I. — Éléments à plusieurs cotes

A. — Droites a deux cotes.

115. Définition des éléments à deux cotes. Points condensés. Echelles binaires, — Si nous considérons sur un plan deux systèmes de courbes cotées (a) et (P), dont Tensemble constitue ce qu'on appelle un réseau, chaque point du plan pourra être affecté des cotes des deux courbes, prises l'une dans chaque système, qui s'y rencontrent. On définit ainsi un point à deux cotes (a, P).

C'est, on le voit, l'idée même qui conduit à la notion des coordonnées curvilignes dans le plan.

A travers le réseau de points à deux cotes qui vient d'être défini, traçons un système simplement infini de lignes C. Chaque point d'une de ces lignes, considéré comme appartenant au réseau, sera muni de deux cotes, et l'ensemble (a, P) de ces deux cotes pourra être affecté à la ligne sur laquelle le point aura été pris, et qui sera dite, dès lors, une ligne à deux cotes (a, P).

D'après cette définition, la ligne C possédera une infinité de couples de cotes, mais, lorsqu'une des deux cotes sera donnée, l'autre en résultera.

En effet, se donner l'une des cotes, c'est se donner une courbe, prise dans l'un des systèmes du réseau, sur laquelle devra se

C) Rappelons que par généralisation de plusieurs des méthodes indiquées pour les équations à trois variables, nous avons déjà obtenu divers modes de représentation applicables à des équations à plus de trois variables, notamment aux n- 37 et 70, et dans le § V du Chap. III.

trouver le point pris sur ta ligne C; ce point est donc déle^ miné ( < ), et la seconde cote est alors celle de la courbe du secood sj'stème du réseau passant en ce point. Va fig. i3ï fournît la

Fig. i3i>.

représentation schématique d'un sj'Stème de ligoes C à deux cotes

De celte notion de lignes à deux cotes va maintenant découler celle d'une nouvelle espèce de points à deux cotes. Coupons, en effet, les lignes C par une ligne L quelconque. Le point de rencontre de chaque ligne C avec la ligne L pourra être affecté de tous les couples de cotes afférani, en vertu de la définition précédente, à la ligne C considérée, et, de même que précédemment, la connaissance d'une des cotes d'un lel point entrainera, par l'intermédiaire de la ligne C correspondante, celle de l'autre.

Chaque point de la ligne L pourra donc être considéré comme provenant de la superposition d'une inOnilé de points a deux cotes, comme si le réseau de ces points était venu, en quelque sorte, se condenser sur cette ligne. Pour cette raison, nous appellerons les points à deux cotes de cette espèce des points con- <lensés.

Parmi les systèmes de lignes à deux cotes qui se rencontrent le plus fréquemment dans les applications, il convient de distinguer il part les svslLnies de droites parallèles. Considérons un lel sys-

(') H pt.urrail y i, 1rs cas ilR la praiiqut

supposerons toii-

fiQUtTIOKB A PLUS DE TROIS VARIABLES. 397

tème (A) i^fig- i33) et rapporlons-!e à deux axes rectangulaires, l'un Ox perpendiculaire, l'autre O^ parallèle à sa direction.

Rapportées à ces deux axes, les courbes (a) et (p) du réseau ont des équations telles que

et l'équation de la droite ^ passant par le point de rencontre de ces courbes, obtenue par élimination de j' entre (i) et {i)^ sera

Ainsi le système (A) donne sur Ox les valeurs de la fonction ■^{a, p). Pour cette raison, l'ensemble qui vi,ent d'être défini peut être dit Véchelle binaire de la /onction -{/(a, P) le hnf^ de Ox, suivant la terminologie de M. Lallemand { < ).

Réciproquement, étant donnée la fonction ^(a, ^), on peut se proposer de construire pour elle une écbelle binaire. 1! suflira pour cela de se donner une des deux premières équations, (i) par exemple. L'étjuation (a) résultera alors de l'élimination de x entre (i) et (3).

On reconnaît là un cas particulier du principe du n" 46.

Il va sans dire que, dans chaque cas particulier, la fonction •}/

(< ) M. Lallemand qui, dans son Mémoire autographié 9ur le» abaques liciagoniDi, semble avoir, pour la première fois, fait un usage systématiiiuc des éclielles binaires, déclare, dans la Note pri^liminaire de ce Mémoire (p. 7). être redevable de leur idùc premirre â M. Prévôt, ch«t de bureau au Service du Nivclicnicnt giinéral de la France,

étant donnée, on choisira l'équation (i) en vue de la plus grande simplicité de construction possible. On s'attachera notamment, chaque fois que faire se pourra, à n'avoir à tracer que des droites. Si, par exemple, la fonction ^(a, P) est de la forme

on prendra pour équation (3)

/ étant un module quelconque, puis pour équation (i)

(II) ^ = /'U(a),

/' étant un autre module, parce qu'alors l'équation (2) sera

(|ui représente des droites.

Remarque /. — Les parallèles A pourront, dans tous les cas, être tracées équidislantes, mais on pourra aussi se dispenser de les tracer en les remplaçant, ainsi que cela a déjà été vu au n** 13, par un index mobile maintenu dans une direction parallèle à la leur. Dans ce cas, c'est Tensemblc des courbes (a) et (P) qui sera dit réchelle binaire de la fonction i^ (a, jâ) le long de Ox,

Remarque II. — On peut, pour la plus grande commodité du dessin, déplacer comme on veut l'échelle binaire dans la direction des droites A puisque, dans un tel déplacement, les points du réseau qui sont primitivement sur une certaine droite A, ne cessent pas de s'y trouver.

Remarque III. — L'échelle binaire (a, |â) étant accolée à TaxeO^, les points de cet axe peuvent être considérés comme des points condensés à deux cotes a et p, les couples de cotes de chacun d'eux étant ceux afférents à la parallèle à O^ passant en ce point.

IIG. Fractionnement des échelles binaires. — Le plus souvent l'échelle binaire de la l'onction 'i'(a, J3) accolée à Ox,

sera consiituée par des parallèles à cet axe, cotées au mo^en des valeurs de a,

et par les courbes (P) dont l'équation est

Supposons que tes nécessités de l'application pratique que l'on a en vue exigent que ces courbes soient construites jusqu'à la parallèle PQ à Oj: (Jtg. i34) correspondant à la valeur limite de a

Fi,. .Î4.

(cote du point B).

Puisqu'on est libre de déplacer une échelle binaire dans le sens perpendiculaire à 0:r (liem. II du numéro précédent) on pourra, par exemple, en coupant l'échelle le long de l'horizontale du point A, milieu de OB, amener la partie supérieure de l'échelle à se superposer, par une translation parallèle à Oy, à la partie inférieure. Dans ce déplacement la portion du système (p) comprise à l'intérieur de MNPQ vient en M'N'P'Q' et les horizontales comprises entre A et fi viennent coïncider respectivement avec celles qui se trouvent entre O et A, Seulement, comme elles conservent leurs cotes, chacune des horizontales de O à A présentera, sur l'échelle binaire déGnitive, deux cotes distinctes, l'une se référant aux points situés à l'intérieur de ORMN, l'autre aux points situés à l'intérieur de M'N'FQ'.

L'exemple donné plus loin (n° H8, a") éclaircira ce point. C'est

3oO CniPITRE V.

d'ailleurs à cet exemple, dû à M. Chancel, que nous avons emprunté le principe qui vient d'être exposé.

H7, Échelles binaires accolées. — En reprenant chacun des types d'abaques étudiés dans les Chapitres précédents et y remplaçant les éiémenls, points ou lignes, à une cote qui y interviennent par des éléments de même nature mais à deux cotes, on obtient de nouveaux types d'abaques sur lesquels le nombre des variables est doublé.

Par exemple, les abaques à échelles accolées (n" 9), lorsqu'on y remplace les échelles simples par des échelles binaires, fournissent le type représenté par la fig. i35 où les deux échelles bi- Fig. i35.

TT— ï

naires, accolées par l'axe Oy, ont été écartées l'une de l'autre dans le sens perpendiculaire à cet axe (').

On voit immédiatement que le même type d'abaque serait

l'emploi J'crlidlrs bhiiiircs accolera m vue il'aiiplicatîuns particulières. Cet emp! se trouve indiqué, snus sa fiirme gtni-ralc, cNins le travail de U. Lallemand i les abaques lieiagunaiix cii'i crt aulcur le jirésente comme dérivant de ce qv iippcllc le principe de l'Ali ni ination grapliique et qui consiste i relier de< abaques à truia variables par un système commun de courbes cotées.

■tans la déclaration déjà i-il«c (note an lias de hi p. :>97) de la Note priéliii naire de son Miîmnire, il fait savoir que tVst M. Itcnard, agent du Service i

Nivellement t

I de

, qui

suggéré t'idde. Celle-c

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3oi

obtenu en partant de celui des abaques cartésiens à trois variables (n** 16) et y munissant les parallèles à O^ de deux cotes au lieu d'une par l'adjonction du réseau (a2, ^2)» L'échelle binaire de gauche donnant

et celle de droite

on voit que Téquation représentée est de la forme

Le mode d'emploi d'un tel abaque est fort simple. Si, par exemple, connaissant a^ ^1 et a2 on veut avoir ^29 on n'a qu'à suivre l'horizontale passant par le point de rencontre de la verticale a^ et delà courbe ^1 jusqu'à la verticale a2. La courbe passant par ce nouveau point a pour cote ^2*

On obtient encore le même type d'abaque en remplaçant, dans un abaque cartésien tel que ceux définis au n°16, une des échelles simples portées sur O^ et Oy par une échelle binaire, ou, plus généralement, par une échelle à points condensés.

Si l'on effectue ce remplacement pour les deux axes on a l'abaque d'une équation à cinq variables (*).

On peut enfin introduire une sixième variable en munissant les courbes de l'abaque d'un réseau de doubles cotes, ainsi qu'on l'a expliqué au n^ 113. Si ces courbes sont des droites parallèles on tombe sur un type d'abaque examiné plus loin (n° 119).

Exemple : Abaque de la prime des porte-mires du Nivellement général. — hdi fig, i36 reproduit l'abaque qui sert, au Service du Nivellement général de la France, à calculer la prime P d'un porte-mire en fonction du nombre total de nivelées N, de la longueur totale nivelée L, et du nombre de jours ouvrables co.(*). Cet abaque est du type cartésien à anamor-

d'ailleurs été antérieurement émise, et sous une forme plus générale, par M. Massau dans son Mémoire déjà plusieurs fois ci lé Sur l'intégration graphique (Liv. III, Chap. III, § I, n- 183).

(') L'abaque des machines à fraiser que M. F.-J. Vaes a fait connaître en iSg^^ dans le XVIII* Jaarverslag van de JVederlandiche Vereeniging van Werktuig-en Scheepsbouwkundigen^ appartient à cette catégorie, les axes O^ et Oy étant munis Tun et l'autre d'échelles à points condensés.

(^) Comme chaque opération comprend un aller et un retour, la prime s'applique, en réalité, à 3N nivelées réparties sur la longueur 2L; elle comporte, en outre, le piquetage effectué par la brigade.

pour N et u, l'autre pour L et u). Les fonctions représentées le long de ci

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3o3

axes par ces échelles sont le nombre moyen journalier de nivelées n et la longueur moyenne journalière /, dont les valeurs sont inscrites à côté des a\es correspondants. Enfin la longueur moyenne d'une nivelée v, qui résulte de / et n^ donne lieu sur l'abaque à des droites cotées.

On voit sur la figure des traits interrompus qui correspondent à l'exemple numérique

L = 46'"", N = 32T, (i> = ii,

pour lequel l'abaque donne

On peut présenter le principe des échelles binaires accolées sous une forme plus générale. Supposons que l'équation à quatre

variables

F(oti,Pi,a„p,) = o

provienne de l'élimination de la variable y entre les deux équations

*(aiipi,ï) = o,

Ces deux équations seront représentables, indépendamment l'une de l'autre, par des abaques cartésiens, avec ou sans anamorphose, constitués chacun au moyen d'un système de lignes (j3) tracé sur un quadrillage (a, y) que définiront une échelle (a) portée sur Ox et une échelle (y) portée sur Oy. On pourra d'ailleurs toujours adopter une même échelle (y) sur les deux abaques. Il suffira dès lors de les accoler par leur axe Oy pour éliminer graphiquement la variable y et avoir, par suite, la représentation, par deux échelles binaires accolées (ai, ^i) et (a^, ^2)7 de l'équation à quatre variables ci-dessus.

Il y aura même des cas où il sera avantageux, en regardant, dans ce qui précède, ai et cl^ comme une seule variable a, d'appliquer ce mode de représentation à une équation à trois variables a, ^^ et ^21 en particulier lorsqu'il en résultera la possibilité de n'avoir à tracer que des droites.

Lorsqu'il s'agira ainsi d'une équation à trois variables, on pourra adopter, pour les deux abaques partiels (oc;^i,y) et

3o4 CHAPITRE y.

(a, ^2, y), non seulement la même échelle (y), mais encore la même échelle (a), ce qui permettra de superposer ces deux abaques partiels (n'^OO). Dans ce cas, il sera inutile de tracer les parallèles (y) à Oxj puisque les points (a, y) des deux abaques seront en coïncidence. L'abaque résultant ne se composera dès lors plus que des parallèles (a) à Oy el des deux systèmes de lignes (^i) et (^2)? qui, par leur entrecroisement, représenteront l'équation en a, ^1 el ^2 donnée, et l'on voit que la transformation reviendra, dans ce cas, à l'application, sous une forme spéciale, du principe de l'anamorphose générale (*) (n**41), l'introduction de la variable y n'ayant servi qu'à effectuer la disjonction des variables.

118. Exemples : 1° Abaque des annuités, — Si Ton représente par

A le montant d'un emprunt,

n la durée en années de Tamortissement,

f le taux de l'intérêt,

(t le montant de l'annuité,

on a

a ïoo

Cette équation est représentable par l'accolement, le long de Oj; pùc exemple, de deux échelles binaires donnant Tune

et constituée par les droites cotées

(a) y= al\

(A) y = PLxl\

(') Celte idée de principe a été présentée sous forme géométrique et très heureusement utilisée par M. Duplaix, dans un intéressant travail dont nous avons eu connaissance en cours d'impression du présent Ouvrage, et qui est intitulé : Abaques des efforts tranchants et des moments de flexion développés dans les poutres à une travée par les surcharges du Règlement du 29 août 1891 pour les ponts métalliques (Paris, Carré et Naud; 1899).

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3o5

l'aulrc

loo .r — — - - -

100/ et constituée par les lijjjiie«5 cotées

/, /' et r étant des modules quelconques.

L'abaque ainsi obtenu ('), qui a été construit par .M. Prévôt, est représenté par \a Ji^. iSy.

Le mode d'emploi est rappelé par le croquis placé dans l'angle supérieur de droite.

I^a formule de la première échelle binaire

montre que les abscisses font connaître dans chaque cas l'annuité <fi — -

pour un emprunt de i franc. La graduation correspondante a été inscrite à la partie inférieure de l'abaque.

•>." Abaque de la formule de jauge de r Union des Yaclits français. — Cette formule est

iJo

où T représente le tonnage de course,

p le périmètre,

L la longueur à la flottaison,

x la surface de voilure.

Elle peut s'écrire

On voit dès lors qu*elle pourra être représentée par l'accolemcnt le long

(•) Pour donner le dc^ré d'appnixinialioii requis par les calculs do baoqur, cet abaque devrait cire construit sous des dimoiisioiis qui rendraient son rniph»! impraticable. Tel quel il permet d'obtenir un résultat approché pouvant ètie utile lorsqu'on veut se faire une première i<lée d'une opération projetée.

M. d'O. îo

de lir .los éiiheW.-i biliaire!^ .lélini

/ étant un moiliili: quulconqui

hp-tL

K'Tilc pai' /' ,-1 /' d'auiri's moH.ilcp,

tuée par les droites cotées

(T) y^Tl\ (s) r = ^-^^-

la seconde par

(L) y = t'L, (/.) ,oî=f^-Ç.

Ce dernier système de droites cotées du second degré rentre dans un type étudié à part (n° 45).

L'abaque correspondant, construit par M. Chanccl (*) avec les modules

et que reproduit la Jiff. i38, présente plusieurs particularités intéressantes.

I** Les deux échelles binaires ont été accolées de façon que le point o de l'échelle (T) corresponde au point 16 de l'échelle (L).

En outre, les droites parallèles à Ox correspondantes n'ont été tracées qu'à des intervalles assez grands pour ne pas embrouiller la figure. Aux. parallèles non tracées, on a substitué, ainsi que cela a été indiqué d'une manière générale au n° 14, un transparent portant d'une part des parallèles que l'on fait glisser sur celles de l'abaque, de l'autre un a\e perpendiculaire à leur direction et portant les graduations (T) et (L).

L'emploi de Tabaque peut alors s'énoncer ainsi : le bord inférieur du transparent étant appliqué sur le bord inférieur du cadre ^ on fait glisser ce transparent jusqu'à ce que le point coté L de son échelle mobile se trouve sur la droite cotée p. La cote du point de l'échelle mobile qui se trouve alors sur la droite cotée s fait connaître le tonnasse T.

Sur la fiff. i38, on a dessiné la position de l'ccliellc mobile pour l'exemple numérique

Cette position est définie par la condition que le point L — 12,8 se trouve sur la droite p = i3,8. On voit que la droite s = 210, qui appartient au faisceau (s) inférieur, passe alors par le point

dont la cote est la valeur du tonnage cherché.

7? La valeur du périmètre p variant dans le même sens que la longueur L, on a limité chaque droite (p) à la portion qui correspond aux

(') Étude et graphique de la formule de jauge de l'Union des Yachts français. Grenoble; 189'!.

vuleurs de I. qui peuvent lui être jointes. C'est lu ce qui produit ces » de gradins qu'on observe sjr \a /g. i38.

Vrliollr liLiuiir.>(,v,T) a. :■[>■■ fr«r .iiri; (il" ) U!) à U li-rnc T = >(>.

rroiid,' ^ii,n'u■ il II "\ilOnic (.tl l'-Miil remoiilri- à hi ligne T = o, Si don." il iillniii' il iiii l'iiiiir d'iini; li^'nf (xl. ]H'is il.iiis le faisceau su|H'rirur, iii..ni»l.. T pMSsani i-ti rr [.i.ini a |,„Mr <nu- hi vnl.-ur di! T, I».- <iir ii;II.- <!,• .liDirr. ^,„-„ir/il,-r Je Kl.

4* La forme de Téquation représentée montre qu'on peut appliquer le principe des multiplicateurs correspondants (n° 21) en posant

L'=(jlL, p'=lJ-p, 5'=V«5, T'=|lîvT.

Voici un exemple numérique emprunte à l'auteur : Les données sont

Pour avoir des nombres rentrant dans les limites de la graduation, prenons les multiplicateurs

Nous avons ainsi

L'horizontale V = i5,'24 rencontre la droite />'= i4,86 en un point dont la verticale coupe la droite s' = 34o du faisceau supérieur sur l'horizontale T'= 8,3. On doit donc prendre, d'après ce qui vient d'être vu (3°),

Donc

>** Abaque pour la résolution des triangles rectilignes dont un angle au moins figure parmi les éléments connus. — Si ai, aj, as représentent les angles d'un triangle quelconque, Yi» ïî» ïï '^^ côtés opposés, on peut résoudre tous les cas pour lesquels un angle figure parmi les éléments connus au moyen de la formule facile à démontrer

tang —

dans laquelle on prendra toujours pour ys le plus grand des côtés donnés, lorsqu'on lui adjoint

(•2) «1-4- «S-l- «3= TT.

Les quatre cas à considérer peuvent se résumer ainsi :

Données. Inconnues.

Premier cas a, B, C A, 6, c

Deuxième cas 6, B, C A, <^ï, c

Troisième cas «, 6, C A, B, c

Quatrième cas a, 6, A B, G, c

Il)

Yî-c.

Tj=«»

Ys = c.

Yt^c.

3lO CHAPITRE V.

Les formules précédentes permetient de les résoudre, grâce aux identifications suivantes :

Premier cas : Pour a|==B, aji-C, (2) donne aj=A,

)) a,~B, a, = C, Y3^«, (0 » ïs^*» » a,= C, a,=^ B, Yj^«»

Deuxième cas : Pour «i^ B, «j^ C,

» «1^^ C, at=B, Yî= ^»

Troisième cas : Pour «iet^C, yj^^^» Ys^^»

» «i^c, «î^A, » «i^B, «j^ A, Yj^«.

Quatrième cas : Pour «j^^ A, yj — ^» Vs^^ ^»

L'abaque à échelles accolées construit pour l'équation (i) ci-dessus par M. Lallcmand est représenté par \a/i^, iSg.

En vue d'une plus grande netteté, cet abaque a subi une anamorphose graphique (n* 39). L'exemple du n° 40 n'est autre d'ailleurs que la construction de l'échelle supérieure de cet abaque.

Ici les deux échelles accolées sont placées l'une au-dessus de l'autre, la première étant constituée par les horizontales (yi) et les courbes (ys)» la seconde par les horizontales (ai) et les courbes (aj). De l'une à l'autre, les points se correspondent sur les verticales.

Quant à l'abaque de l'équation (a), il a été superposé à l'échelle inférieure. II a suffi, comme cela a été expliqué au n°4i, de joindre entre euv les j)oints du réseau formé par les courbes (aj) et (aj) pour lesquels la somme oLi-h aj était égale au supplément d'une certaine valeur de aj pour avoir la courbe «3 correspondante et obtenir ainsi le système («3).

Comme exemple numérique, plaçons-nous dans le troisième cas en nous

donnant

Pour rester dans les limites de nos graduations, nous diviserons par 10 la longueur de chaque côté. Dès lors, l'horizontale y» = 7 et la courbe Y3=4,^ de l'échelle supérieure se coupant en un point, suivons la verticale de ce point jusqu'à l'horizontale ai = 60* de l'échelle inférieure. F*ar le point ainsi obtenu passent les courbes «2= 82* et 03= 38*;

donc

A = 89.' et B = 38^

Puis, si du point de rencontre de l'horizontale «1=38° et de la courbe 0.2 = 82", nous remontons par une verticale à l'échelle supérieure, nous obtenons sur l'horizontale Yî = 7 "" point par lequel passe la courbe y3=6jî; donc

c = or".

Hy, .iOaquci ln-xiisonaiix à èdteUes binaires. ~ Kii rcmplui;anl une, deux ou Irois écliellcs smi|ilcs d'un abaque hexa- •;t>nal (n" 32) par des échelles binaires accolées aii\ axes corresliondaiils, ainsi que M . Prévol en a eu l'idée ( ' ), on introduit une. deii\ uu trois uouvelli^s variables.

i/d /i^'. 1^(1 iiidiqiii' la dispusitioii générale d'uti abaque bcxa-

lal à trois éciielle» binaires, c'est-à-dire à six variables. Le l\\Hl'équalioii coires|)ondante est, d'après ce qui a été vu au n" 32,

Jii dispose à volonté des trois échelles accolées respcctiveni aux trois axes de l'abnqiie hexagonal, jtourvH qtie trois nls (a,. |i.)- ("lii'iï). i":!. 1%) P'is dans chacune de ces lie solution particulière de l'éqtialultanémcnt sous les trois index du

écliellcs et correspondant i

; tro

transpai

;nt.

l'abaque, si, par cxeniplc, on prend ^^ pour inconnue, est Ir >uivaiil : ttuiiT i/es iiit/<f.r du transparent con-

<.i-iiiibk'iiii'iit oricnU' passant l'un par le point (a,, p,), l'aiitrr P'ir Ir point [t.. ''j..), le troisiènir index coupe la courbe a, de

ÉQUATIOx>S A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3l3

l^ échelle binaire correspondante en un point j et la cote de la courbe ^3 passant en ce point est ta valeur demandée.

On pourra, dans certains cas, se servir de celle méthode en faisant entrer une même variable dans deux groupes binaires difierents, ce qui serait le cas, par exemple, si, dans l'équation ci-dessus, on remplaçait ^:, par [î,. Il convient toutefois de remarquer que, dans ce cas, la variable figurant dans deux groupes binaires ne saurait être prise pour inconnue. Pour qiC une variable intervenant dans un abaque puisse y être prise comme inconnue y il est évident j en effet, quil ne doit lui correspondre sur cet abaque qu'un seul système d^ éléments cotés.

Exemples : \° Premier abaque des intérêts composés (*). — La formule des intérêts composés est

A — a(i-i- r)'», dans laquelle

a désigne le capital placé ;

/• le taux;

n le nombre d'années du placement;

A le capital produit.

Il suffit de l'écrire sous la forme

logA = loga -i- n log(i 4- /*)

pour voir qu'elle rentre dans le type ci-dessus lorsqu'on prend le long de deux des axes des échelles logarithmiques ordinaires pour A et a, et le long du troisième une échelle binaire pour l'ensemble de n et de /*.

Si / est le module des échelles logarithmiques (A) et (a), Téchclle binaire {n,r) sera définie par

X — In log(i -h r),

l'axe des x étant supposé coïncider avec l'axe correspondant de l'abaque

hexagonal. On constituera donc celte échelle au moyen de deux systèmes

de droites cotées

y = nog(i^-r),

l'x = Iny.

L'abaque correspondant, pour lequel, sur la y/^.^. i4i, on a pris

/.-. r^. 2 XI'",

( ' ) On trouvera plus loin (n*122), un abaque plus simple pour la même formule.

3lit CHAPITRE ï.

e*l ilù à M. l'nî^nt. Il pri'^li: à une remarque înlé

îîraii.lo -inipli lient ion Je 'joii?tiui-ri..n et qui peut trouver son applic.

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3l5

dans des cas analogues. Elle consiste en ce que, dans le champ de varialion très limité de la variable /', les accroissements de log(i-hr) sont sensiblement proportionnels à ceux de r.

Calculons, par exemple, au milieu de cet intervalle, logi,o4, en admettant cette proportionnalité. Nous aurons

log 1 ,04 — log 1 ,025 1 ,04 — I ,oîfc5

l0gl,06 — l0gl,0'2J 1,06 — l ,0'l'j

d'où

logi ,04 = logi ,025 -f- - - (log 1 ,06 — log I ,o25; — 0,0169739.

La véritable valeur de logi,o4 est

log 1 ,04 = 0,0170335.

L'erreur commise est donc

e = — 0,0000594 ou sensiblement

Avec la valeur de /' admise sur la Jig. i4i, cela donne pour l'écart entre la position de la droite r = o,o4, obtenue par cette interpolation proportionnelle, et sa position rigoureuse la valeur

soit j^j de millimètre, écart qui peut être négligé sans inconvénient.

La position des index du transparent, marquée en pointillé sur la /ig". i32, correspond à l'exemple numérique a = 20000^'', T — 0,04, n =: i5**, pour lequel l'abaque donne A — Sôooo'*" (*).

2° Abaque de la poussée des terres. — M. Boussinesq a donné, pour le calcul de la poussée des terres sur un mur vertical de soutènement, la formule suivante :

^H'*'"'S'(j-|)cosQ-2)

cos[ç,-(|-l)J

dans laquelle

«p désigne l'angle de frottement des terres sur elles-mêmes;

m le poids en tonnes du mètre cube de terre;

H la hauteur en mètres du mur;

P la poussée en tonnes par mètre carré.

( ' ) On peut faire à propos de cet abaque la même observation que celle qui u éié présentée au sujet de Tabaque des annuitcs (note au bas de la page 3o5).

ÉQUATIOiNS A PLUS DE TROIS VARIABLES. SlJ

Pour traduire cette formule en abaque hexagonal, il n'y a qu'à la mettrez sous la forme

logP — logm-r- 2 logll -h 2 log tangf -■ — - j

--logcos(^-^' — 2j |og2-logcoslcp, — (^~ - ^jj.

Le terme du premier membre donne pour P une échelle logarithmiqu»' simple, les deux, premiers termes du second membre donnent une échelle binaire pour l'ensemble (tii, H), et le reste du second membre une échelle binaire pour l'ensemble (0,01).

L'abaque correspondant, construit par M. Renard, et sur lequel l'échelh* de la poussée P a été fractionnée au point P = 5 pour que l'abaque tienne dans un cadre plus restreint, est reproduit sur \d^ fig. x^i.

La position des index du transparent, marquée en pointillé, correspond à l'exemple numérique

pour lequel l'abaque donne P = 5''', 87.

120. Abaques à glissement. — L'emploi des échelles binaires peut aussi se combiner avec le principe des abaques hexagonaux à glissement dont il a été question au n" 37.

On aura ainsi la représentation d'nne équation de la forme

Exemple : Abaque de l'erreur de réfraction dans le nivellement géométrique. — Si l'on représente par

B la pression barométrique:

D la différence brute de niveau prise en valeur absolue; L la longueur de la nivelée;

/] la température de l'air à la hauteur de la lunette;

/j et t\ ses températures aux points où la ligne de "xiséc rencontre les deux mires d'arrière et d'avant,

et si l'on pose, en outre,

l'erreur de réfraction z est donnée par la formule

, ^ ojll^oo.o^ B L. , ,. ro,:i3/.3-llog(-.»

"' ^"" 7(i D(i-4-o,oo366Ô)»^^ "'I , i-ho

3l8 CHAPITRE V.

0 étant défini par l'équation

, . 1 loK(i±J) t

' ' logô-6)-T'

En outre, e est ou non de même signe que la différence de niveau D qui, sur l'abaque, ne sera prise, comme on vient de le dire, qa'en valeur

absolue, suivant que le quotient — ^-^ est négatif ou positif.

Posant

o.ooioH

7ti

= /•, o,oo366

<;l remarquant qu'en vertu de (2) 0 est une fonction de x et t', on voit que la formule (i) peut s'écrire

ou encore

loge — log^ = logB - logD -r- .1 logL — il log(i -4- aO"!

-4- log(': -4- x') -+- logo^ô),

0 dépendant de x et de x' en vertu de Téquation (2).

Sous cette dernière forme, on voit qu'elle est susceptible d'être représentée par un abaque hexagonal à glissement du type de la fig, 4o(n*37), comprenant une échelle simple (ô) et trois échelles binaires (B, D), (L, 6) et (x, x').

L'échelle (s) et l'une dos échelles biniiires, (L, 0) par exemple, seront accolées à Taxe Ox de la Jig. 40, les deux autres échelles à l'axe O^, et le glissenienl aura lieu normalement à l'axe O- (*).

Si nous représentons par Oi-rj^'i, O^x^y^^ Os^^a^a les systèmes d'axes rectangulaires auxquels sont rapportées respectivement ces trois échelles binaires, elles seront définies par

(l^i) ^r,- /(logH-logD),

(Kj) .''2-- f 'i ['<»?ï^ •«?(» -HaO)],

( Ivj ) iTa " / I log ( X - - x' ) -h log cp ( 0 )] ,

où / est le module commun aux trois axes.

Pour les deux premières, nous prendrons, en appelant /[, /j, /j trois nouveaux modules, les systèmes de droites cotées

(H) ri- ^1 log H,

(D) l^ry: .îy,-lt,\o^D,

(') Pour passer do la disposition i\v la Jig. 4^ à celle de la fîg. i43, il faut, avec un tel choix d'axes, supposer que l'on fasse tourner la première de 120" dans

le sens rétrograde.

(tj

J'ï-Mogd+CLtl),

l,r.^- î//,logL-- t/j;.

Pour

a troisième, no

is prendrons d'abord le svsle

Qua»

au système (■:'

, on serait d'abord tenté, pou Fig. .43. .

'le

tenir l'équation des courbes qui le compf>;cnt, en éliminant d et t entn^

lej équations (t), (l!:,)ct (';) ci-dcs^us. Malheureusement, cette élimination est impossible. On peut toutefois tirer t de la dernière de ces équa-

lions pour en porter la valeur dans les deux autres, ce qui donne

/ ,' iop:(i — o)

[log (:g --:').- log 0(8)].

Dos lors les coordonnées de chaque point de la courbe •:' se trouvent exprimées en fonctions du paramètre 0, il est possible, en faisant varier ce paramètre, de construire la courbe point par point.

L'abaque correspondant, représenté sur la Jtj^. i43, est dû à M. Lalleniand.

Son mode d'emploi, d'après ce qui a été vu au n" 37, se réduit à ceci : ayant tr abord fait passer les index I| et l^ du transparent respectii'enient par tes points (L, 0) et (B, D), on fait glisser ce transparent dans la direction de r index I3 jusqu'à ce que V index l^ passe par le point (Tjt'). IJ index Ii coupe alors réchelle {t) en un point dont la cote est V erreur demandée,

I*ar exemple, pour

15 - o'",;!'), D - — .>'%•;►>., L --= ijo*", 0 ^ i\{\, -. r-. o^75, t' = o",3), l'abaque donne

T H- t' «♦l, comme ici le rapport -—1-1"" ^'^^ négatif, il faut prendre