l*OK\'IS A DEUX COTKS
121. Painls alignés à deux cotes. — Un système de points à deux cotes peut être défiiii par les coordonnées de chacun de ses
(') Ce sonl If's points qui étaienl désijçnés dans notre brochure 0,4 sous \c iu>ni i\Q points doublement isoplèthes. Devant nécessairement nous restreindre ici à lin nombre assez limité d'applications, nous signalerons, en outre, comme particulièrement inlcressanlcs cellos, relatives à divers problèmes de l'art naval, qui sont dues à M. G. l'esci, professeur à rVcadémie navale de Livourne, et dont voici la liste :
Sulla rostruzione dclla cur%'a di ricerca ( /iiiista marittima, décembre 1H9G):
Sui metodi per cambiare il rilevamento {Ibid., mars 1897;; Sut caicolo délie distanze in mare ( ïbid., jiiilicl iSf)-;); Quarto contributo alla cinematica navale {Ibid., mars 1.S98): ékkbaco per il calcolo délia latitudine {/bùL, octobre 1S9S).
iloas citerons également notre Note 0.15.
Ji. R. Mehmke nous a signalé un graphique de récoulement de l'eau dans les
poinls, fonctions des deux cotes a, et p,,
Pour obtenir les équations des deux sjst<>mes de courbes cotées (ai) et (^i) constituant le réseau, il n'y a qu'à éliminer successivement chacun des deux paramètres entre les équations précédentes, ce qui donne
On peut aussi définir le système (a|,p,) par l'équation en coordonnées parallèles de chacun de ses points
Si l'on prend, ainsi qu'au n" 60, comme origine O le milieu de la dislance AB des origines des axes A m et B(>, comme axe Oy la parallèle à ces axes menée par O, comme axe Ox la droite OB, et si l'on pose 0B= o, les coordonnées cartésiennes du point défini par l'équation ci-dessus sont
?!(«!, ?i)-H/i(ai, pi)' ^~ ç),(a„p,)-h/,(at„p,)'
et l'élimination successive de ^i et de ai entre ces deux dernières équations donne les équations cartésiennes des systèmes (ai) et (^i) constituant par leur ensemble le réseau (ai, p| ).
Un système de points à deux cotes étant ainsi défini, il n'y a qu'à reprendre tout ce qui a été dit dans les n°* 60 et suivants, en substituant à un, à deux, ou aux trois systèmes de points à une cote, des systèmes de points à deux cotes, pour avoir des abaques à points alignés représentant des équations à quatre, cinq ou six variables.
Si l'on se reporte au n® 60, on voit donc que l'équation la plus
canauY et rivières, publié en 1869 par MM. E. Ganguillet eX W.-R. Kulter {Zeitschrift des OEstr. Ing. und Arch. Vereins, t. XXI, p. 5o), que ses auteurs ont obtenu par un procédé géométrique direct, mais qui peut être considéré comme une application du principe général étudié ici.
CHAPITIE T.
;ib> par un abaque à trois svstemes de poiol»
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ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. SsS
(n** 96) qui fournissent alors la représentation d'équations à huit variables (*).
Parmi les abaques à points alignés comportant des points à deux cotes, ceux qui, de beaucoup, se rencontrent le plus fréquemment dans la pratique, sont constitués au moyen d'un seul système de cette sorte et de deux systèmes de points à une seule cote, distribués sur deux axes parallèles. Ils généralisent par conséquent les abaques envisagés aux §§ II (A et B) et III (A) du Chapitre III, et, *en ce qui concerne leur disposition, on n'aura qu'à se reportera ce qui a été dit là.
Les équations représentables par des abaques de ce type sont celles de la forme
^ E) /i(ai)/3(a3, p3) ^-/i(«2) ?3(«3, h) -+" 'M^^y h) = ».
Pour obtenir Tabaque correspondant, il suffit, en représentant par /| et I2 deux modules quelconques, de poser
(ai) M=-- /, /i(ai),
L'équation du point (aa, ^3) est alors
et ses coordonnées cartésiennes par rapport aux axes ci-dessus défi-
(*) Dans son Mémoire sur les abaques à transversales quelconques cité plus haut (n*94), M. Goedseels a même poussé la généralisation plus loin. Puisque trois points déterminent la position d'une transversale /| de forme donnée, en prenant chacun de ces points muni de deux cotes, on voit que l'on fait dépendre la position de la transversale de 6 variables. Une autre transversale Z, pourra de même dépendre de 6 variables. Le point de rencontre (/^ t^) de ces deux transversales dépendra donc de 11 variables. On pourra de même définir les points (/,, t^) et (/j, ^e)* ^^^ trois points permettront à leur tour de définir la position d'une transversale t^ qui dépendra dès lors de 36 variables. Si cette transversale t^ passe par un point à deux cotes, il en résultera la représentation d'une équation i i)8 variables. Mais cette transversale t^ pourra à son tour être combinée d'une manière analogue avec d'autres transversales correspondant elles-mêmes à plusieurs variables. De là le moyen, théoriquement au moins, d'étendre indéfiniment le nombre des variables. On verra d'ailleurs plus loin (Chap. VI, § I) que ce mode d'extension rentre dans la théorie générale.
32^ CHAPITIE Y.
nhf si ToD représente toujours par o la moitié de la longueur AB,
1 ' ''/l?»(a»rpj)-r-/î/j(aj, ?J»'
L^élimînation successive de p^ et de 23 entre ces deux équations donne les équations des deux sj-stèmes de lignes du réseau
Remarque. — II se peut que les points à deux cotes, entre lesquels on prend des alignements, se réduisent à des points condensés (n" 115). Soit, par exemple, une équation de la forme
La méthode qui vient d'être exposée conduit, pour la représenter, à poser
u -= /i/i(ai.?i >.
ce qui donne
On voit que, bien que dépendant de deux paramètres, les points
ri g. 145.
(■^t, fl.)
(ai, j3|) sont tous dislribucs sur Taxe A//, c'est-à-dire, d'après la terminologie du u" 115, condensés sur Aw. De même les points
(^îj P2) sont condensés sur Bv, et les points (as, ^3), condensés sur une parallèle aux deux premiers axes.
Ces points condensés peuvent être définis respectivement sur ces trois axes au mojen d'échelles binaires qui leur sont accolées (n** 115, liem. 111). On obtient dès lors un abaque du type représenté par la y? o^. 145.
Si, notamment, nous reprenons Téquation du premier exemple d'appli> cation donné au n^ 119, nous voyons qu'en posant
H = /ilogA, t>=--/,Ioga,
nous obtenons
/jM-H /|P = nlog(i -♦- /•),
équation qui représente le point
.It— U ^, nlog(i4-r)
11 suffît dès lors d'accoler à la parallèle aux axes, définie par la valeur de rr, Técheile binaire que définit l'expression de j^, pour avoir sur cette parallèle les points condensés (n, r).
On peut, dans ce cas particulier, éviter l'emploi des points condensés et rentrer dans l'application pure et simple de la méthode générale, comme on va le voir dans le numéro suivant.
122. Premier exemple : Second abaque des intérêts composés. — Reprenons la formule des intérêts composés, mise sous forme logarithmique (no 119, I**),
log A = loga -f- n log(i ■+- r).
Nous pouvons ici prendre comme éléments cotés {a) et (n)
(a) ' u = Il loga,
Gela nous donne, pour l'ensemble des variables A et r, les points à deux cotes définis par l'équation
ifU-^ Il log(i -i- /•)p— /i/flogA = o, ou, en vertu des formules (y) du numéro précédent,
/ilog(i-hr)H- /, , . /j/tlogA
/|log(i-+-r )-!-/,
La première de c cotés (r) qui sonr.
i contenant que r définît les élémeois it, des droites parallèles aux axes A»
Taux (r)
et Bt>; puis, l'ëlimination de r entre ces deux équations donne, pour le' éléments (A), l'équation
(A) iSy--l,(è--x)\oe\,
droites qui pa?scnt toutes par l'orijçine Ti(T = S, y — o) de l'ane Bp, ei qui coupent l'axe A ii(x ^ — S) aux points définis par
qui se confondent avec les points (n). Celte circonstance permet d'é' le trar^é des droites (A). En elTet, il suffit, pour avoir une telle droiu joindre le point li (qui n'est autre que le point n — o) au poini
t'échelie (a) coté A. On peut, d'ailleurs, pour réaliser cette droite, se servir de Tindex lui-même. L'emploi de Tabaque devient alors analogue à celui des abaques à double alignement (Gh. III, § V, A). Il peut s'énoncer ainsi :
On fait d* abord passer Vindex par le point coté a sur l'échelle du capital et le point coté n sur l'échelle du temps, puis on lé /ait pivoter autour du point oà il rencontre la verticale cotée r, de façon à l'amener à passer par le point /i = o. // coupe alors l'échelle du capital au point coté A.
Sur l'abaque représenté par \^ fig. 146, on a pris /s= 0,04/1 ^^ façou à donner à l'échelle du temps (/i) la même longueur qu'à l'échelle du capital (a) et (A), avec les limites adoptées.
Les deux positions de l'index marquées en pointillé sur la figure correspondent à l'exemple numérique déjà envisagé au n** 119 (1**), savoir
pour lequel l'abaque donne
A ~ 36ooo'^
123. Deuxième exemple : Abaque de la distance sphérique (*). — La distance sphérique ^ de deux points en fonction de leurs latitudes X et X' et de la différence L de leurs longitudes peut s'écrire, ainsi que l'a remarqué M. Collignon,
2 cos<p = (i -H cosL) cos(X - X') — (i — cosL) cos(X -4- X').^
Sous cette forme, elle rentre dans le type (E) du numéro précédent.
Adoptant ici pour 0, l\ et l^ une valeur / unique (ce qui a l'avantage de nous donner pour quadrangle limite de l'abaque un carré), nous poserons, en vertu des formules (ai) et (oej) du numéro précédent (*),
a — — /cos(X -4- X'), V — /cos(X ■- X'),
ce qui nous donne, pour équation du système (L, cp),
u{\ — cosL) -- 1^(1-1- cosL) — 2 cosçp = o.
Les coordonnées cartésiennes du point correspondant, données par les
(') O. 4, p. 84- M. Collignoo a, depuis lors, utilisé cet abaque dans sa Note sur la détermination de l* heure du passage du Soleil dans un plan vertical (7. JF. P., 1* série, 4* cahier, p. ia3; 1898).
(') Voir la remarque contenue dans la note au bas de la page x45.
GHAPITBB V.
o précédent, sont ici
-■ la
Ici, point d'élimination à faire, puisque chacune n'entre que dans une des équations. Ces équations les lignes cotées (L) et (f) qui sont des parallèles 8
L'abaque correspondant obtenu en prenant / = 4" Jig- M7
KiK- li-.-
des variables L et ^ donnent directement
"TTTTTl'
UiLLLL
La graduation des horizontales (9) se confond d'ailleurs, si on l'inscrit tur le bord droit de labaque, avec l'échelle (i - 1').
La position de l'index, marquée en poiniillé sur la Rgure, correspond à 'exemple numëriquc suivant, qui fait connaître, sur la mappemonde, lu listance sphérîque de Paris à Hanoï :
ir
L'abaque dont On peut re
t abaque permet de résoudre t
sphérique dont on connaît soit trois éléments de même espèce^ soit trois éléments consécutifs.
Si, en effet, on connaît les trois côtés a, 6, c, on voit qu'en prenant successivement
on a L : A,
-Cy
Si Ton connaît les trois angles, le cas se ramène au précédent par la considération du triangle supplémentaire.
Si l'on connaît deux côtés a et 6 et Tangle compris G, en faisant
on a
Connaissant dès lors a, 6, c, on est ramené pour le calcul de A et B au cas ci-dessus.
La considération du triangle supplémentaire permet de traiter de même le cas où les données comprennent un côté et les deu\ angles adjacents.
L'abaque ci-dessus est intéressant en raison de Textréme simplicité de sa construction et de la diversité de ses usages. On va voir maintenant qu'en sacrifiant un peu de cette simplicité on peut construire un abaque permettant la résolution des triangles sphériques dans tous les cas possibles.
124. Troisième exemple : Abaque général de la Trigonométrie sphérique (*). — Les six cas de résolution des triangles sphériques peuvent, par la considération du triangle supplémentaire, se ramener à trois, savoir ceux où deux au moins des côtés figurent parmi les données, et la résolution de ces trois cas peut être effectuée par l'emploi de la seule formule
(i) cosflci = cosasCOS^j-T- sinaj sin^acossc],
dans laquelle on remplace les variables oti, aji ^i, Pa par l'un des systèmes de valeurs
Pa-^a,
Pa b.
V) OAZ.
Avec ces diiïérents états des variables qui y figurent, nous donnerons à la formule (i) la désignation de formule (A), (B) ou (G).
Voici, dès lors, comment s'eiïectuera la résolution dans les trois cas auxquels on est ramené :
Cas.
DoDQées.
Résolution.
la formule (A) donne A,
On voit ainsi que toute la résolution des triangles sphériques pouri'a s'effectuer au moyen du seul abaque de l'équation (i) qui rentre bien dans le type (E) du n* 121.
Prenant sur les axes Am et Bp des modules égaux à / et représentant toujours par 8 la demi-longueur AB, nous voyons que les formules («i). (as) et (y) du n*" 121 définissant l'abaque seront ici
a — /cosai, V - — /cosas, ^ sinaj sinBs — i
sinaj sinPs-f- i
, cosajCosB, •^ sinat sinps-»- i
La symétrie de ces deux dernières équations en aj et Pj montre qu'ici les lignes (as) et les lignes (^3) sont les mêmes. C'est donc cet unique système de lignes qui, en se recoupant lui-même, constitue le réseau
(a3,Ps).
Les équations (y) étant du premier degré en sin^j et cospj, l'élimination
de p3 n'offre aucune difficulté. On trouve
sm*a3 /*cos*a3
D'après ce qui vient d'être dit, l'équation ( ^3) est la même avec le simple changement de as en p3.
Appelons U et U', V et V les extrémités des échelles (ai) et («j)
Equations i plus ue trois va r («blés.
(Jig. 148) (' ), extrémités qui sont données respectivement, pour . égaux respectivement à 0° ei à 1800, par
Si l'on cberche les équations des tangentes à l'ellipse «i parallèles â O^, vn trouve bien aisément
sont les droites IJV et U'V. On tro s de l'origine 0 sont les droites
; également que les iangenre>^
(') Sur \ajig. ifS, le sens positif de Au et Gv, et, i été exception neltement pris de haut en bai.
c'est-à-dire les droites UV et U'V. En résume, si Ton appelle X« le point situé à rinfini sur OA, on voit que le système (a^) est constitué par les ellipses inscrites dans le quadrilatère OUX.U'.
On vérifie, en outre, que le pôle de l'axe W par rapport à toutes ces ellipses est l'origine B de l'axe VV (*).
Une fois les axes UU' et VV gradués pour les variables ai et «s, il est très facile de construire la portion utile de chaque ellipse «3. En effet, cette ellipse coupe Taxe AB, ou Ox, au point défini par Tabscisse
^ I — sina,
