OX
Eli
coupe les échelles Em et E» en des points dont les cotes 0,11 et 0,89 ont une somme égale à i. Far suite la cote
z = o,5i du point où cet index rencontre réchelle E est racine de l'équation
De même, la position de l'index marquée en pointillé au-dessous de Oa: coupe les échelles E,n et E,, en des points dont les cotes 200 et 199 différent de I ( * ). Par suite la cote
( ' ) L'abaque dont on s'est réellement servi était muni d'échelles logarithmiques ordinaires dont celles de \^ fig. i56 sont la réduction dans le rapport de i à 6,25.
OÙ cel index renconlre l'échelle E est rac
uvcra d'aulrca eitemples de systèmes ; ) images logarithmiques auxquels une s pb. loin.
translation dans les ■tion spéciale (B) est
136. Systèmes à rotation. Échelles tournantes. — Après les systèmes à Iranslation, les systèmes mobiles les plus usuels sont ceux à rotation.
l'our commencer par l'exemple le plus simple, prenons une (■chelle (a) pivolanl autour d'un do ses points sur le système supposé fixe des droites parallèles menées perpendiculairement à sa direction primitive Ox (') {Jîg. i65).
Si l'échelle (i) est définie par
^' =//(>), la perpendiculaire à Ox passant par le point n a pour équation
i:=;/(a)cosu., ,
w étant l'auglc que Ox' fait avec Ox.
Supposons tracée sur le plan de l'abaque une courbe portant une graduation quelconque (p). L'angle w csl évidemment l'onction de la cote [i du point par lequel passe le support Ox' de
(') Uni- telkCTlielIc pcnt iM ahaques polairo? ( n" 5 j ) Itsi
l'échelle (a), ou un index quelconque invariablement lié à ce support. On peut donc poser
costo = o(P) et, par suite,
L'ensemble de l'échelle mobile (a) et de l'échelle fixe (P), qui peut être dite échelle de repérage, équivaut donc à une échelle binaire représentative de la fonction /(a) tp ( ^ ) le long de Ox,
Nous n'avons fait aucune hypothèse sur la nature du support de l'échelle curviligne (P). Il va de soi que, dans la plupart des cas, le mieux sera d'adopter un cercle de centre O. Quel que soit d'ailleurs ce support, la graduation s'en fera bien aisément au moyen de la relation écrite ci-dessus, qui lie ^ à w. Dans le cas d'un support circulaire, la graduation (P) est bien évidemment telle que sa projection sur Ox soit l'échelle même de la fonction cp(P), construite avec un module égal au rayon du cercle.
En vue de représenter au moyen d'une échelle tournante les fonctions de la forme /(«)?(?) 4- ^(a)> M. Lallemand, à propos de l'application donnée ci-dessous, a eu l'idée de décrire, sur le plan de l'échelle mobile (a), de chaque point a de cette échelle comme centre, un cercle de rayon /i{/(a). La perpendiculaire à Ox^ tangente à ce cercle coté a, est alors
:r=/[/(a)cp(p)dz4.(a)],
le signe entre parenthèses étant -{- ou — suivant qu'il s'agit de la tangente à la partie du cercle concave ou convexe vers Oy,
En accolant à l'axe Ox deux échelles telles que celle-ci, on voit qu'on aura la représentation d'une équation de la forme
pour laquelle une autre méthode a été exposée au n^ 92.
Remarque, — Il suffit de remplacer l'échelle (a) par une échelle binaire (a, a,), et l'échelle (P) par un réseau de points à deux cotes (P, ^4), pour avoir, par les perpendiculaires à Oj:, l'échelle de la fonction /(a, a,),p(P, p,).
370 CDAPITRB V.
137. Exemple (inapplication : Abaque de la correction des mires. — La correction E d'une hauteur de mire est donnée par la formule
où H représente la hauteur lue, exprimée en décimètres, fx l'indice de compensation au moment de la lecture, {jl^ l'indice de compensation au départ, c'est-à-dire une constante, ^( H) une fonction définie graphiquement par la traduction en diagramme des résultats de l'étalonnage.
L'équation précédente définit donc la correction E en fonction de H et de [X.
Une correction analogue étant afférente à chacune des deux mires, la différence de niveau H' — H' devra être corrigée de la quantité .
e = (!^-^) H'+/.(H')- [( !^^:jli^) H'+/,(H')] .
Cette équation rentre dans le type envisagé à la fin du n° 133. On peut donc la représenter au moyen d'une échelle simple à translation (e) glissant le long de deux échelles binaires fixes ((jl'. H') et (p.'. H").
Le o de l'échelle (s) étant amené en face du point (fji', H'), le point de l'échelle (e) qui se trouvera en face du point (fx', H') fera connaître la correction cherchée.
Or, les fonctions représentées par les échelles binaires (fji', H') et ([jl'. H") sont du type considéré en second lieu au numéro précédent lorsqu'on fait correspondre respectivement les lettres H et \t. aux lettres a et ^ et que l'on définit les fonctions y, cp, i]; par
- f^— P-rf
Chacune de ces fonctions pourra donc être représentée par une échelle tournante perlant des cercles de rayon //(H) pour H, et une échelle de repérage pour \k.
11 suffira de disposer ces deux échelles sur un même plan, de façon que leurs origines 0' et O'' soient sur une même perpendiculaire à la direction «le la translation de l'échelle (&) pour constituer l'abaque demandé.
C'est ainsi que iVI. Lallemand a construit celui que représente la Jig. 166, et qui est en usage au Service du Nivellement général de la France.
Chacune des échelles (11') et (H") est dessinée sur un secteur mobile respectivement autour de O' ou de O", et qui tourne devant réchelle {\k') ou (jjl") correspondante.
L'index i' ou i" de ce secteur mobile est amené en face de la valeur de \i ou \l" se rapportant à l'opération dont on veut corriger le résultat,
Equations a plus de trois tahiables. 871
valeur qui est doDoée en centi millimètres. Connue celte valeur ne varie pas sensiblement dans le eonraot d'une journée, pour effectuer la correc-
tion des lectures faites dans cette journée, on Tikc d'une manière invariable les secteurs, s r la planchette qui porte l'abaque, au moyen de punaise» P' et P'.
L'échelle de la correction (e), graduée en décimilliroèlres et gravée sur
37a CHAPITRE V.
une plaque de celluloïd, est indiquée en pointillé sur la figure (^). Ses déplacements sont guidés par une règle le long de laquelle s'applique un bord du transparent.
La disposition de la fig, 166 correspond aux données
ir= II'*", 9, H'= 24'»".
Les indices î et i' ayant été placés aux points cotés 106 et 126 des échelles (fx') et (fji') et Thorizontale o de Téchelle transparente étant amenée tangenliellement au cercle coté 11 de Téchelle (H'), on voit que la tangente horizontale au cercle coté 24 de l'échelle (H') correspond à la division 4o de Téchelle transparente. On a donc ici
dm
138. Abaque de la lumière diffusée, — Nous avons vu au n** 135 comment, lorsqu'une équation peut revêtir la forme de déterminant requise pour l'application de la méthode des points alignés, on peut utiliser les systèmes à translation pour augmenter le nombre des variables correspondant à chaque point aligné. Voici un exemple où c'est un système à rotation qui remplit le même office. Cet exemple est emprunté à la Thèse du capitaine Lafay pour le doctorat es Sciences physiques (*).
fX> désignant un angle qui définit la vibration rectiligne incidente, ^S un angle qui définit la direction du grand axe de la vibration elliptique diffusée, les mêmes lettres afl'ectées des indices i et 2 les mêmes angles pour le cas où la vibration diffusée devient rectiligne, a et b des variables liées aux directions des rayons incidents et diffusés et dépendant de la nature de la surface, l'équation à mettre en abaque est
SI
inî(Ç — a?,)sin2(cilo — a\o,) sin«($ — $, ) sin2(-A«— .\,,)
= '2sin($—à^)sin(Ç — $,)sin(2.l> — 0.1,1 — ol,,).
Posant
2a'V> — 0.I01 — -îilsj = p,
:>. (j? (î, ifj = -2 3',
(•) Cette échelle prùle à l'observation que voici : Comme on n'a besoin que des valeurs arrondies de e, au lieu d'élever, au support de l'échelle, des perpt»diculaircs par les points de cote ronde, on les mène par les points moyens enlre ceux-ci, en constituant de cette façon des cases à tout l'intérieur de chacune desquelles s'applique la cote ronde qui s'y trouve comprise.
(») Annales de Chimie et de Physique, 7* série, t. XVI, p. 5o3: 1899.
M. Lafay a remarqué que Téquation précédente pouvait être mise sous la forme
sma
langp
tangP' — tanga' tangP'-h tanga'
, tangP'-+- tanga'
cosa
tang^' — tanga' tangp'-f- tanga'
^tangp'-t-tangg^ tangP' — tanga'
tangP' — tanga' Elle exprime donc l'alignement des trois points
sma tangp'
^^^^t^ng|^-tan^^ tangp -h tanga
tang^ — tanga
y = /cosa,
y^la tangP'- tanga' ^ ^ tangP'-l- tanga'*
^ - /^ tangp'-f- tanga' •^ tangp — tanga
/ étant le module à la fois de Oa: et de Oy.
Le point X, qui dépend des deux cotes a et p, est à la rencontre de la droite
avec l'ellipse
y = /cosa
y^ -hx* tang'P = /*.
Les droites et les ellipses correspondantes, cotées sur la ^ff. 167 respectivement au moyen des valeurs de
- = — (eiv>i — 2 2 ^
et de
— = clio — — ( cAot -H eiloî )« 2 2
sont faciles à tracer.
Le point U est, on le voit immédiatement, à la rencontre de la seconde bissectrice des axes avec la droite menée, par le point A (x = — a, y = — a) de la première, parallèlement à la direction OS dont le coefficient angulaire est
^ tanga'
De même, le point V est à la rencontre de la première bissectrice avec la droite menée, par le point B (x = b, y = — b) de la seconde, parallèlement à la même direction OS.
Les points A et B donnent naissance sur les bissectrices à des échelles régulières (a) cl {b) faciles à marquer.
3^4 CBAPITBB T.
Pour déiÎDir la direction OS on peut tracer s (a', p'), défini par
ar = — / cot fl', y = ~ f cot 5
: l'abaque le réseau
ÎDsi que cela a été fait sur Vajig. 167. La direction OS est alors celle qu a du point O au point (a, ^'}, et il suffit alors de mener par lesjpoints
cotés « et 6 des parallèles à celle direction pour obtenir les points U et V dont l'alignement donne X. Pour n'avoir pas à tracer ces parallèles, on aura évidemment recours à un transparent portant des traits parallèles équidislants suffisamment rapprocbés.
Mais il est plus simple, ainsi que l'a remarqué M. Lafay lui-même, de recourir à une échelle (2', ^') tournante.
Supposons construit sur un transparent dont l'origine 0' reste en coïncidence avec 0. et dont les axes O'x' et 0/ sont d'abord en coïncidence avec Ox et 0^, le réseau défini par
symétrique du premier par rapport ii 0^. Lorsqu'on fera tourner c transparent autour du point 0, de manière i amener le point (a', 3') à s IrouvLT sur Oy, il est bien clair que son a\e O^ se confondra alors ave la direction OS précédemment définie, l'ar suite, les droites ménies de c
transparent parallèles à 0/', qui passeront par les points cotés a et b, détermineront les points U et V.
Remarquons que, si la direction OS passe par le point (ol\ ^')j la direction OS', qui lui est perpendiculaire, passe par le point
x' = l tang p', y z=-^ l tang a'.
On obtient ainsi un nouveau réseau, que nous désignerons par (a', ^')i; il ne diffère du précédent que par ses cotes, qui pourront être inscrites à côté des premières, mais en chiffres penchés, afin de l'en distinguer nettement.
Cela permet de ne faire usage que des points situés à l'intérieur de i'angle AOB. Si, en effet, la direction OS est extérieure à cet angle, la direction OS' lui est intérieure. On prend alors les droites AU et BV perpendiculaires à cette direction.
Si l'on a recours au transparent mobile, le réseau (a', P')i, symétrique du précédent par rapport à O^, est défini par
x' = — /tangP', y= — /tanga'.
Puisqu'ici les droites AU et BV sont perpendiculaires à OS', ce seront les parallèles à Ox\ au lieu des parallèles à Oy'f qui donneront la direction de ces droites.
L'emploi de l'abaque se résumera donc comme suit :
On amène le point d'intersection des droites cotées i9 — $i — 9t et $1 — $t ^" transparent sur l'axe Oy, Si, pour que ce point soit à l'intérieur de AOB, on a diï lire ses cotes dans le premier système, on prend les points de rencontre V et \ des bissectrices OA et OB avec les droites du transparent parallèles à Oy, qui passent respectivement par les points cotés a et b. Si, au contraire, les cotes 2$ — $i — 9t et $1 — $t ont été lues dans le second système, on prend les points U et V au moyen des droites du transparent passant par a et b, mais parallèles à Ox'.
Une droite tendue entre les points V et Y coupe alors l'horizontale
cotée sur une ellipse dont la cote fait connaître oAo *
d'où l'on déduit immédiatement A>, cAoi et Xt étant donnés.
Sur \^fig, 167, construite dans l'hypothèse d'un système (a, P) fixe, on a, en traits pointillés, tracé les droites AU et BV correspondant aux exemples numériques suivants :
1" Direction OS.
Les données sont :
«i-*î = 95% i(X,~Jl>,) = 4o''; 2* — $, — *, = 200°, {(X, + X,) = Jo\
On lire de Tabaque d'oii
oHo ^ o/\ .
2° Direction OS'.
Données :
2 ce -- $, — «^j = 340», { ( X, -h el,,) = 50".
On tire de l'abaque
«.lo — Y ( c/loi -f- aiuj ) = 07 }
d'où
On remarque aussi sur la ^ff, 167 des hyperboles tracées en pointillé et marquées 0. Leur signification est la suivante :
Au\ variables a et 6 est liée la variable 8, différence de phase introduite par la diffusion entre les deux composantes d'une vibration, par
réquation
ab = cos*o.
Or, les distances OU et OV des points U et V à l'origine sont données, d'après les expressions écrites plus haut des coordonnées de ces points, par
tang p -h tanga tangp — tanga
Donc
