II. — Systèmes mobiles
A. — Systèmes divers a translation et a rotation.
133. Systèmes à translation. Règles à un tiroir. — Nous avons eu, dans l'application de plusieurs des méthodes précédentes, à nous servir de transparents mobiles à un, deux ou trois index (n®* 13, 18, 31, 56). On conçoit a priori qu'on pourra donner une nouvelle extension à la représentation plane des équations à plusieurs variables par l'emploi non plus seulement d'index mobiles, mais de systèmes cotés mobiles mis dans certaines relations de position avec les systèmes cotés d'un plan • fixe (*). C'est un sujet qui sera approfondi plus loin (n*** 144 et 145). Avant de l'aborder dans toute sa généralité, nous voulons en indiquer divers cas particuliers plus spécialement dignes d'attention au point de vue pratique.
Le cas le plus simple est celui d'un système mobile dont les déplacements se bornent à des translations parallèles à une direction fixe.
Considérons trois axes parallèles O^x^^ O^x^, O^oc^ tels que celui du milieu puisse glisser entre les deux autres {fig* iSg). Si
Fig. 159.
<aa)
(as) '
Torigine O2 est amenée en face du point d'abscisse x^ et si le point d'abscisse X2 vient alors en face du point d'abscisse X3, on a
Si les trois axes portent respectivement les échelles définies
( ' ) On a déjà, incidemment, rencontré dans ce qui précède quelques exemples de systèmes mobiles (n"" 14, 18, 55, 127).
par
on aura donc
De là un mode de représentation nouveau pour les équations de cette forme, que nous avons déjà rencontrées aux n"* 26, 28, 32 et 66.
On pourra réaliser matériellement Tabaque correspondant en gravant les échelles (ai) et (as) sur la face supérieure d'une règle dans laquelle on engagera un tiroir à glissière portant l'échelle («a)- On retrouve ainsi le type d'instrument connu sous le nom de règle à calcul.
La plus simple de toutes est celle qui permet d'effectuer la multiplication en traduisant l'équation de cette opération mise sous
la forme
log«3= logai-+-logaj.
Comme ici les échelles (ai) et (aj) sont identiques, on peut les supposer confondues. La règle à calcul ainsi obtenue, qui se trouve aujourd'hui entre les mains de tous les ingénieurs, est d'un usage trop courant pour que nous croyions devoir nous y arrêter davantage (*); il nous a sufii de faire voir comment elle peut se rattacher à la théorie générale des abaques.
Parmi les équations du type voulu, on peut encore citer celles qui se rencontrent dans le calcul des profils de remblai et de déblai lorsqu'on les a mises sous la forme logarithmique (n^lOl).
(') Rappelons que le principe de la règle à calcul fut proposé par Wingale dès l'époque où Gunter imagina la construction des échelles logarithmiques, soit tout au début du xviir siècle. L'usage de la glissière, introduit par Seth Partridge (1671), fut réinventé par Leadbetler (1700). C'est vers i8i5 que les frères John, de Soho, (irent de la règle à calcul l'objet d'une fabrication courante. Introduite en France par Jomard en 1821, cette règle y fut construite par Lcnoir, qui la perfectionna dans ses détails, ainsi (jue ses successeurs, Gravet-Lenoir et Tavernier-Gravcl. M. Poraux en a fait connaître diverses variantes possédant des avantages spéciaux. Le ruban calculateur du marquis de Viaris en est un ingénieux dérivé. M. Gros de Perrodil a consacré une brochure à la Théorie de la règle logarithmique (Gauthier-Villars, i885). On doit aussi à M. Labosnc une Instruction sur la règle à calcul ^ qui contient toutes les indications de
Une règle pour ce genre (inapplication a été construite par M. Toulon (*), une autre par M. Paulin {'^).
De même qu'on Ta vu à propos d'autres types d'abaques, les échelles d'une règle à calcul pourront, le cas échéant, êlre fractionnées. En voici un exemple bien simple :
Supposons que la partie utile OfXi de l'échelle (ai) déborde sur la partie utile de l'échelle (ol^) {fig» i6o). A partir de la pcr-
Fig. i6o.
0'ii-b
XJb
I I I I I I I I I I I I or.
; oi
Ojl I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1
pendiculaire à O^Xx menée par O3, reportons en O, A', la portion 0|A| de l'échelle («i), et fixons au tiroir un index O^ dont la distance au trait origine O2 de l'échelle (a2) soit précisément égale à 0| A4. Il est bien clair que lorsque le trait O2 marquera sur 0| A| le point affecté d'une certaine cote a,, l'index O^ marquera sur O', A'^ le trait affecté de la même cote. On pourra donc supprimer la portion 0| A| de l'échelle (a,) en la remplaçant par O'^ A', de façon à limiter les deux échelles (ai ) et (as), portées par la règle, à une même perpendiculaire à la direction de celle règle.
Lorsque le trait O2 se trouvera engagé entre les échelles de la règle, on se servira de ce trait pour prendre le point ai sur la portion A| x^ de l'échelle correspondante. Lorsque le trait O2 se trouvera en dehors des échelles de la règle, c'est avec l'index O.^ qu'on prendra le point ai sur le segment O', A', .
détail relatives à son emploi. On trouvera à ce sujet quelques détails dans notre brochure 0.8, p. 53 à 66.
Enfin un nouveau modèle de règle à calcul, construit également par la maison Tavernier-Gravet, a été proposé en ces derniers temps par M. A. Beghin, qui a rédigé sur ses nombreux usages une brochure très intéressante.
Il convient aussi d'observer que le même principe théorique peut encore être appliqué au moyen de la rotation relative de cercles concentriques munis des mômes graduations que leâ règles et leurs tiroirs. Ce dispositif, adopté dès 1682 par Oughtred, se retrouve dans divers instruments modernes, comme ceux de M. John Fuller {Computing telegraph) et de M. Boucher {cercle à calcul).
(») Voir le Cours de Boutes de M. Durand-Claye (2" édition, 'p. 56i).
(^) Portefeuille des conducteurs des Ponts et Chaussées^ t. XXI, p. i33; 1889.
36o CHAPITRE V.
Il est bon d^ailleurs d'observer que, dans beaucoup de cas, les traits de la portion OiAi prolongeront exactement ceux de la portion AtXi qui pourront dès lors servir à définir la seconde partie de l'échelle, pourvu qu'ils soient munis d'une seconde chiffraison (* ).
On peut, bien évidemment, remplacer les trois échelles simples (ai), (a2) et (ol^) du numéro précédent par des échelles binaires (ai, pi), (aa, ^2)', (^3? l^a)* On a ainsi, au moyen d'une règle portant les échelles (ai, pi), (ag, ^3) et munie d'un tiroir portant l'échelle (a2, ^2)» la représentation de l'équation
/l(«l,Pl) -»-/,(«„ p2)=/3(a3,p3).
Pour mettre en correspondance les points de l'une à l'autre échelle, on peut avoir recours soit à une équerre dont un bord est mis en coïncidence avec un bord de la règle, soit à un curseur portant un index perpendiculaire à la direction de la règle et qui se déplace le long de cette règle.
13i. Règles à plusieurs tiroirs. — Au lieu d'un seul tiroir, on peut munir la règle de plusieurs tiroirs glissant les uns coutre les autres (/î^. 161). Si la règle porte les échelles (ai) et (a,,)
définies par
Xi ^. //, (a,),
et si les divers tiroirs portent les échelles
^t ^ Ift ( 3tî ),
^3 ^^/aCa.,),
Xn-x= l/n-i{ctn-i)y
(') La règle h calcul frarlionm^c, imaginée el réalisée dès i85i par le lieutenant Mannliciin (depuis lors colonel), a, dans la suite, été, sous des formes diverses, rcinvcntco f)ar divers auteurs, notamment par MM. Kverell {Universal proportion Table), Scherer {Itechentnfel), I)orivr\ {Carte à calculs) ^TUacker et lîiileter ( Cylindres à calcul). Afin de donner à un tel instrument de calcul un grand développement sans avoir recours au fractionnement, le professeur (leorîics Fulier, de Hclfasl, la enroulé sous forme d'hélice {Spiral si ide rule: voir notre hrocliure 0.8, p. ()«>). Les trois derniers instruments cités réalisent des sortes d'abaques à trois dimensions. D'après M. Favaro, la première échelle hélicoïdale aurait, dès iG5o, été construite par Milburne.
on voit que si Ton arrête Torigine Oj en face du point a,, O3 en face du point aj, . . . , 0,i i en face du point a„2, et si le point a„, se trouve alors en face du point a„, on a
On obtient donc ainsi un nouveau mode de représentation des équations déjà envisagées au n'* 37.
Oïl I I
Fig. 161
iJ-iO.
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