h smaj

point qui se trouve sur la droite joignant le point \(^x = ^^y — l) au point de l'échelle UU' coté «3-4- 90', dont les coordonnées sont

a; — — 0, j — /cos(a3H- 90°) ~ — /sinas.

Elle coupe Taxe UU'(x = — 8) aux points de l'échelle correspondante cotés tfs et r8o° — as, et, d'après ce qui vient d'être vu, les tangentes en ces points passent au point B. On se trouve ainsi amené à construire une ellipse connaissant deux points, les tangentes en ces points et la tangente parallèle à la corde qui les joint, construction facile à effectuer (*).

Remarquons que les ellipses cotées d^ et 180® — «3 coïncident dans toute leur étendue. Il suffit donc, pour avoir le système (as) tout entier, de faire varier «3 de 0° à 90*.

Cette coïncidence deux à deux des ellipses (913) entraînerait une ambiguïté dans la lecture si Ton n'avait soin de faire la remarque suivante :

Si l'on se reporte aux formules (y) ci-dessus, on voit que y est positif ou négatif suivant que a^ et ^3 sont ou non pris du même côté par rapport

Donc, sioLi et ^3 sont à la fois supérieurs ou inférieurs à 90®, le point de rencontre des ellipses correspondantes se trouve au-dessous de OK. Si le contraire a lieu, le point de rencontre des ellipses se trouve audessus, en vertu de la note au bas de la page 33i.

Enfin, une autre ambiguïté apparente se produit lorsque a3= ps ou lorsque «3-+- ^3=1 80", parce qu'alors les deux ellipses dont il s'agit de prendre le point de rencontre coïncident dans toute leur étendue; mais ce

(') Si l'on fait une transformation par polaires réciproques relativement à un cercle de centre B, on voit qu'on obtient un système de coniques concentriques circonscrites au rectangle formé par les points transformés des droites UV, U'V, U'V, UV. Le centre commun de ces coniques est le point transformé de la droite UU'.

(^) Nous avons, pour cette construction, indiqué un procédé (celui qui a effectivement servi pour la /ig. i^B) dans les A^. A. (3* série, t. XII, p. 35o), procédé qui se trouve reproduit dans notre Cours de Géométrie descriptive, p. 177

point de rencontre occupe alors une position limite qui est le point de contact de i^elllpse considérée avec la droite UV si 7.3= ^3, avec la droite U' V si a8-+- ^3 = I8o^

Le point (23, ^3) est ainsi défini sans ambiguïté dans tous les cas, et It' mode d'emploi de Tabaque résulte simplement de l'alignement de ce point avec les points ai et at}.

125. Quatrième exemple : Abaque de Inéquation complète du troisième degré, — Pour représenter Téquation

z^-^ nz^-^ pz A- q — o,

qui rentre évidemment dans le type (E)du n° 121, il suffit, en appelant /i et /] deu\ modules quelconques, de poser

(p) u^-lxp,

équations qui définissent deux échelles régulières portées sur Au et B^'. Le point (/i, z) est alors défini, en vertu des formules (y) du n* 121, par

It-r-liZ

If^llZ

La première de ces équations ne contenant que z définit les éléments cotés relativement à cette variable, qui sont, comme on voit, des parallèles aux axes coordonnés \u et Bv, déterminant, sur Taxe AB des origines, une échelle linéaire (n** 7) qui, dans le cas où /i = /j, devient une échelle segmentaire (n° 5, 3®).

Quant aux courbes (/i), qui sont des cubiques cuspidales, on pourrait aisément former leur équation en éliminant z entre les équations (z) et (y); mais cela est inutile.

Lorsqu'on a construit Tune d'entre elles, par exemple la courbe n = o, qui est précisément celle dont nous nous sommes occupé en détail au n** 81, les autres s'en déduisent très aisément. Si, en effet, jr^ et yn sont respectivement les ordonnées des courbes cotées o et n, pour une même valeur de z, on a

et, puisque la fraction qui multiplie n est une constante pour une même valeur de 2, on voit que les courbes (n) déterminent sur la droite z une

ItliZ*

échelle régulière dont le module est égal à -. -, — et le sens crois-

sant opposé à celui des échelles (p) et (q).

C'est en se fondant sur cette remarque et en prenant

i|u'on a construit Tabaque de la fig. 149, dont l'emploi se réduit à ceci : faire passer V index par les points cotés p et q et lire les cotes z des verticales passant par les points où cet index rencontre la courbe i'otée n.

On s'est d'ailleurs, en vertu d'une remarque déjà faite à propos de l'équation trinôme (n** 81), borné à y^nvisager des valeurs positives de z, les valeurs absolues des racines négatives de l'équation étant données par les racines positives de la transformée en — z, c'est-à-dire de l'équation définie par les coefficients — n^ p et — q.

Les équations du troisième degré qui se rencontrent dans la pratique n'ont d'ailleurs, en général, qu'une racine positive, el c'est la seule qu'on ait besoin de calculer.

Les positions de l'index marquées en pointillé sur la figure se rapportent

<)u\ équations

pour lesquelles Tabaque donne respectivement ^ = i ,{6 et z = i ,G.

Remarquons, en outre, qu'ici s'applique le principe des multiplicateurs correspondants (n** 21) lorsqu'on prend

z'=\z, //'--X/i, p'zrz^ip^ q'' \^q.

En voici des exemples pris dans la pratique :

i" Voûte en dôme» — Bossut, dans ses /Recherches sur r équilibre des routes {Mémoires de r Académie des Sciences, p. 56G; 1774)» est amené, il propos d'une voûte en domc particulière, à résoudre l'équation

/'H 9G^«-: 7Jti,87y^ - 7826, oji = o.

Kn prenant X =-- --, on a l'équation ' 10 *

L'abaque donne pour celle dernière

Par suite

a" Remous d'une ris^ière. — Le remous z d'une rivière à son passage

■ass,'!i.':,vjuv

SOUS un pont est donné par l'équation

c3-+-(2H-A)w«^-H(H — 2A)5-+-B-AH«=o,

où

L désignant la largeur de la rivière en amont du pont,

/ sa largeur totale sous les arches du pont,

H la profondeur moyenne en amont,

Q le débit de la rivière,

U le coeffîcient de contraction.

Avec les données suivantes, qui sont celles relevées par d'Aubuisson dans son expérience sur la Veser, savoir

L = i8o",7i, /rrgô^ia, H --5", 37, Q = i45o-% U=o,9,

on a l'équation

s'-f- 10,2-3*4- 23,5 5 — II, 04 = o.

Prenant ici X = -> on a Téquation

pour laquelle Tabaque donne

et, par suite,

126. Cinquième exemple. Abaque de l'équation du quatrième degré. — Soit l'équation du quatrième degré

z^ -~ mz^-\- nz^-^ pz -Jr q =0.

Lorsqu'on pose

z — mz\ n ~ m^n'j p — m»/?', q = m^q\

elle devient (*)

Sous celte forme, il suffit, pour la représenter, de poser

(') L'expérience de dWubuisson a donné z = o",382.

{') Il y a lieu ici de faire une double observation :

lo Pour le cas où m serait négatif, il y aurait lieu de construire un second

ce qui donne pour les points (n', z')

<^> •^= TT^n!;^'

On voit que loutcc qui a été dit à propos de la construction dei'abaque précédent peut être répété ici. On obtient seulement comme courbes (n) iles quartiques au lieu de cubiques. Mais, une fois tracée la courbe /i = o, les autres s'en déduisent exactement de même qu'au numéro précédent, la relation

subsistant encore. Si donc on construit ce nouvel abaque avec les mêmes

modules que le précédent, on voit que les échelles régulières déterminées

sur les diverses verticales (z) par les courbes (n) sont les mêmes dans

Tun et l'autre cas. C'est ainsi qu'a été obtenu l'abaque de la Jig'. i5o (*).

Pour déduire les coefficients n\ p\ q' des coefficients m, n, jo, q et

passer ensuite des racines z aux racines z^ on voit qu'il suffit de construire

Tabaque de l'équation

a = m^OL

pour I = I, 2, 3, 4-

Cet abaque rentre lui-même dans le type ici étudié. Il suffit, en eiïet, d'écrire l'équation précédente sous la forme

loga = loga'-+- * log/n,

abaque, analogue à celui qui va être décrit, et correspondant à Téquation

Cet abaque servirait notamment à obtenir les valeurs absolues des racines négatives des équations pour lesquelles le coefficient m est positif. 2" Pour le cas où m = o, on pourrait construire aussi l'abaque de l'équation

mais la résolution d'une telle équation se ramène immédiatement à Templui dr. Tabaque décrit ci-dessus, au moyen de la transformation z'=. zûii,

(*) La simple inspection de la figure montre que la portion tracée des courbes (/i) comprise entre les axes n'est jamais coupée par une droite en plus de trois points, c'est-à-dire qu'aucune des équations représentées n'a plus de trois racines positives, ce qui est évident a priori, attendu que, le coefficient de z^ dans ces équations étant égal à i, la somme des racines est égale à — i, ce qui exige que l'une au moins d'entre elles soit négative.

ÉQUATIONS A PLUS D£ TROIS YARIABLES. SSg

pour voir qu'elle est représentable au moyen des deux systèmes de points à une cote

(a) 'M = /iloga,

{m) V = — /j logm,

et le système de points à deux cotes

Itu-h II iv — Il II loga' = o,

ou

iii-i- 1%

Prenons /i= If Les échelles (a) et (m) sont alors des échelles logarithmiques de même module portées en sens contraires sur Au et Bp. Les lignes (î) sont des parallèles à ces axes déânies par

c'est-à-dire déterminant sur AB une échelle segmentaire, et les lignes (s'), dont l'équation s'obtient par l'élimination de i entre les expressions cidessus de X ely, sont définies par

(a') lay = li\og7,'{^ ^x).

Ce sont des droites et l'on voit, en faisant x = ù et x = — o, que la droite cotée a' joint l'origine B de l'axe B(^ au point coté a de l'échelle portée sur Xu.

Cet abaque, où il suffit de donner à i les valeurs i, 2, 3, 4» est donc très simple à construire (^^. i5i). Au lieu d'inscrire à côté des verticales les valeurs de 1, on y a- inscrit la désignation des variables correspondantes. En outre, on a, à côté de l'échelle de gauche, inscrit les désignations des diverses variables auxquelles se rapporte cette échelle, c'est-à-dire qui ont été représentées en bloc par la variable a dont on s'est servi pour la construction ( *).

Le procédé à suivre pour la résolution d'une équation du quatrième degré est alors le suivant : Faisant passer l'index, sur l'abaque de la fig, i5i , par le point m de V échelle de droite^ on le fait pivoter autour de ce point pour prendre successivement les points n, p, q de V échelle de

(*) Au lieu de construire les radiantes qui figurent sur cet abaque auxiliaire, on peut recourir à uo pivotement de l'index, comme pour l'abaque des intérêts composés {fig. i38). Pour avoir /i', par exemple, ayant fait passer l'index par les points m et n, on le fait pivoter autour de son point de rencontre avec la verticale (a') jusqu'à ce qu'il passe par le point z de l'échelle (m). Il donne alors la valeur de n' sur l'échelle (n).

34o GHIPITBB V.

gauche. Cet divertes positions de l'index coupent reipeetivemeni les êekellei {n'),(p') et{q') en det points dont les cotes font connaître n\ p', q'. Celles-ci, transportée* lur l'abaque de la fig. i5o, font coaitattre les racine* s'. En/aiiant pauer alors sur la fig. i5i l'index,

(n) (pHt)

-aooi

0,001 -ILIWOS

par lea points de l'échelle (i' obtient les i

pivotant toujours autour du point cotés au moyen des valeurs de ces demandées sur l'échelle de gauche.

Soil, par exemple, à résoudre l'équaLion

Les trois traits mixtes {!), (Il) et (III) qui sont marqués sur la Jig. i5i monlrent que, si l'on réduit le coeflîcieDt du second terme i l'unité, les trois autres coefficients di:vieuncnl respectivement, en valeur

absolue, 4) ^ et 5. On a donc à résoudre, au moyen de l'abaque de la yî^. i5o, Féquation

Le trait mixte marqué sur cette fîgure et qui unit les points p — >, q = — 5, coupe la courbe /i = 4 tout près de la verticale ^ = o,8, mais un peu en avant. Nous aurons donc pour cette dernière équation

Le trait pointillé (IV) de la /ig. i5i montre que la valeur correspondante de z est

comme d'ailleurs, dans ce cas particulier, on le vérifie immédiatement par le calcul.

On pourrait construire des abaques analogues pour l'équation du cinquième degré puisque, comme Ton sait, une telle équation peut toujours, par une transformation appropriée, être mise, suivant le cas, sous Tune

des formes

z^-^ nz*-h pz '- q — o,

Z*-h z* -h nZ^-^- pZ -h q rn o^

z» — z*-h nz^-^pz -h q =0.

127. Droites à doubles enveloppes, — Les équations appartenant au tjpe (E) du n° 121, c'est-à-diie

auquel se réfèrent les divers exemples précédents, peuvent être effectivement représentées suivant le mode corrélatif dérivant de remploi de la méthode cartésienne, ainsi que la remarque nous en a été faite par le P. Poulain (*). Si nous posons (^), en effet,

(') Dans une Lettre en date du 16 octobre 1^91.

(^) On aperçoit immédiatement la généralisation suivante : si l'équation donnée était de la forme

on poserait encore

ce qui déterminerait le point à deux cotes (spa,) par un réseau dont les deux systèmes constituants seraient définis par l'élimination successive de x, et de a, entre les expressions de x et de y.

nous définissons un point à deux cotes, aci et et), qui doit se trouver sur la droite

droite que nous pouvons appeler A et dont, pour plus de simplicité, nous représenterons i'équalion ci-dessus par

Si l'on donne à a* une valeur conslanle. cette droite a une enveloppe C^,, dont l'équation s'obtient par l'élimination de ^i entre l'équation (2') et sa dérivée prise par rapport à p» ou

(3) ip,(a„p,) = o.

On peut ainsi construire les enveloppes £,, correspondant aux diverses valeurs de oti.

De même, l'élimination de iX| entre l'équation (a') et

(■() i;,("i,pi) = o

permettrait de construire les enveloppes C^, correspondant aux diverses valeurs de p,.

On voit, dès lors, que l'équation (E) ci-dessus exprime simplement qu'«/ie tangente commune aux courbes C^, et C^^passe par te point (a,, aj).

Fig. i5i.

L'abaque comprendra {/ig. TÔa) : 1° le réseau des parallèles

aux axes, défini par les formules (i) et servant à déterminer les points (ai, a2); 2° le système des enveloppes Cg^^; 3° celui des enveloppes <î^p^.

Si, par exemple, a,, a^, a.^ étant données, on veut avoir ^3? on fait passer par le point (a,, aa) un index, posé sur l'abaque, que l'on amène à être tangenU à l'enveloppe d^g^, et on lit la cote de V enveloppe C^^ qui se trouve en contact avec cet index.

La lecture d'un tel abaque, si les deux systèmes Ca, et Ca sont eflFectivement composés de courbes, sera généralement moins nette que celle d^un abaque à points alignés. Il est toutefois des cas où les enveloppes de Tun des systèmes se réduisent à des points et où, par suite, Tabaque gagne en netteté.

Soiiy par exemple, réquation complète du- troisième degré

z^-^ nz^-\- pz-^ q = 0.

Posons

x^lp, y = Iq,

équations qui définissent un quadrillage régulier parallèle aux axes. Il Nient ensuite

XZ -i-y -i- l{z^-\- 715*) = o.

Lorsque laissant n finti on fait varier z dans cette équation, on obtient une enveloppe Cn dont l'équation peut s^écrire immédiatement, puisque c*est la condition pour que l'équation ci-dessus ait une racine double en z.

La voici :

i-jly^-r- 4 J?' H<r /i ( 4 'i' ^*^ — n/x* — i8/ar^)= o.

Cette équation définit des cubiques cuspidales (unicursales, de la troisième classe) passant par l'origine, où elles sont tangentes à Ox,

Quant aux enveloppes £., obtenues en faisant varier n dans l'équation ci-dessus, z restant fixe, on voit, puisque dans ces conditions la droite correspondante reste parallèle à une direction fixe, qu'elles se réduisent à des points à l'infini.

Pour une direction donnée, la valeur de z est le coefficient angulaire changé de signe. On pourra donc définir ces diverses directions au moyen d'un transparent sur lequel seront marquées, en outre des axes O^x et Oy, des droites issues de l'origine et cotées au moyen de leur coefficient angulaire changé de signe.

L'usage de l'abaque sera alors le suivant :

Les axes O'x' et O'y' étant maintenus parallèlement à Ox et Oy^ on place l'origine O' du transparent en coïncidence avec le point {p^q) du quadrillage de Vabaque. Les racines z de réquation sont alors les

r.oles des droites du transparent qui s courbe cotée n (').

trouvent en contact avec la

128. Trajectoires des contacts. — Reprenant l'abaqne général du numéro précédent, choisissons une des enveloppes C^ cl menons les tangentes communes à cette courbe et à chacune des enveloppes C^,. Le lieu des points de contact de ces tangentes cl des courbes t^, sera une certaine courbe Gp, qni pourra être dite trajectoire des contacts p, pour le système (a,).

. L'équation de cette trajectoire est bien aisée à obtenir; elle résulte simplement de l'élimination de x, entre les équations (a') et (3) du numéro précédent. En eflfet, ces équations sont celles de deux droites passant par le point deconuctdeladroite (aj, pj) »vec son enveloppe C^,- ^'^ suite, l'élimination de cl^ donne bien le lieu de ce point correspondant à une valeur fixe de ^a.

Fig. 1.VÎ.

'^mT^"-'''

(^ette Irajecloire C3, étant tracée et cotée au moyen de la va-

(') Pour ivilcr l'usage du transparent, on pourrait appliquer une iraosformslion homo graphique ramenant à distance linie la droite de l'infini de l'abaquiri-dessu9, celle, par exemple, qui est dérinic par les formules

rX qui Tait correspondre i la droite de rinTini la droite j' = a. Xus. dilTéreule-' laleur; de z correspondraient alors des poims cotés sur celle droite. Le résrau {p, g) serait eonslituc par des droites (/)) issues du point ^' = o, ^' = o. et des parallèles (q) i Oj:, et l'on aurait \ci raeines de l'équation en lisant les cotes des points où un index, passant par le point {p, q), viendrait couper I» droite ^'=i a, lorsqu'il aurait été amené i être tangent i la courbe cotée (n). ,

leur con*espondante de ^3 pourra, au poinl de vue de l'usage de l'abaque, remplacer la courbe C^^, qu'il n'y aura partant plus besoin de tracer. L'emploi de l'abaque sera alors le suivant (Jîg. i53) :

Etant données ai, a2, «3, on fait passer par le point (ai, a2) du quadrillage un index qui! on amène à être tangent à la courbe («3). La cote de la courbe (^3) passant par le point de contact fait connaître la valeur de ^3 cherchée (*).

Le principe de ce mode de représentalion nous a été, sous forme de l'exemple particulier cité plus bas, communiqué par M. B. Paladini.

Suivant que les courbes <i^^, ou les courbes (s^, seront plus simples à construire, on aura recours aux unes ou aux autres. Par exemple, dans le cas de l'équation complète du rroisième degré, traité à la fin du numéro précédent, les courbes C- se réduiraient à de simples points, tandis que les courbes ^2 seraient assez compliquées. Voici, par contre, un exemple, celui même que nous devons à M. Paladini, où l'emploi des trajectoires Cr comporte une réelle simplification. Il s'agit de l'équation

(i) n sin(a -h oi) -H m sinio — sina— o^

rencontrée par M. Pesci dans son Mémoire sur la Cinématique navale cité plus haut ('), et qui sert à déterminer (i> en fonction de m, n et a. Si nous posons, en appelant / un module quelconque,

nous avons les droites à doubles enveloppes 6gi et C^i, définies par Té quation *

(3) j' ^in(a -^ to) -h xsino) — /sina.

La dérivée de cette équation, prise par rapport à u>, est ( 4 ) y cos (a -h w ) -+- a: cos co — o.

Retranchant cette équation, multipliée par sina>, de la précédente, mul-

(*) Il convient de remarquer qu^UD tel abaque ne se prèle pas également bien, comme les précédents, au choix de Tune quelconque des variables comme inconnue. Si, par exemple, c'est s, que Ton cherche, il faut trouver la courbe «3, dont la tangente, en son point de rencontre avec la courbe ^3, passe par le point (a,, x, ), ce qui ne peut se faire que par tâtonnement. II est vrai que, dans un grand nombre de cas de la pratique, c'est toujours la môme variable qui est prise pour inconnue.

(') Note au bas de la page Sso.

tipliée par cosa>, nous avons, après suppression du fadeur commun sins,

(5) y — /cosw = o.

L'élimination de u>, par addition des carrés (3) et (4), donne

(6) j-*-r- j^* -»- axj^cosa = /* sin*a.

Telle est Téquation des enveloppes C^^ qui sont des coniques faciles à (onstruirei comme on le verra plus bas.

On trouverait de même pour les en\eloppes C^ un autre système de coniques. Mais l'élimination de a entre (3) et (4)) qui se trouve effectuée dans (5), fait connaître les trajectoires (^b>, et Ton voit, d'après (5), que ce 'sont des droites parallèles à Ox, Il sera donc plus simple ici <^e recourir à ces trajectoires plutôt qu'aux enveloppes C^^.

Pour construire les ellipses <!^ai i' suffit de remarquer que, si Ton prend pour axes de coordonnées les bissectrices O^i et O^i des angles des axes primitifs, l'équation (6) dexient