ces diverses valeurs nous semble-t-elle plus que compensée par la nécessité de compléter, dans tous les cas, chaque lecture par une opération arithmétique, fût-ce une simple addition.

Si Ton préférait construire séparément les abaques correspoo- (lant aux diverses valeurs de la largeur de la plate-forme, de façon à éviter cette addition complémentaire, il suffirait de modifieras abaques précédents de la façon suivante :

Sur le premier abaque, le segment de Thorizontaîe (0), compris entre la droite {z) et la droite (6), est égal à e. Donc,/>oar une valeur fixe de b, la parallèle à la droite (6) menée par le pointde rencontre delà droite (5) et de l'horizontale (0) est une droite (s). On obtient ainsi un abaque constitué par les droites cotées

(w) x = zy\ (0) 7=-^-^-q' (e) bty=x-^z.

De même, sur le second abaque, le segment de l'horizontale (s), compris entre la droite (5) et la droite (6), est égal à o*. Donc, pour une valeur fixe de b, la parallèle à la droite (6) menée par le point de rencontre de la droite {z) et de l'horizontale (e) est une droite (7). On obtient ainsi un abaque constitué par les droites cotées

(z) x~-y, (e) y = %y (a) —-^-^x-^-fs-^-—^

Pour déduire directement ces deux derniers abaques des équations (i) et (3 bis) il suffit de poser pour le premier

pour le second,

ay — iT ay — 2x

a — s = '- f fj-{-c='-^ 9 e = J'.

108. Abaques superposés à graduations logarithmiques. — Nous avons vu au n® 104 que, pour avoir des abaques superposés uniquement composés de lignes droites, il suffisait de construire les droites cotées définies par les équations

log(a — «) = M,

log(^-4-e) = N,

loge — M — N,

log(ff-4- c)-h log2 = 2M — N,

OÙ M et N sont des fonctions linéaires en x eiy,

Lalanne, à qui est dû cet artifice, a fait connaître en i843 un premier abaque (*) qui se déduit des formules précédentes lorsqu'on y fait

Il a ensuite proposé un second abaque, d'une meilleure disposition, obtenu en prenant

Les droites cotées de cet abaque ont alors pour équations

(3) 2log(a — z) = X -\-jr,

(6) \og{t-^^)=jr,

(s) 2loge = a7— ^,

(9) log(cn- c)-+-log2 = a:,

ce qui donne la disposition représentée par \^fig. i iS.

( ') ^. P. C, I*' scm. 1846. En réalité, les premiers abaques de Lalanne n*étaicDt pas à superposition. Us ne donnaient que 9 en fonction de z et de 6. Ce n'est qu'après la publication faite par Davaine de son abaque (n*> 109) où la superposition se rencontre pour la première fois, que Lalanne eut à son tour recours à cet artifice, qu'il combina avec son ingénieuse idée de l'anamorphose logarithmique.

378 CBIPITRE IV,

En appliquant à CCI abaque l'artifice du transparent mobile (n" 31), qu'il a précisément imaginé à cette occasion, M. Blum a

Fig. iiî.

obtenu l'abaque représenté par la fig. \i^ sur laquelle on a marqué en pointillé, pour une position quelconque du transpa-

rent, les index Z, T, Ë, 5 correspondant respectivement aux cchellc.(.-), (;),(<),(<').

Il va sans dire, comme on Ta déjà remarqué plusieurs fois, que

la graduation (e) est doublée par la graduation (X), en sorte que l'index E fait encore connaître cette dernière quantité.

109. Abaques hexagonaux, — Reprenons les équations (i) et (3 bis) mises sous la forme logarithmique

log£ = log(a — z) — log(< -4- 0),

et

Iog((j-f-c) H- log-2 = 2log(a — z) — log(^ -h 6).

Chacune d'elles pourra être représentée par un abaque hexagonal, car elle est de la forme requise à cet effet (n° 32). Ils pourront, comme les abaques ci-dessus, avoir en commun l'échelle (6), mais non l'échelle (5), attendu que, les diverses échelles devant être construites avec le même module, l'échelle (s) du second abaque dérivera d'un étalon logarithmique (n° 6), double de celui de l'échelle {z) du premier.

Les deux abaques ne pourront donc qu'être accouplés par la variable 8. L'abaque ainsi obtenu est représenté par \di fig. i25. Son mode d'emploi est le suivant :

Le transparent étant convenablement orienté, on fait passer V index T par le point 8 et V index Z par le point z de /'échelle {z) pour s. On lit alors sous V index E les valeurs de £ et de X. On fait ensuite glisser V index T sur lui-même pour amener V index Z dans la position!] ^ où il passe par le point z de /'échelle (s) pour o-. On lit alors la valeur dessous V index E venu en E'.

Ce dédoublement de la lecture constitue à ce dernier abaque, par rapport au précédent, un désavantage que ne compense pas la plus grande facilité de construction des échelles.

M. Lallemand, à qui est dû le principe de construction de cet abaque, ne s'est occupé que du calcul de o- en fonction de z et de 6. Il ne pouvait, par suite, être frappé de l'inconvénient que nous venons de signaler, et qui résulte de la nécessité du calcul simultané de z et de s.

Nous indiquerons enfin un artifice auquel M. Lallemand avait eu recours pour tenir compte, sur l'abaque faisant connaître c,