C. — Élé
MENTS V n COTES.
131. Définition des éléments à n cotes. Échelles multiples. — On a vu (n° H5) que les éléments, lignes ou points, à deux cotes se définissaient au moyen d'un /réseau constitué par deux systèmes de lignes à une cote. Rien n'empêche de munir à son tour l'un de ces deux systèmes, ou même les deux, d'un réseau de doubles cotes, et de continuer de même pour les systèmes constituant les nouveaux réseaux introduits. La répétition de cette opération permet, comme on voit, de multiplier autant qu'on le veut, théoriquement du moins, le nombre des cotes afférentes à un système quelconque d'éléments donnés.
hajig. i56 donne, par exemple, la représentation schématique
Fig. i56.
d'un système de courbes C à quatre cotes a, |3, y, o. La courbe C correspondant à un système de valeurs des quatre variables est celle qui passe par le point de rencontre de la courbe (a, P) et de la courbe (y^ 8)- Et l'on voit que, si la courbe Cest connue ainsi que trois de ses cotes, la quatrième s'en déduit immédiatement. Dans le cas où les courbes C deviennent des droites parallèles, ces droites déterminent, sur un axe quelconque perpendiculaire à leur direction, une échelle dont les divers segments, comptés à partir d'une origine arbitrairement choisie, se trouvent être fonctions des cotes afférentes à ces parallèles. On obtient ainsi
35a CBAPITRE V.
lies échelles multiples, doot l'idée, sous la forme particulière indiquée ci-dessous, est duc à M. Lallemand.
(^ODsidérons uo système de parallèles à Oy tracées à travers Lin réseau (a, 3) {Jig. i57),c'e3l-à-dire déilnies psruae équation (le la forme
et un système de radiantes issues de l'origine, et tracées à travers KiK. .57-
un réseau (-j-. ''), c'csl-à-dire définies par une équation de la forme
On aura, dès lors, pour les parallèles à Ox passant par les points de rencontre des droites des deux premiers systèmes,
Ces parallèles donneront donc sur O,^' une écliclle multiple, relie de la fonction de qnalre variables dont l'expression est fournie par la dernière formule.
Faisant coïncider de môme l'axe Ox' A un nouveau système de radiantes à deux cotes e cl t| avec l'axe Oy de l'échelle précédente, on voit ipi'on obtient, pour les parallèles à cet axe, une
équation de la forme
et ainsi de suite.
Si, au lieu de radiantes issues de l'origine, on avait, sur le réseau (y, S), tracé des droites appartenant à un système simplement infini quelconque, leur équation eût été de la forme
et l'échelle multiple le long de Oy aurait représenté une fonction de la forme
r = ?(«5 P)'Kt^o)-*-'!'i(t»^)-
Il est inutile d'insister davantage sur ce sujet. Nous nous contenterons d'indiquer un exemple dû à M. Lallemand et appartenant à la catégorie des abaques hexagonaux.
132. Exemple : Abaque de la déviation du compas, — La déviation du compas d'un navire, variable avec la position de celui-ci à la surface du globe, est donnée par la formule (^)
o = A-f-msinÇ-+-/i cosÇ -^ B sinaÇ-i- G fcosaÇ,
où Ç est le cap du compas, m qI n des fonctions de la longitude L et de la latitude /, qui seront définies plus loin; A, B, G des constantes pour le navire donné.
Les coefficients m et n étant des fonctions de J^ et de / peuvent être représentés par des échelles binaires que nous désignerons parm(L, /)et /i(L, /).
( ' ) Cetlc équation peut être représentée plus simplement par la méthode des
points alignés au moyen de deux systèmes de points condensés et d'un système
de points ordinaires à deux cotes.
Il suffit, pour le voir, de poser
Les quantités m et n étant fonctions de L et de /, les formules définissent deux systèmes de points condensés, aux cotes L et /, déterminés le long de Au et de hv par des échelles binaires {Rem. du n« 121, p. 3^4).
On a, en outre, pour l'ensemble des variables S et !^ les points à deux cotes définis par l'équation
l^us\n^-\- /ji^cosÇ-h /j/jCA + Bsin2Ç+ CcosaÇ — 6 ) = o.
Ces points sont détermioés par un réseau (Ç, 6) dans lequel les lignes (^) sont des droites parallèles aux axes A a et Br.
354 CHAPITBf T.
Sî maintenaot nou« posons
nou9 voyons que nou« n'aaroDS qu'à combiner, ainsi qu'on Ta va ao numéro précétJent. l'échelLe binaire
jr' — m « L. / >
avec le* radianle>
pour obtenir l'échelle ternaire
jr' = /n« L, /)sinî = o'(L, /, ; ».
De même, si nous posons
o' =/i/L. /; cos; — A -r- B sinaî; — Ccosaï. nous n'aurons qu'à combiner Téchelle binaire
a7' = /i(L, l) avec les droites cotées (^) définies par l'éqnation
y' =z x' cos î — A — B sin -2 ï -f- C cos 2 î, pour obtenir l'échelle ternaire
y = /i(L, /) cos; -+- A -T- B sin 2 ; -4- Ccosîî; = o'(L, /, Ç): «•t, puisque
il suffira que les échelles ternaires o'(L, /, Ç ) et o'(L, /, J) soient accolées à deux des axes d'un abaque hexagonal pour que les valeurs de 0 soient données par une échelle régulière portée sur le troisième axe (n** 33).
Reste à voir comment on pourra construire les échelles binaires mi L, /) et /i(L, /). On a
tn
= arc sin Y (^ tangO ~^ïj)(*~i — sinBlL
n - arc sin U //tangO-4-^ j M— IsinBJ 1,
formules où tout est constant, sauf l'inclinaison magnétique 6 et la comportante magnétique horizontale H, fonctions l'une et l'autre de L et /. Pour ronsiruirc léclielle binaire de m
nous pouvons prendre pour lignes cotées L les parallèles à l'axe des r'
Reste à tracer les courbes cotées (/). Nous nous servirons pour cela des planisphères terrestres sur lesquels sont moquées les courbes, obtenues par l'observation, le long desquelles 0 d'une part, H de Fautre, ont une valeur constante. Pour avoir la courbe cotée / il suffit, pour diverses valeur* de L ou y\ associées à cette valeur de /, d'avoir les valeurs correspondantes de m ou x\ Or rien n'est plus simple, attendu que pour un couple de valeurs de / et L le planisphère dont il vient d'être question donne les valeurs de 0 et II qui, portées dans réimpression de m écrite plus haut (et que Ton peut, au besoin, traduire par un abaque) font, à leur tour, connaître m.
De même pour l'échelle binaire de n.
C'est ainsi qu'a été construit l'abaque de \^ Jig, i58, dû à M. Lallemand. qui se rapporte au navire le Triomphe, pour lequel les constantes cidessus ont les valeurs
A=— i'9', e — o,io6,
B= r)<>4j', /- -o,oi3,
Pour plus de netteté dans l'échelle ternaire de o', on n*a fait varier le cap du compas que d'une demi-circonférence. Afin donc d'avoir la valeur de ô' correspondant à toutes les valeurs de Ç, on a dû répéter deu\ fois l'échelle binaire de n (*), l'une de ses positions correspondant à la graduation du demi-rumb nord, l'autre à celle du demi-rumb sud.
En résumé, ayant pris dans V échelle de o' (indiquée sur la figure par le chillVc 1) le point de rencontre de la droite J et de la parallèle au premier axe passant par l'intersection de la droite L et de la ligne /, et dans V échelle de o" (indiquée par le chiffre II), le point de rencontre de la droite Ç et de la parallèle au second axe passant par l'intersection de la droite L et de la ligne l (en tenant compte du demi-rumb où se trouve le compas), il suffit de faire respectivement passer par ces deux points les deux premiers index du transparent convenablement orienté pour que le troisième donne sur le troisième axe, qui porte V échelle de la déviation, la valeur de o.
On a indiqué on pointillé sur la fiî;ure les positions de ces index pour rt^xcinplo numérique suivant :
L'al);j«|iic donne alors
0 = ir\8,
(') \(in de faciliter la lecture, on a, sur rrchcllc binaire de w, qui est. en soninir, un planisphère ananiorf)lio.sé, fait Iii;urer les contours des continents. On s'est dispensé de le faire sur réchelle binaire de //, parce qu'il en sérail résulté une certaine confusion dans le dessin.
