OU.OV= 2CT^» = 2COS

11 en résulte que la droite UV est tangente à une hyperbole ayant Ox et Oy pour asymptotes. Ce sont les hyperboles correspondant aux diverses valeurs de 0 qu'on a tracées en pointillé sur la Jiff. 167. Celle d'entre elles qui est tangente à la droite UV fait connaître la valeur

(le 8 (ï).

B. — Abaques a images logarithmiques.

139. Nouvel usage de V anamorphose logarithmique, — L'ingénieuse méthode due à M. R. Mehmke (2) fournit des

(') Cette seconde partie de l'abaque rentre, comme l'on voit, dans le type des abaques tangcnticis comprenant deux systèmes de points cotés (p. 128).

C') Civilingenieur, t. \XXV, col. 617 (1889) et Z. S., t. XXXV, p. 174 (1890). Dans un Mémoire plus récent, iM. Mehmke a étendu l'application de ces ingénieux principes aux grandeurs complexes (Z. S., t. XL, p. i5; 1895).

abaques qui comportent, comme on va voir, des systèmes à translation.

Etant donnée une équation entre deux variables

M. Mehmke appelle image logarithmique de cette équation la courbe obtenue par anamorphose logarithmique (n® 28) de celle qui la représenterait en coordonnées cartésiennes, c'est-à-dire celle qui est définie par

X = /loga,, y=: /logaj,

/ étant un module quelconque.

Cela posé, le principe de la méthode peut s'énoncer ainsi :

Les images logarithmiques des équations de la forme ( • )

dz a'J'ia^îzh c'a'J«ta^2zb c''a^îay"=iz c'"a<'a^2"= o

que nous désignerons par [c', c'', c'"], peuv^ent toutes s^ obtenir par translation des images logarithmiques du système défini par

± a'J'ia^îzb a^îaj»2d= aj'ïay'iih Ya^»"»?-' = o,

que nous désignerons par [^].

Supposons, en effet, ce système rapporté à des axes O'x' et Oy mobiles relativement aux premiers tout en leur restant respectivement parallèles, et soient Xq^ yo les coordonnées de l'origine de ces axes mobiles, dans le premier système.

Le point (a^, a^) du système mobile aura donc, après la translation qui amène l'origine mobile en coïncidence avec le point (^o>^o)î les coordonnées

x = Xo-hl\o^oL\, y =^o-+- ^loga'j,

ou, en posant

xo= l logXo, yo= l log Yo,

les coordonnées

X = /logXo«;, y = /logYoa'j.

( ' ) L'anamorphose logarithmique ne s'appliquant qu'aux valeurs absolues des variables, il est nécessaire de mettre en évidence les signes des différents termes.

Il s'ensuit que, si ce point se trouve maintenant en coïncidence avec le point (a« , a2) du système fixe, on a

Par suite, a, et a2 sont liés par Téquation

«T'ta'i»» a7*ia7»3 a'?»7a'i»5 a'fî'a»»?'

± — ^ ^ zh — î ?— ±: —^ — dz y—^ - =o

Xj««Yy. Xm[ym'^ X^V"? *X<Y'«?'

et il suffît de poser

Xg-Yy. , Xy.Yy. ^ , ifXy.Yy. ^^.

pour que l'image [y] transportée comme il vient d'être dit coïncide avec l'image [c', c/', c'"].

Remarquons que ces trois équations de condition, lorsqu'on se reporte à la définition de Xo et Yo, peuvent s'écrire

(i) (/wi— /n;)a7o-H {nif—m'^)yo= /loge',

c'" (3) (m, — m7)j:o+('w,— /n;)7o=/log--.

Les équations (i) et (i) montrent que les droites C et C, dont les coefficients angulaires ont respectivement les valeurs fixes

nii — m', ni\ — ni'', . ,, . . i «i / \

-^ et —r, -^ et qui passent par 1 ongme mobile (^oî^o)î

coupent Taxe Oy respcclivement aux points dont les ordonnées sont

V = ^ — j- = r loge', V =z 1 — - = /' loge',

ni2—m\ ^ nif— ml ^

Téquation (3) que la droite C", dont le coefficient angulaire est

égal à -4i -y et qui passe également par l'origine mobile(^oî^o)7

coupe l'axe Ojc au point dont l'abscisse est

07= ^log =/ lOg — •

nu- m"; ^ Y ^ Y

Construisons le long de Oy les échelles logarithmiques (c') et (c") de modules /' et T et le long de Ox l'échelle logarithmique (y'^') de module T.

Les trois remarques ci-dessus nous permettent alors d'obtenir facilement l'image logarithmique [c', c^, c"'] lorsqu'on a construit sur un transparent le système des images logarithmiques [y], ainsi

Fi g. i68.

que les droites C, C" et G" {fig* i68), que nous appellerons les index de ce transparent.

Il en résulte, en effet, que si le transparent, tout en conservant son orientation, est déplacé de façon que les index 01 et C" soient amenés à passer par les points cotés c' et c" respectivement sur les deux échelles de Oy ( * ), et si, dans cette position, l* index C^ passe par le point coté y de l'échelle de Ox, V image

[y] dont la cote y est égale à -^ coïncide avec V image [c', c", c'"].

On conçoit, d'après cet énoncé, pourquoi le système (y) peut être dit fondamental pour les images [c', c", c'"].

(*) Pour fixer avec précision la position du transparent, il est bon de constituer celui-ci d'une matière rigide (celluloïd) ayant un bord B, parallèle à Oy et un bord B, parallèle à C. Le bord B, étant appliqué sur O^, on le fait glisser le long d'une règle jusqu'à ce que C passe par le point (c') de Oy, puis on applique une règle le long du bord B^ et Ton fait glisser le transparent contre cette règle jusqu'à ce que G* passe par le point (c").-

38o CUAPITRE V.

ff

On peut, pour éviter le calcul de -;^ (*), recourir à l'artifice suivant :

Les diverses positions de Tindex C", qui se déplace parallèlement à lui-même, donnent sur Ox, ainsi qu'on vient de le voir,

les valeurs de

Nous pouvons construire le long de O^ une échelle binaire de cette fonction (n° Ho) en prenant, pour définir cette échelle, un axe Oy" parallèle à la direction fixe de C". Cette échelle sera, dès lors, définie par

y = r logY

et

et la détermination de y? "ne fois le transparent mis en place au moyen de d et c'^, se réduira à ceci : la cote y est celle de Vhori' zontale de l^ échelle binaire (y, c"') passant par le point où la droite G" coupe l'oblique cotée d" ,

On conçoit immédiatement comment ce principe permet la résolution d'un système de deux équations simultanées telles que

où les exposants sont considérés comme constants et les coefficients comme variables.

Pour résoudre ce système d'équations, il suffit de tracer sur le quadrillage logarithmique défini pat*

x = /logai, y =/Iogaj

les images [c', c", c'"] et [d'j d", d'^'] des deux équations ci-dessus. Les cotes ai et ao des difl'érents points de rencontre de ces images sont les systèmes de solutions cherchés. Or, ces images peuvent être obtenues par translation du système fondamental (v), qui

(') Il est à peu près aussi simple, et cela a l'avantage de dégager le tableau, d'ciïectuer ce petit calcul auxiliaire, soit au moyen d'un des nombreux abaques de multiplication décrits dans cet Ouvrage, soit au moyen de la règle à calcul.

vient d'être défini ci-dessus, et du système fondamental analogue (o) pour la seconde équation.

Les cotes (ai) et (ao) des deux systèmes de parallèles constituant le quadrillage pouvant être rejetées sur des parallèles à ces axes, on dispose des axes O x et Oy pour y accoler d'une part l'échelle binaire (c'", y), de l'autre les échelles simples {&) et (c"). Si Ton a

nii — //ij = /îj — /ij, nii — ml = /ij — /ij, nii — m'j' — rii — /i^, m^ — //ij = /ij — ^j,

ces diverses échelles sont identiques aux échelles {d!" ^ 8), {d) et {(F) relatives à la seconde équation et peuvent, par suite, servir également pour elle.

S'il n'en est pas ainsi, on fixe la position de l'image [8] coïncidant avec [rf', rf', d'"^ sur un second tableau, puis on transporte le second transparent de ce tableau sur le premier où est déjà disposée l'image [c', c" ^ c"^ en repérant sa position au moyen des points où ses index D' et D" coupent les axes portant les graduations (a^) et (ao) qui sont les mêmes sur les deux tableaux.

Remarque, — Si d" =^ o, on a X = o, quels que soient c' et c" . Par suite, toutes les images [c', c", o], que nous représentons plus simplement par [c', c"] sont obtenues par translation de la seule image [o], c'est-à-dire que les images logarithmiques de toutes les équations telles que

sont obtenues par translation de l'image de la seule équation

// sujfity pour obtenir V image [c',c"] de Jaire passer les index C et C" respectivement par les points cotés c' et c" sur les échelles portées par Oy,

Dans ce cas, le troisième index G" disparaît donc.

140. Images logarithmiques de polynômes. — La méthode précédente se simplifie lorsqu'il s'agit des images logarithmiques

d'équations de la forme

aj = IiICGt| ZÏZ C Q(| Z2Z C 3C I .

Ici, en effet, on a, en se reportant aux notations du numéro précédent

nii = (), fn\ = //i', m* = m', m^ = m"', mj= I, m, = o, mj = o. m| = o.

Par suite, les coefficients angulaires des index C, C, C" se réduisent à m, m', m", les modules /', P à /, et les échelles (c') et (c") coïncident avec V échelle (aa).

Pour déterminer Y, on peut prendre le point de rencontre de Cl" non plus avec Ox^ mais avec Oy, ce qui^ pour {^"), donne encore V échelle («a).

On voit donc que le diagramme se réduit en ce cas au quadrillage logarithmique (a«, ol^) complété par le transparent portant : 1** les index C, C, C"', droites de coefficients angulaires m', m", m'", menées par son origine ; 2® les courbes fondamentales [y], images logarithmiques des équations

a2 = it: aj ± Œj zt: y^j .

Pour avoir V image [c', c", d"\ on place le transparent sur le quadrillage, de façon que les index C et C passent respectivement par les points cotés c' et c" de V échelle (aj) portée sur Oy, et l'on prend parmi les images [y] celle dont la cote est donnée par

y étant la cote du point où lUndex G" coupe la même échelle.

On peut, pour éviter le calcul de y, recourir, comme dans le

cas général, à l'emploi d'une échelle binaire accolée cette fois

En outre, la Remarque terminant le numéro précédent s'applique encore et montre que si l'on ne prend que deux termes dans le second membre de l'équation ci-dessus, on obtient les

diverses images logarithmiques par les translations d'une seule courbe (*)..

Avant d'indiquer quelques exemples d'abaques fondés sur l'emploi des images logarithmiques de polynômes, nous dirons quelques mots de la construction de ces images, d'après M. M ehmke .

Supposons que deux courbes U et V i^fig* 169) soient les images logarithmiques des fonctions

et

c'est-à-dire que, sur l'ordonnée correspondant à l'abscisse a,, on

ait

HK= /logw,

HL = /logP.

Soit, en outre, W l'image logarithmique de la fonction

aj = M -f- i',

de telle sorte que l'on ait

HM = /log(a-f-p).

On a

HM = IXo^v -\- /log / iH \»

HM — HL = LM = / log / I -I- -

(*) Ed supposant bien entendu que les signes des divers termes restent les mêmes. Pour chaque combinaison de signes, il faut avoir recours à une courbe spéciale.

JLil^.

>84 ClAPITftE T.

Supposons construite la courbe représenta lîve des logarithmes d'addition de Gauss, d«ffinie par

= /log/, jr= /log/i— j)

courbe que nous appellerons logarithmique d'addition i •), et qui est représentée sur la fig. 170 par la courbe A lorsqu'on pn-nd / = 2*^".

Fig. 170.

(Jii voit que si t ^= -, l'ordonnée correspondante doit être égale à LM. Or, si ^ a celle valeur, on a

X = L\o^t = /logM — / logp = KL.

Ainsi donc, pour déduire le point M des points K et L, // sujfit (le prendre KL en abscisse de la courbe A sur la Jig. 1 -o; V ordonn('e correspondante est égale à LM.

(') La ninart|iial)lr machine à résoudre les équations algébriques, de M. Torrcs, dont il csl question dans la note au bas de la page 3G6, est fondée en |)arti<* sur une traduction mécanique du mode de liaison défini géométriquement |)ar celte courbe.

S'il s'agissait de construire l'image logarithmique W de

on verrait de même que M'K serait V abscisse de A correspondant à V ordonnée KL. Mais, afin d'éviter toute confusion, il vaut mieux recourir à la courbe logarithmique de soustraction Aé&m^ par

x = /log/, y = /logM— ij

et représentée par S sur Xdijig. 170.

Le segment IM est alors égal à l'ordonnée de la courbe S correspondant à C abscisse KL (*).

Dès lors, pour construire l'image logarithmique de

^ -1- „in' L -,m"

«2 = — 2^1 =t: a, , nous commençons par construire les images logarithmiques de

l de

«2= aj

qui sont précisément les index C et G' , De ces droites, par le procédé qui vient d'être décrit, nous déduisons immédiatement l'image demandée. Cette image, à son tour, jointe à celle de

c'est-à-dire à une droite, permet d'obtenir, toujours par le même procédé, celle de

aj = ±af'dbaî*îd=Ya7"'

141. Principe des abaques à images logarithmiques, — Le principe des abaques à images logarithmiques est le suivant : Soit une équation de la forme

(I) M. E.-A. Brauer a imaginé un curieux appareil dit compas logarithmique, muni de trois pointes en ligne droite telles que si deux de ces pointes sont placées sur les points K et L de la fig. 169, la troisième vient automatiquement se placer au point M. Ce compas est décrit dans le Supplément au Katalog der mathematischer Modelle de M. Walter Dyck (p. 4o).

X6 CSAFfTSC T.

f tX Z0 éUnt de§ poh nomes de U forme indiquée an débat da numéro précédent. Posons

Noos pourrons obtenir les images 1/ et I- de ces polTOomes sur on quadrillage logarithmique par le procédé indiqué au naméro précédent si nous a tous pour cbacnn de ces poljmomes un transparent portant soit le STstème des images fondamentales. s^Q s'agit d'un polrnome â trois termes, soit l'image fondamentale nnique, s'il s'agit d'un poljnome à deux termes.

Le% cole$ %t des verticales du quadrillage p€usanl par les points de rencontre des images 1/ et I^ sont les racines positives de l'équation donnée, dont les racines négatives pourront, s'il est besoin^ s^ obtenir de même en valeur absolue comme racines positives de la transformée en — 5.

Puisque seules les verticales du quadrillage interviennent dans le mode d'emploi de Tabaque, on pourra se dispenser de tracer les horizontales dont les seules cotes devront subsister sur O^ pour permettre, comme on Ta ^'u au numéro précédent, de fixer la position des index ainsi que la valeur de y lorsqu'on a affaire à un polynôme à trois termes. D'ailleurs, comme on pourrait avoir pour les deux polynômes des échelles binaires différentes pour le calcul de v, il vaudra mieu\, en général, se contenter d'effectuer ce petit calcul à part ainsi qu*on Ta dit dans la note au bas de la page 38o.

Nous plaçant donc dans le cas général, nous pourrons décrire comme suit un abaque à images logarithmiques :

IJ abaque se compose : i"* d^ un plan opaque dont les axes Ox et O y portent des échelles logarithmiques de même module et sur lequel on a tracé une série de droites {z) parallèles à Oy et passant par les points de division de l'échelle de Ox; 2** de deux transparents portant respectivement les images logarithniiques [y] et [0] construites comme il a été dit au n^ 140 avec leurs index C, C, C'^ pour l'un, D', D'', U" pour C autre.

Quant au mode d'emploi, il se réduit à ceci : Si les polynômes f et o ont respectivement pour coefficients c'^ (f ^ c'' et rf', ûf', d"^ on place les transparents, dont V orientation est

maintenue constante (*), sur le plan opaque, de façon que les in dex C et CJ' d'une part, D' et D" de l'autre, coupent r échelle di* Oy respectii^ement aux points dont les cotes sont d et d'^ di et d' , Si, dans cette position, les index G"- et D'" coupent la nv&me échelle aux points dont les cotes sont y"' et 8"\ on prend

swr les transparents les images de cotes -m et -kû» Les cotes

de,s verticales passant par les points de rencontre de ces deux i nuages sont les racines z cherchées.

Pour distinguer les rôles joués par les divers index, C et U' d'une part, D' et D" de l'autre pourront être dits des index de position, Cf et D'" des index de résolution.

Nous allons maintenant indiquer quelques exemples de tels aoaques, empruntés également à M. Mehmke.

142. Exemples. — 1" Abaque des équations trinômes de degré quelconque. — Une équation trinôme de degré quelconque peut toujours se

mettre sous la forme

z^ = if: pz'^zh q

ou, en prenant pour inconnue 5'» et posant — = |jl (»),

z\^=di pz± q.

Formons les images logarithmiques des deux membres, suivant ce qui a été dit au numéro précédent.

Pour le premier membre, ce sont les droites fixes C^ passant par l'origine et ayant précisément pour coefficient angulaire (jl.

( > ) Voir la note au bas de la page 879.

(^) Il est à remarquer qu'une telle équation peut, pour une valeur particulière de {JL, être traduite en un abaque à points alignés tels que ceux qui ont été construits pour \i = 2 et \L = 3 aux n®" 79 et 81. Les points (z), pour cette valeur de {X, seront distribués sur une courbe C^^, et Ton voit que, pour une certaine valeur de z, les divers points obtenus en faisant varier \l sont distribués sur une parallèle aux axes Au et bçj attendu que les coordonnées de chaque point (z) sont données par

Si donc z et (1 sont considérés tous deux comme variables, les points (2, {!■) sont donnés par un réseau comprenant les courbes C^^ et des droites {z) parallèles aux axes ku et Bc. Les courbes C, et C, d'un tel abaque, les plus importantes pour la pratique, sont tracées sur la fig. 80.

Cour le second, ce sonl, en prenant toutes les combinaisons de sij uiilt.'!^, les images fondamentales des polynômes (■)

dessinées aur un transparent avec leurs index D' et D' qui, rappo g. aux aies mobiles de ce transparent, ont pour équations, puisque les en ■. ft-

L'abaque avec le transparent est représenté parla ^g. de l'équation

déjà envisagée au n"81.

Fis- '7'-

glu j»

ir

171 dans le X

3n voit que les index D' et D' eoupent l'échelle de 0 j' respeci >L points cotés 1,1 cl (j. Ici il faut prendre, vu les signes, 1'

(')!-« première FI la Iroisicme de ces images sont évidemment les courbes A cl S de la Jig. 770. La seconde est la symétrique de A par rapport à l'indei D' qui leur sert d'asymptote commune. Il est inutile d'envisager l'image de — a — 1. attendu que, si les deux signes du second membre étaient négatifs, l'équation n'aurait pas de racine positive.

de l'image de ^ -h i avec la radiante du plan opaque cotée 3, puisque jjl = 3. On trouve bien

9/ Abaques des équations complètes des degrés 3, 4 €t 5. — Les équations complètes des degrés 3, 4 et 5 peuvent s'écrire respectivement

tA

n =±1 pz-^dz qz-^^

nizzh n = ±1 pz-^ ±1 q z-^^

Iz dz m —àz nz-^±: pz-^dz qz-^.

On reconnaît donc, suivant ce qui a été vu au n** 141, qu'on pourra les représenter en appliquant, sur un plan portant simplement l'échelle logarithmique de Ojy et les parallèles à cet axe menées par les points de l'échelle logarithmique de 0:r, des transparents portant les images logarithmiques

des polynômes

±z =bi,

zt z^ dz z ± Y?

± 5-* =b 3-2 ZÎZ Y -S"',

avec leurs index respectifs. Les images relatives aux polynômes de la première ligne sont celles qui sont tracées sur la fig, 171; celles relatives aux

Fig. 172.

polynômes de la seconde sont représentées par la Jig. 1721. Le mode d'em ploi ne diiïère pas de celui indiqué dans le cas général (n° 141).

390 CHAPITRE YI.