So

CHAPITIB IV.

du terme complémentaire. Cet artifice pourrait d'ailleurs être utilisé avec les types d'abaques précédents.

Fig. ia5.

A tin couple de valeurs de z et 0 correspond sur le plan de Tabaque une position du centre du transparent. Ce point peut êlre dit le transformé du point qui, rapporté aux axes de la JifT' 1 i4> 8^ pour coordonnées ces valeurs de ;; et 6. On peut ainsi définir sur le plan de Tabaque la ligne transformée d'une ligne tracée sur le plan de \difig, ii4 et notamment les transformées (les lignes qui limitent les régions correspondant aux divers cas (lu calcul des profils. On obtient ainsi, sur Tabaque même, la rt'gion à l'intérieur de laquelle se trouve le centre du transparent, lorsqu'il y a lieu d'ajouter le terme complémentaire y, et l'on peut, dans celte région, faire la représentation de ce terme complémentaire en prenant pour (c) et (0) les systèmes de parallèles engendrés par les axes du transparent.

STSTÈMBS DK DEUX ÉQUATIONS. 28 f

On obtient ainsi pour y un sj^stème de courbes cotées (*) {fig. 126).

Dès lors, si le centre du transparent tombe sur la courbe (y), il faut, à la lecture o- faite sous l'index E, ajouter la lecture y. Ce

Fig. 126.

système de courbes (y) a reçu de M. Lallemand le nom di échelle cen traie additionnelle .

L'idée est assurément ingénieuse, mais il vaut mieux, en pratique, tout en figurant les limites de la région pour laquelle doit s'ajouter le terme additionnel, se servir d'un abaque de ce terme construit à part. Cette construction n'a besoin, en effet, d'être faîte qu'une fois pour toutes, puisque le terme complémentaire ne dépend d'aucune donnée spéciale au profil type considéré; elle ne comporte, en outre, que des droites parallèles, ce qui permet de recourir encore à l'usage du transparent. Dans le cas contraire.

(') Cette façon de représenter y est une application immédiate du procédé indiqué au n<* 18 {fig. ao), combiné avec une anamorphose.

a8a CHAPITRE IV.

les courbes (y), d'une construction assez longue, varient pour chaque abaque particulier.

HO. A bague R à points alignés. — : Nous allons, au sujet des abaques à points alignés, entrer dans de plus grands détails pour les raisons données à la fin du n^ 104.

D'après ce qui a été vu à cet endroit, on définira l'abaque à points alignés, pour le remblai ou abaque R, en reprenant les équations du n" 108 et y remplaçant M et N par des fonctions linéaires des coordonnées parallèles u et v.

Nous prendrons (*)

L'abaque sera alors constitué par les systèmes de points cotés (^)

log(a — 3) = u,

\og(t-h^)--v,

(e) et (X)

loge = log(X -4-P) — logT = u-i-v,

log(ij -1- c) -t- loga = 1U-+- V.

Les deux premières équations définissent des échelles logarithmiques portées par les axes Au et Bç^; les autres, des échelles logarithmiques portées par des axes parallèles à Xu et B^, le premier, Ct), mené par le milieu C de AB, le second, DÇ, mené par le point D au tiers de AB à partir du point A {/ig* 127).

L'axe Ct) portera deux graduations, Tune définie par

l'autre par

( ' ) Nous posons V = — i», et non V = i^, pour que tous les points cotés correspondant aux quantités à déterminer soient entre les axes sur lesquels sont pris les points cotés correspondant aux quantités données, ce qui permet d'opérer avec plus de précision que s'ils étaient en dehors de ces axes. Cet artifice est indiqué dans la note au bas de la page i/|5.

(^) Même observation que celle qui est contenue dans la note (^) de la page 267, en ce qui concerne les modules des axes A a ct liv, modules que Ton prend d'ailleurs égaux entre eux en vue de rendre plus approché le tracé indiqué pour la figuration graphique des cas, tant dans ce numéro que dans le suivant.

en représentant par S(e) et oÇk) les distances comptées à partir (le C.

Fig. 127.

ZfLW/

De même, la graduation de l'axe DÇ sera donnée par

l0g(g-f-c)-Hl0g2 {7} — .

Limitation des échelles, — Si l'on se reporte au tableau du n** 103, on voit que l'abaque R sert comme abaque d'entrée dans les cas I et II, et comme abaque de renvoi dans les cas V et VI.

Si l'on se reporte ensuite au n° 102 et à \dLjig. 1 14) on voit que l'on aura à se servir de cet abaque pour des valeurs de 0 quelconques comprises entre les limites que l'on s'est assignées (ici — o,25 et 0,25), et pour des valeurs de z comprises entre la limite inférieure — 20 et la valeur de z correspondant au point H, c'est-à-dire o,256.

Soient

BT,= — log(/-o,25), AZ| =log(a -f-2o),

BTj = — log(^-f-o,25), BTo = — log/, AZj = log(a — 0,256), AZo=loga.

L'échelle de 6, dont le zéro sera au point To, sera limitée au segment TiT2. L'échelle de z, dont le zéro sera au point Zo, sera limitée au segment Z| Z,.

Il sera bon d'ailleurs, sur l'échelle TiTj, d'écrire à côté des deux parties correspondantes : terrain en pente (partie où 6 est négatif); terrain en ram/>e (partie oiiOest positif). De même sur Téchelle Z, Z2 : cote en remblai {ipAriie où z est négatif); cote en déblai (pdLTiie où z est positif).

Puisque la droite joignant les points 2 et 0 correspondant aux données est toujours comprise entre TiZi etT^Zj, il est inutile de prolonger les graduations des axes CT^ et D2^ au delà de ces droites.

L'axe D!^ des surfaces servant lorsque l'abaque est pris comme abaque de renvoi, la graduation devra s'étendre depuis S| sur T| Z| jusqu'à S2 sur T2Z2 ; son zéro est Sq.

L'axe Ctj, ne servant que lorsque l'abaque est pris comme abaque d'entrée, portera pour e et pour X des graduations allant du point E| ou L| sur T|Z| à un point qui sera déterminé plus loin.

Il faut remarquer que la droite TqZo qui joint les zéros des graduations de 6 et ^ coupe l'échelle de e au point coté 6, les échelles de X et de o- en leurs points zéros.

Figuration des divers cas, — L'abaque sert pour l'entrée (n" 103) dans les cas I et II, c'est-à-dire (n° 102) lorsque, z étant (|uelconque,

Clierchons l'interprétation géométrique de cette condition (*). Si nous associons à chaque valeur de Q la valeur de z telle que

nous obtenons les positions limites de l'index. L'enveloppe de ces positions limites est une certaine courbe dont il serait facile de former Téqualion en u et v; mais cela est inutile. Pour la très faible amplitude de variation de 6 (de — o,25 à o,25), on vérifie graphiquement (^) que toutes ces positions limites passent très

( ' ) C'est là une application de ce qui a été dit à la fin du n" 07, page i5o.

(-) On pourrait se livrer à ce sujet à des calculs qui constitueraient un exer cice d'application des coordonnées parallèles, mais qui seraient sans intérél pratique, la vérification graphique étant parfaitement suffisante, étant donné le l)ut qu'on se propose.

sensiblement par un même point. Nous pouvons prendre pour ce point l'intersection M des deux positions extrêmes T| P| et T2 Po,

données par

6 — — o,25, 3 = o,256* — h et

Dès lors, la seconde condition pour que Tabaque serve pour l'entrée montre que l'index doit passer au-dessus du point M. Par le point M, menons en trait gras une parallèle aux axes dans le sens négatif. Si l'index coupe cette droite, c'est qu'il passe audessous du point M; par suite, l'abaque ne s'applique pas pour l'entrée.

Pour cette raison, nous appellerons ce trait gras une barred'arrêt, et nous dirons :

U abaque sert pour Ventrée (cas 1 et H) si t' index ne rencontre pas la barre d^ arrêt. On voit ainsi que l'échelle de e et X doit être arrêtée à la droite T2P2-

Dans le cas II, c'est-à-dire lorsque 2 > o, il faut recourir comme abaque de renvoi à celui du terme complémentaire. Or, si ^ >> o, l'index passe au-dessous de Zo; et, comme il passe audessus de M, il coupe nécessairement la droite MZq, que nous tracerons en pointillé et que nous appellerons une barre de renvoi. Nous pouvons donc dire que, lorsque l'index rencontre la barre de renvoi, il faut recourir à r abaque complémentaire.

Mode d'emploi de Vabaque, — Rapprochant ces remarques de la règle générale donnée pour la lecture au n° 103, nous obtenons cette règle très simple :

Si U index rencontre la barre d^ arrêt (trait gras), laisser Vabaque et se transporter sur celui du déblai.

Si V index ne rencontre pas la barre d'arrêt, faire immédiatement la lecture de V emprise et de la longueur du talus.

Pour la surface du remblai : si V index ne rencontre pas la barre de renvoi, faire simplement la lecture sur Vabaque; si V index rencontre la barre de renvoi, ajouter à cette lecture la lecture correspondante sur Vabaque dont le nom [terme complémentaire) est inscrit à côté de cette barre de renvoi.

Le terme additionnel fait lui-même connaître la surface du déblai.

m. A baque D à points alignés, — Nous prendrons les mêmes fonctions M et N que dans le cas du remblai. L'abaque sera, dès lors, constitué par les systèmes de points cotés :

log(a'-t-;5) = u,

(s')et(V)

logê'= log(X'-t- P') - l0gT'= U-^-V,

log(ï'-t-c')H-log3 = 2M -t-P

A la valeur des constantes près, la graduation des axes Ai/, B(^, Ciri, D!^, sera donc la même que dans le cas précédent {fig» 128).

En outre, le sens suivant lequel croîtront 5 et 8 sera renversé (*).

Limitation des échelles. — Si l'on se reporte au tableau du n** 103, on voit que Tabaque de déblai sert comme abaque d'entrée dans les cas III, IV, V, VI.

Si Ton se reporte ensuite au n** 102 et à \dijig, ii4î on voit que Ton aura à se servir de cet abaque pour des valeurs de 0 quelconques comprises entre les limites que l'on s'est assignées (ici — o , 25 et o , 25) et pour des valeurs de z comprises entre la limite

(') Il est bon, pour que ce sens reste le même lorsqu'on passe de l'un des abaques à l'autre, de retourner le second bout pour bout, lorsqu'on le dispose à côté du premier; c'est ce qui a été fait sur la Planche ci-jointe.

supérieure 20 et la valeur de z correspondant au point I, c'està-dire — (o,256"-f- h).

Soient

BT; =-log(^'-+.o,25), BT;=~Iog(/'-o,25), BTo=-log^', AZ; = log(a'- 0,256'— A), AZ; = log(a'-i- 20), AZ^ = loga'.

L'échelle de 8, dont le zéro sera au point T^, sera limitée au segment T', T'^. L'échelle de z, dont le zéro sera au point ZJ,, sera limitée au segment Z\ Z'^.

Ici, comme dans le cas du remblai, on aura soin d'écrire à côté des échelles correspondantes : terrain en pente, terrain en rampe, d'une part, cote en remblai, cote en déblai, de l'autre.

Puisque l'index reste toujours au-dessous de la droite T^Z^, il est inutile de prolonger les graduations des axes Cy) et D JJ vers le haut au delà de cette droite.

Nous verrons plus loin comment ces graduations seront arrêtées vers le bas.

Il faut remarquer que la droite TJ^ZJ^, qui joint les zéros des graduations de 0 et de z, coupe l'échelle de e' au point coté b', celle de X' au point coté cp, et celle de o- au point coté F(n° 102).

Figuration des divers cas, — L'abaque sert pour l'entrée (n*» 103) dans les cas III, IV, V et VI, c'est-à-dire (n*» 102) lorsque,

z étant quelconque,

L'interprétation géométrique de cette condition est la même que dans le cas du remblai. Elle conduit encore à la considération du point M donné par l'intersection des droites

TiZ;(e = o,25; z = 0,250"— h).

Il semble, au premier abord, qu'ici le sens de la barre d'arrêt doive être changé, mais il n'en est rien, car, ainsi que nous venons de le voir, le sens de la croissance pour 0 et z est lui-même changé (*).

(') Ne pas perdre de vue que, sur la Planche, le second abaque a été retourné bout pour bout pour que le sens des graduations soit le même que sur le premier.

Ainsi, V abaque sert comme abaque d'entrée si l'index ne rencontre pas la barre d'arrêt.

Il s'agit mainlenant de caractériser les cas IV, V et VI, où Tabaqne d'entrée doit être complété par certains abaques de renvoi.

Ces cas sont séparés les uns des autres sur la Jig. 1 14 parles droites AD, ou ^ =: o, à laquelle correspond sur Tabaque le poiol ZJ,, et HG, ou

Exactement de la même manière qu^on Ta fait pour le point H, à propos de Tabaque du remblai, on peut, vu la petite amplitude de la variation de 0, faire correspondre à cette équation le point N défini par les droites

TiZi(6 = o; ;:=o)

et, suivant que z -r bh est ;> o ou <C o, l'index passe au-dessus ou au-dessous de N.

Dès lors, les conditions résumées au n® 102 se traduisent ainsi :

Pour le cas IV, l'index passe au-dessous de 'L\ et au-dessus de N; donc, // coupe la droite NZJ,, qui est dès lors une barre de renvoi au terme complémentaire (n** 103).

Pour le cas V, Tindex passe au-dessous de Z|, et au-dessous de N; comme il passe au-dessus de M (sans quoi il couperait la barre d'arrêt), il coupe la droite MN, qui est dès lors une barre de renvoi au remblai (ibirl.).

Pour le cas VJ, l'index passe au-dessus de ZJ, et au-dessous de N; // coupe donc à la fois les droites NZ (qui renvoie déjà au terme complémentaire pour le cas IV) et MN (qui renvoie déjà au remblai pour le cas V). Or, précisément, il j a, dans ce cas (ibid,), renvoi à la fois au terme complémentaire et au remblai. Il suffit donc de maintenir, pour ce dernier cas, aux droites NZ'^ et MN la signification qu'on leur a donnée comme barres de renvoi pour les cas précédents.

Mode d^emploi, — Finalement, le mode d'emploi de l'abaque

sera exactement le même que celui énoncé pour Tabaque de remblai, à la fin du n° 31, à cette différence près qu'ici V index peut rencontrer à la fois deux barres de renvoi, et que, dans ce cas y le terme additionnel à ajouter à la lecture faite directement sur Vabaque, pour la surface du déblai, se compose de la somme des lectures correspondantes sur les deux abaques auxquels renvoient ces barres.

Ce terme additionnel fait, d^ ailleurs, connaître la surface du remblai,

112. Abaque C à points alignés, — L'équation qui donne ce terme complémentaire étant de la forme (4) (n° 102), il suffit de prendre les points cotés définis par

— loge = V,

On obtient ainsi un abaque très facile à construire, tittendu que, si le point y, situé sur l'axe Cy) équidistant de Aw et Bi^ (C étant le milieu de AB), est à la distance S(y) du point C, on a

On doit, avons-nous vu au n® 102, entrer dans cet abaque avec la valeur absolue de 0; il n'y a donc pas lieu de s'inquiéter du signe de Q.

De même, z n'entrant dans l'expression de y que par son carré, il n'y a lieu de s'occuper que de sa valeur absolue.

Limitation des échelles, — L'abaque du terme complémentaire s'applique dans les cas II, IV et VI (n** 103), c'est-à-dire, puisqu'il ne s'agit ici que des valeurs absolues de 0 et s, pour 0 compris entre o et o , 25 et z compris entre o et o , 25 6.

Remarquons que pour 8 = o ou pour 5 = o on a des points à l'infini sur Bi' ou Aw. Il suffira de faire varier 6 de o,oi à o,25, et ^ de o, I à o,256.

La limitation de ces deux échelles entraîne celle de l'échelle centrale sur laquelle se lira y. Cette échelle doit, en effet, s'arrêter à la droite qui joint le point extrême de l'échelle de 6 (o,oi) au

290 CHAPITRE lY.

point de Téchelle de z défini par la plus haute valeur correspondante de z, prise en valeur absolue

Les fig. 129, 129 bis et 129 ter gravées sur la Planche cijointe représentent les trois abaques, dressés d'après la méthode qui vient d'être indiquée, avec les données particulières :

t = - = o,ôG, /'= I,

d'où Ton déduit

Le mode d'emploi de ce triple abaque peut se résumer de la manière suivante :

Pour faire la lecture on tend une droite, dite index, entre la cote, lue sur Taxe de gauche , et la déclivité, lue sur Taxe de droite. On fait la lecture de chaque axe au point où il est rencontré par l'index en se conformant à la règle suivante :

On entre dans V abaque, R ou D, sur lequel l'index ne rencontre pas la barre d'arrêt, et on lit immédiatement l'emprise et le talus.

Si Vindex ne rencontre aucune barre de renvoi, on lit, en outre, immédiatement la surface, et celle-ci est de même désignation, R ou D, que V abaque dans lequel on se trouve.

Si l'index rencontre une ou plusieurs barres de renvoi, on se reporte aux abaques indiqués par le mot écrit à côté de chacune de ces barres (*). La somme des lectures faites sur l'abaque d^entrée et sur les abaques de renvoi donne la surface de même désignation que l'abaque d'entrée. La somme des lectures faites sur les abaques de renvoi donne la surface de désignation contraire.

Remarque. — 11 n'a été question jusqu'ici que du calcul d'un demi-profil. Pour passer de la première moitié à la seconde d'un

(') Le tableau du n" 103 montre qu'il n'y a pas de renvoi dans les cas I et III,

■de beaucoup les plus fréquents, et qu'il n'y a de double renvoi que dans le cas VI, rfl'un intérêt purement théorique, comme le cas V.

profil donné, si l'on suppose uniforme la déclivité transversale du terrain, il n'y a, en conservant la même valeur pour Zj qu'à changer 9 en — 6.

H3. Abaque à équerre, — L'équation (3) du n** 102 peut s'écrire

(a — zy = 2(^H-e)(j-+-c).

Sous cette forme, on voit qu'elle rentre dans le type indiqué à la fin du n** 95, et, par suite, qu'elle peut être représentée au moyen d'un abaque à équerre.

Fig. i3o.

f-HH-\

II suffira de porter sur l'axe des x {/îg» i3o) les échelles

et sur l'axe des y l'échelle

/i, /2, 1% étant des modules liés par la relation t\ = /, /j-

Plaçant alors le sommet O' de l'équerre au point coté z et faisant passer le côté O' Y' par le point coté 6, on lit à la rencontre du côté O'X' et de la troisième échelle la valeur de o-.

Tel est le principe de l'instrument construit par M. Siégler sous le nom Ae projilomètre (* ).

(») A. P, C, p. 98; 1881, I" semestre.

292 CHAPITRE lY.

Pour le calcul de s, et, par suite, de X obtenu, comme nous Tavons vu, en accolant une seconde graduation à celle de e, Fauteur a eu recours à Tingénieux dispositif que voici :

Fixons à l'équerre un axe NP parallèle à Oy et portons sur cet axe l'échelle

le module /.| étant tel que, si d est la distance du point O' au point N, on ait

La similitude des triangles NPO' et 00' M donne

ou, en vertu de l'égalité précédente,

qui est bien la formule (i) du n° 102. /

Ce mode de représentation graphique de l'équation liant e à cl 0 ne rentre dans aucun des tjpes d'abaques envisagés jusqu'ici. On verra plus loin (n° 149) comment il dérive de la théorie générale englobant tous les types possibles d'abaques.

114. Abaque tangentieL — Le procédé suivant, dû à M. Willolte (*), peut être rattaché au principe général du n® 58 dans le cas, envisagé page 128, où à deux des variables (ici 5 et 0) correspondent de simples points cotés, un de ces systèmes de points, (6), étant d'ailleurs rejeté à l'infini.

Soit ZOAB le gabarit d'un demi-profil de remblai {Jig» i3i). Pour achever de définir un tel demi-profil, il resterait à tracer la ligne du terrain naturel.

Si l'on considère toutes les positions de cette ligne pour lesquelles Taire o- du demi-profil conserve une certaine valeur constante, ces positions ont pour enveloppe une certaine courbe qui pourra être cotée au moyen de la valeur choisie pour o-,

(') i4. P. C, p. 3o3, 2« sem.; 1880.

SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS. SqJ

Il est très facile de déterminer la nature de cette enveloppe. A l'aire de chaque demi-profil considéré on peut, en effet, ajouter une constante, savoir l'aire du triangle que le prolongement de AB ferait avec les droites OA et OZ. L'enveloppe est donc une

Fig. i3i.

courbe dont la tangente forme avec les droites OZ et AB, prolonî^ées jusqu'en leur point de rencontre, un triangle d'aire constante ; c'est, par suite, comme on sait, une hyperbole ayant OZ et AB pour asymptotes.

Si, pour un certain nombre de valeurs de <r (* ) comprises entre les limites pratiques de cette quantité, on construit la portion utile des hyperboles correspondantes, on obtient le système des enveloppes (o-).

De même, toutes les positions de la ligne du terrain naturel correspondant à une même valeur de e ou de X passent nécessai-

(') On peut choisir soit des valeurs de c croissant par échelons égaux, comme on Ta fait pour les abaques précédents, soit les valeurs correspondant aux hyperboles qui, entre les limites assignées, ont leurs sommets (situés sur la bissectrice de l'angle de OZ et de AB) séparés par des intervalles égaux, ce qui donne pour i;es sommets une graduation isograde (n* 8). Ce second choix, proposé par M. Willotte, donne un dessin plus satisfaisant. Le calcul des cotes se fait d'ailleurs très rapidement, puisque leurs différences secondes sont constantes.

294 CHAPITRE lY. — STSTÈMBS DE DECX ÉQCAT105S.

rement par un même point de la ligne ÂB, qui pourra être coté à Taide de cette valeur de e ou de X. On obtient ainsi sur la ligne AB à la fois une échelle (e) et une échelle (X).

Cette seconde partie de Tabaque rentre dans la simple application du principe des points alignés, lorsque Tun des trois systèmes de points, ici (6), est rejeté à Tinfini.

Si dès lors on applique sur le tableau ainsi formé un demiprofil dont trois des côtés s^appliquent sur OZ, OA et AB, le quatrième, c^est-à-dire la ligne du terrain naturel, sera tangent à une courbe (t) dont la cote fera connaître l'aire du demi-profil, et passera par un point de la droite AB, dont les cotes e et X donneront la largeur d'emprise et la longueur du talus. Tel est le procédé de M. Willotte, qui suppose, comme On voit, les divers demi-profils dessinés sur un transparent pour être successivement appliqués sur le diagramme. Afin de rattacher complètement ce procédé aux abaques, il suffit de substituer au dessin des demiprofils le dispositif qui consiste : i^ à graduer OZ suivant les valeurs de z prises à partir du point O ; 2° à recourir à l'emploi d'un transparent portant un axe O'Z' qu'on fera glisser le long de OZ et un système de droites issues de O' et cotées au moyen des valeurs de leur déclivité prise par rapport à la direction perpendiculaire à O'Z'.

Il suffira, pour faire la lecture relative à un demi-profil donné, d'appliquer le transparent sur le tableau précédemment défini, de façon que, Taxe O'Z' étant en coïncidence avec OZ, l'origine O' se trouve sur le point de OZ coté z, La droite (6) du transparent sera alors tangente à la courbe (o*) et passera par le point (s) ou (X), dont les cotes sont les valeurs demandées pour les éléments correspondants.

Il sera question plus loin (n° 133) d'un dernier procédé pour le calcul des profils de remblai et de déblai, dû à M. Toulon.