sin- - î/'cos

vi 2

Vutrcment dit, si, sur le cercle de centre 0 et de rayon //a, on prend le

|)oint A tel que j^iOA = -, les demi-axes de l'ellipse Ca sont les projec-

lions de OA sur Ox^ e/ Oy\.

Quant aux droites Ç'^o, on peut les prendre superposées aux droites colées /z, leur cote w étant donnée parcelle du point où elles rencontrent le «ercle de rayon //qui n'est autre que C^\ gradué comme un rapporteur

à partir de Ox.

Kn pratique, m et n \arient de o. i en o,i entre o et 2, a entre o" et 180", ri 10 entre o" et JGo".

129. Abaques à équerrc pour la résolution des équations complètes (lu troisième et du quatrième degré. — Ayant, aux n°* 125 et 127, décrit des abaques pour la résolution de Téquation complète du troisième degré, nous croyons de\oir signaler ici un ingénieux procédé imaginé par M. Massau ('), en vue du même problème, et que nous avons nous-méme simplifié.

Ce procédé, déduit par son auteur de considérations de Géométrie dans l'espace, interprétées par la Géométrie descripti\e, consiste en ceci:

Etant tracées sur un quadrillage régulier de module / les droites (-5) définies par l'équation

Iz'^ -:- zx - y — Oj

(') Mémoire sur l'intégration graphique, liv. III, Ch. III, n» 185.

on déplace une équerre dont le premier côté passe constamment par le point (n — Ç,p) du quadrillage, c'est-à-dire par le point

et dont le sommet décrit la verticale cotée n ou

X ~ In,

jusqu'à ce que le second cùtp de cette équerre coïncide avec une des droites (z), La cote de celle-ci est alors une racine de Téquation

z^ -r- /i5* -h pz ~ q = o.

En effet, appelant t) Vy du sommet de l'équerre, on voit que l'on a

d'abord

Iz* -':- zln -h T^ — o;

puis, la droite cotée z étant perpendiculaire à celle qui joint le point X = l(n — q), y — Ip diU point x ~ In, y = r^, on a aussi

r^ — Ip

L'élimination de t; entre ces deux équations donne bien l'équation complète du troisième degré ci-dessus, ce qui justifie le procédé.

Les simplifications dont ce procédé est susceptible sont les suivantes : 1® Si l'on prend les points d'intersection des droites (z) avec Oa?, on obtient les points

X = — iZy

c'est-à-dire que la cote d'une droite z est celle du point où elle rencontre V échelle régulière portée sur Ox, changée de signe. 9.** L'enveloppe des droites {z) étant la parabole

.r* — uly ^ o,

il suffit de tracer cette parabole P ifig. i54) pour n'avoir pas à tracer les droites (z).

L'abaque se réduit alors à un quadrillage régulier dont les a\es Ox et Oy sont gradués et sur lequel est tracée la parabole P. Son usage se réduit à ceci : On déplace une équerre dont le sommet décrit la verticale cotée /i (le long de laquelle on peut placer une règle) et dont un côté passe par le point (n — Çy p) (sur lequel on peut placer une pointe fine) Jusqu'à ce que son second côté soit tangent à la parabole P. La cote changée désigne du point où ce côté coupe Ox est une racine de l'équation proposée.

On voit qu'il suffit, dans l'équation du système des droites (z), de remplacer z^ par z^ -+- mz', pour avoir un abaque de l'équation complète du

quatrième degré

z'^ H- mz^ "h nz^ -i- pz-r- q ~ o.

GBAPITRB V.

A chaque lalcur de m correspond, bien entendu, une ci loppe Cm analogue à P. Il n'y a qu'a tracer le système de ces le quadrillage régulier pour que l'abaque se trouve construit.

XS ^'^

Sculemei

les valeurs de s ne devront plus être inscrites sur l'axe Or. s des points où cet axe est coupé par la droite

ne sont pas les mêmes suivant la valeur de m. Ces valeurs de « pourraieni lïire données par le coefficient angulaire de la droite correspoadanle cbangr dcsigne.OnpourraJtaussi recourir à l'emploi des trajectoires de contact C: ( n" 138). En elTet, le lieu des points de contart des enveloppes Cn avec le droites correspondant à une même valeur de s est une courbe dont l'équai'obiiendra, comme on l'a vu au n" 138, en éliminant m entre l'équari-de!isus et sa dprivéi*, prise par rapport à s. Ici, l'équation et sa dé> «'tant linéaii't's en m, x et y, on voit que ces trajectoires Itz seront des droites.

On trouvera plus loin (142, 3°) un autre type d'abaque pour réqnatio» complète du quatrième degré.

['M. Abaques à trois dimensions. — Bien que cela s'écarte un peu d-notre sujet, qui vise la représentation plane des équation!:, c'est ici le lien de faire connaître une curieuse evtcnïion à l'espace du principe des potnr> nli),-nés doiit M. .\. Arller(i) d'une part, M. R. .Mehmkc (*) de l'autre, oui eu séparément l'idée.

Si nous reprenons les exemples donnés dans les Acm\ derniers numéros. nous voyons que des équations de la forme

-»U=) -pM = ) ~qU')-

( ' ) Wie'ier Beric/ile, l. \C\n . u* -icrlion, p. ',o',.

(-) /.eitschri/t fur Alathemalik und Pliysik, t. XLIII, p. 33«.

ont été représentées par Talignement des points à une cote (p) u ^- /,p,

ot du point à deux cotes

in, z) uU/i{z)-. s^lxMz)-^ l\lt[J\{^)-^ nf^{z)] = o.

Si nous prenons maintenant un système de coordonnées parallèles dans l'espace (*), nous voyons que Téquation (i) expHme que le plan dont les coordonnées sont

(n)' u ^ lin,

(PÏ ^ = liP.

iqY w=izq,

passe par le point M dont l'équation est

iz)' uUli/i(z)-hvlili/3(z)-i- wlxl%Ms)'^lxlrhfi{z)^o.

Ce point a pour projection, parallèlement aux axes Au, Bp, Qw, sur le plan ABC des origines, le point m, barycentre des points A, B, C respectivement affectés des coefficients Itls/ii^), hl\fz{^)^ hhfki^)'» et sa distance mM à cette projection, comptée parallèlement aux axes, est

iihMz)-^ hixMz)-^ hUMz)

Lorsqu'on fait varier z le point m décrit sur le plan ABC une certaine courbe y ^^ '^ point M engendre, sur le cylindre qui passe par cette <'.ourbe ^ tl di ses génératrices parallèles aux axes, une courbe V sur laquelle on peut marquer un certain nombre de ses positions en inscrivant à côté les valeurs de z correspondantes. On obtient ainsi le système des points cotés {z) de l'espace^ distribués sur une certaine courbe gauche F.

Dès lors,/>oar avoir les valeurs de z correspondant à des valeurs données de n, p, q, il suffit de couper la courbe T par le plan déterminé par les points cotés n^p^ q respectivement sur les axes A a, Bp, Cw, et de lirs les cotes des points ainsi obtenus sur V.

Pour réaliser le plan (n, p, q) dans Tespace, on peut tendre un fil entre les points n et ^ de Au et de Ctv, et amener un œilleton o, fixé à un curseur c mobile le long de Bp, en coïncidence avec le point p. En regardant alors par cet œilleton on lit les valeurs de z aux points où le Gl semble couper la courbe V.

(') Les coordonnées parallèles de l'espace ont fait, de la part de M. II. Ileddaeus, l'objet d'une dissertation inaugurale pour le doctorat en 1889, devant l'Université de Marbourg; sous le titre : Théorie und Anwendung eines besonderen Ebenencoordinatensystems,

La fig, i5> représente l'instrumeot construit, d'après ce principe, par H. Mehmke pour la résolution de l'équatioa complète du troisième degré

Si l'on suppose l'équation pourvue d'un terme de plus

on peut, pour chaque valeur de m, traiter l'équation comme il vient d'être dit. K chaque valeur de m, correspond ainsi une oourbe T qui peut être cotée au moyen de cette valeur de m. Les diverses courbes gauches F

ainsi obtenues et qui consiitucnt le s)5t6me (m) sont, d'ailleurs, toutes situées sur un même cylindre, attendu que la courbe y. projection de F sur ABC, ne dépendant que de« trois derniers termes de l'équation, est la même quel que soit m. On pourra donc les tracer toutes sur ce cylindre

en marquant vj;alcmenl le^ diverses valeurs de :. Poui matière transparente, comme li de l'œilleton, voir le fil rendu, t correspondant à des valciir<i doi rait être construit pour l'équalii

I de ce cylindre correspondant a

le le cylindre soit constitué par une iloïd. à travers laquelle on pourra, L le moyen d'obtenir les valeurs de s le m, n, p, <j. Un tel abaque pouripléie du quatrième degré.