I II

On pourra, bien évidemment aussi, comme dans le cas précédent, remplacer une ou plusieurs de ces échelles simples par des échelles binaires.

Exemple : Règle à calcul pour la traction d'une locomotive, — Si V représente la vitesse en kilomètres par heure, q le poids en tonnes de chaque véhicule remorqué, a l'inclinaison de la voie sur l'horizon, le nombre n des véhicules que peut remorquer une locomotive de type connu est donné, d'après M. A. Frank, par la formule

-f- B p* -f- C — D sin a

E^ -r- Fi^î-- 1000^ sina

où A, B, C, D, E, F sont des constantes numériques dépendant de la locomotive considérée.

Cette formule a été représentée par M. F.-J. Vaes, au moyen d'une règle à trois tiroirs de la manière suivante (^) :

Si l'on pose

( ' ) Studies over trekkracht van Locomotieven en weerstand van treinen {De Ingénieur, avril 1897).

et

D sina ^ ,

10007 sina , , .

on voit que la formule considérée peut s'écrire

ou

log/i = log/i (i^) -+- log/,(i^, %) — log/aCi', y ) — Iog/4(p, 7, a).

Sous cette forme, on reconnaît qu'elle rentre dans le type générai cidessus. On pourra donc la représenter au moyen d'une règle portant les échelles parallèles

a^o ~ ^logn,

il étant un module quelconque), entre lesquelles on fera glisser des tiroirs munis des échelles multiples définies par

a:,= /log/iCi', a),

xs = — nog/,(p, y),

^4= — /log/4(i^, gr,a).

Les deux premières sont des échelles binaires; leur exécution n'offre donc aucune difficulté. On pourra d'ailleurs, pour l'une comme pour l'autre, prendre pour lignes cotées (t») des parallèles à l'axe des x,

La dernière est une échelle ternaire ; mais rien n'empêchera de construire sur différents tiroirs interchangeables les échelles binaires obtenues en attribuant à a difl'ércntes valeurs fixes. On se servira, dans chaque cas, du tiroir portant l'échelle (t\ q) correspondant à la valeur de a considérée. Si, d'ailleurs, les échelles {v^q) correspondant à plusieurs valeurs de a n'empiètent pas les unes sur les autres, on pourra les tracer sur le même tiroir, ce qui est le cas pour l'exemple numérique auquel se rapporte \difi^. 162. Celte figure reproduit un fragment de la règle construite par M. Vaes avec les données

A — i-j^oG, D — ()3ooo, B - 0,0775, E — '2,5, G— — 23*2,6, F — 0,0047.

La règle même porte les échelles I et V relatives l'une à p, l'autre à n. Celte dernière a d'ailleurs été fractionnée ainsi qu'on l'a expliqué à la fin du numéro précédent.

Les tiroirs II et III portent des échelles binaires (p, a)et(p, ^) pour chacune desquelles les lignes (v) sont des parallèles aux. bords de la règle.

Le tiroir IV porte trois échelles binaires (c, ^) correspondant respectivement à a =Too*» * =roô ^^ * =rôVôï échelles pour chacune desquelles les lignes v, toujours parallèles aux bords de la règle, sont les mêmes.

L'usage de la règle peut se résumer ainsi : On fait correspondre le point (t^, a) de l'échelle II au point v de Véchelle I,puis le point iy^ q) de Véchelle III à l'origine de Véchelle II, puis le point {v^ q) du f^roupe a de Véchelle IV à Vorigine de Véchelle III, ou à Vindex terminal, marqué sur cette échelle non loin de son extrémité si son origine est trop éloignée (ce qui est le cas sur Wfig, 162). On n^ a plus qu'à lire la cote du trait de Véchelle V qui se trouve en face de l'origine de Véchelle IV, cette lecture se faisant le long du bord extérieur ou du bord intérieur suivant que, pour mettre en place Véchelle IV, on s'est servi de l'origine ou de Vindex terminal de l'échelle IIL

Il va d'ailleurs sans dire que, puisqu'il s'agit ici d'un nombre de véhicules, on prendra pour n la valeur entière la plus voisine de celle qui serait exactement donnée par l'origine de l'échelle IV.

Par exemple, sur la ftg, 162, la disposition des tiroirs, qui correspond aux données

i' = f)o^™, q — lif 5, a = -; — > ^ 400

montre que l'on a

135. Systèmes à double translation. Résolution des équations trinômes à exposants quelconques. — On peut combiner la translation de IW.hellc dans le sens de sa longueur avec une translation perpendiculaire à cette longueur.

Si, par exemple, nous prenons un abaque à points alignés, constitué au moyen de trois échelles rectilignes parallèles (Ch. III, § II, A), nous pouvons rendre chacune des trois échelles mobile : i" dans le sons de sa longueur; 2"* dans le sens perpendiculaire à cette longueur.

Pour définir la première translation, on peut accoler à réchelle (a) une échelle ([i) dont on amène un point de cote donnée sur Taxe 0.r; pour délinir la seconde, il suffit de faire passer le support de l'échelle (3) par un point de cote donnée sur une échelle (y) parallèle à Ox. Dès lors, les coordonnées du point a sont

Par suite, en supposant les modules /| et /.^ les mêmes pour les diverses échelles parallèles, on voit que l'alignement des points ai , ao, «3 (^fig' i63) donnera une représentation de l'équation

/i(«i)-?i(Pi) ^^iCYi) /sCaj) — ?3(?3) 4^3(73)

En remplaçant les neuf échelles qui viennent d'être définies par des échelles binaires, on a un abaque à dix-huit variables.