I. — Étude générale des abaques au point de vue

de leur structure (*).

143. But de cette étude. — L'examen des divers procédés particuliers de représentation plane, applicables à des équations entre deux, trois, ou un plus grand nombre de variables, qui viennent d'être décrits dans les Chapitres précédents, conduit nécessairement à se poser cette question : Peut-on déterminer et classer tous les modes possibles de représentation applicables à des équations à n variables?

Nous avons vu au n® 131 comment on peut définir des éléments, points ou courbes, à un nombre quelconque de cotes. Il est donc évident d'abord que, pour engendrer un mode de représentation d'équations à n variables, il faudra associer ensemble des éléments à plusieurs cotes, tels que la somme des nombres de leurs cotes soit égal à n.

Si donc un mode d'association de plusieurs éléments a été déterminé, il suffira de voir de combien de manières difl'érentes n cotes pourront être réparties entre ces éléments pour avoir tous les procédés correspondants valables pour n variables.

On pourra d'ailleurs n'attribuer aucune cote à plusieurs de ces éléments qui seront dits sans cote.

11 v aura là à résoudre un problème de partition sur lequel nous reviendrons.

Occupons-nous d'abord de reconnaître les diverses façons dont

( ' ) Nous avons, pour la première fois, donné ies principes de celle élude dans noire Mémoire O.30.

plusieurs éléments, mobiles au besoin les uns par rapport aux autres, peuvent être associés en vue d'engendrer un mode de représentation.

C'est donc au seul point de vue de leur structure que nous devons tout d'abord envisager les abaques. Une telle élude peut, par une extension de mot toute naturelle, être qualifiée de morphologique.

Convenons, avant toute chose, de quelques notations que nous emploierons uniformément dans la suite de cette étude. Un élément, point ou ligne, dont la nature restera indéterminée sera représentée par la lettre E qu'on fera, s'il y a lieu, suivre entre parenthèses des lettres désignant les cotes y afférentes :

Parfois, si le nombre seul de ces cotes intervient dans une certaine question c'est ce nombre n que nous mettrons dans la parenthèse :

Il arrivera même, lorsqu'il n'en pourra résulter aucune ambiguïté, que nous écrirons simplement (/?), ou même n.

S'il est spécifié qu'un certain élément est une courbe, une droite, ou un point, nous remplacerons la lettre E correspondante par une des lettres C, D ou P; s'il appartient à un système de cercles concentriques ou confondus, ou à un système de droites parallèles ou confondues, nous lui attribuerons la lettre F ou A. La nécessité de considérer à part les éléments de ce genre apparaîtra plus loin (n® 145, Rem. I).

144. La notion de contact. — Lorsqu'un point se trouve sur une courbe, ou lorsque deux courbes sont tangentes entre elles, nous disons qu'il y a contact entre ces éléments.

Pour exprimer qu'il y a contact entre les éléments E et E', nous

emploierons la notation

EmE'.

Il n'est pas nécessaire de réfléchir bien longtemps pour reconnaître que la seule relation précise de position qui puisse être jugée à vue est le contact de deux éléments, dans le sens large où ce mot vient d'être pris.

3g2 CHAPITRE VI.

En effet, les notions de position qui nous sont données par la vue se ramènent aux seules distances angulaires perçues directement par rœil, et, parmi ces distances angulaires, les seules dont Tœil puisse évaluer exactement la grandeur sont celles qui sont nulles.

Donc, tout mode de représentation graphique d'équations à plusieurs variables ne saurait consister qu'en rétablissement ou la constatation de certains contacts entre divers éléments géométriques.

Pour rendre cette idée plus claire, revenons aux exemples les plus simples qui se rencontrent au début de cet Ouvrage :

La représentation d'une équation à deux variables au moyen de deux échelles accolées (n® 9) repose sur le contact des points de l'une des échelles, éléments à une cote, avec les perpendiculaires à la direction de leur support menées par les points de l'autre, également éléments à une cote. La représentation cartésienne au moyen d'une courbe (n" 12), repose sur le contact de cette courbe, élément sans cote, avec le point du quadrillage régulier répondant aux deux variables, élément à deux cotes, etc.

Si l'on n'a recours qu'aux éléments tracés sur un même plan, on voit que les seuls modes de représentation possibles se ramènent à la constatation d'un contact entre les deux éléments dépendant respectivement de /ii et /i2 cotes, ce qui correspond au cas d'une équation à /i| -f- ^2 variables.

C'est ainsi que la juxtaposition de deux échelles binaires (n°H7), par le contact des horizontales à deux cotes de l'une avec les points à deux cotes de l'autre, permet de représenter des équations à quatre variables.

Si l'on a recours, au contraire, à des systèmes tracés sur des plans variables les uns par rapport aux autres (*), leurs positions

(') Il doit être bien entendu que les divers plans variables intervenant dans la question peuvent ne pas se trouver matériellement réalisés dans la construction de l'abaque. Si, par exemple, cet abaque est constitué par un iil tendu sur diverses échelles graduées (points alignés), l'index réalisé par ce fil tendu doit être considéré comme faisant corps avec un plan appliqué sur le premier. Bien que l'on n'ait là qu'une droite variable par rapport à un plan, on doit donc, pour la généralité de l'exposition, considérer cette droite comme appartenant à un plan qui glisse sur le premier.

THÉORIE GÉNÉRALE. DÉTELOPPEMENTS ANALYTIQUES. SqS

respectives devront être définies par certains contacts entre éléments appartenant aux uns et aux autres. Il y aura, en outre, un contact à constater sur le tableau formé par les divers systèmes arrêtés dans la position voulue. La répartition des variables se fera alors entre les éléments intervenant dans ces divers contacts.

Nous appellerons les premiers des contacts de position, le dernier contact de résolution.

C'est ainsi, par exemple, que, dans l'abaque du n® 137, les contacts de l'index i' avec le point |jl', de l'index i" avec le point |jl" et de l'horizontale cotée o du transparent avec le cerclecoté H' sont des contacts de position. Le contact du cercle coté H'' avec l'horizontale cotée e du transparent est le contact de résolution.

145. Abaques à deux plans superposés, — Si deux plans sont simplement superposés, les déplacements de l'un par rapport à l'autre sont à 3 degrés de liberté.

Pour s'en rendre compte, il suffit de rapporter chacun de ces plans TT et Tc' à deux axes rectangulaires O^ et Oy d'une part, O'x' et O' y de l'autre. Le plan tc' sera complètement défini par rapport au plan ir si l'on connaît: i° les coordonnées Xa^ya du point O' rapporté aux axes Oj; et Oy\ 2** l'inclinaison de Vaxe O' x' sur Ox^ ce qui fait bien trois conditions. Lorsqu'on les laisse arbitraires, les déplacements du plan tt' par rapport au plan TT jouissent donc de trois degrés de liberté.

Or, un contact établi entre un élément E appartenant au plan t: et un élément E' appartenant au plan tz' équivaut à une condition simple. Il faut donc établir trois tels contacts pour fixer la position du plan t! par rapport au plan i^ (*). Cette fixité sera par suite définie, avec la notation du numéro précédent, par les contacts de position

EimE;, E,mE',, EsME'a.

(*) Exceptionnellement, on pourra, au lieu d'imposer à un élément E^ l'obligation d'être en contact avec un élément E,- de cote bien déterminée, l'astreindre à être en contact avec deux éléments E,- et E. entre les cotes desquels existera une certaine relation. Nous n'avons rencontré dans cet Ouvrage qu'un seul exemple de cette circonstance, au n** 135, où la droite pivotant autour du point O {fig' i53) a sa position fixée par la condition de rencontrer les échielles E^ et E„ en des points dont la différence des cotes soit égale à i. 7/ est

Sgi CHAPITRE VI.

Les deux plans se trouvant alors dans cette position relative parfaitement déterminée, on n^aura plus qu'à constater un contact entre un élément E^ de Tun des plans et un élément E'^ de l'autre, qui sera le contact de résolution

Le mode d'emploi d'un abaque quelconque comportant un plan mobile se résumera donc, en général, dans la suite de symboles

E,mE',, E,mE'„ EjmE',, e^me;.

Les quatre contacts ainsi dénotés étant simultanés, ou peut évidemment prendre comme contacts de position trois quelconques d'entre eux, le quatrième étant alors le contact de résolution. Mais, en général, sur un même abaque, la même variable étant toujours prise pour inconnue, le contact de résolution est aussi toujours le même, et il sera, de préférence, inscrit le dernier.

Il n'y a, théoriquement au moins, lorsque les divers éléments en présence sont définis géométriquement, aucune difficulté à former le type d'équation correspondant à l'abaque ainsi construit.

Chaque élément E/ du plan fixe a, par rapport à Ox et Oy^ une équation de la forme

où d représente l'ensemble des cotes correspondantes. De même, chaque élément E^ a par rapport à O' x' etO'y' une équation de la forme

ou en passant à 0»r et Oy et désignant par \ [jl et v, les paramètres servant à définir l'un des systèmes de coordonnées par rap-

essentiel de remarquer que ce mode de détermination rentre bien dans le

mode général ci-dessus défini, car les positions de l'élément E/ en contact avec

les élcmenls E, el E , dont les cotes ont entre elles la relation qui vient d'être

dite, ont une certaine enveloppe C'^ en sorte que la condition imposée peut se

traduire par le contact

»1:.hhE/,

bien que l'élément <C. ne figure pas sur le tableau.

THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 3g5

port à l'autre

OU encore

Le contacl entre ces deux éléments s'exprimera par une équation telle que

^i{ky fx,v,(î:/,c;) = o,

et l'élimination de X, a et v entre les quatre équations correspondant de cette manière aux quatre contacts donnera l'équation, entre les cotes des huit éléments en présence, ainsi représentée.

Remarque L — Il y a lieu d'examiner à part le cas où les éléments E'^, Ej et E^ sont des cercles concentriques que nous désignerons alors par la notation F'^, Tj, V\, Ces cercles peuvent d'ailleurs, leur rayon croissant indéfiniment, devenir des droites parallèles A'^, A^, A'^. Enfin cercles V ou droites A' peuvent se confondre entre eux. Nous considérons tous ces cas particuliers comme compris dans le cas général des trois cercles concentriques r^, Fj, F'^, ce que nous allons dire de celui-ci pouvant immédiatement s'étendre à eux et sons une forme encore plus simple.

Si les cercles F'^ et F'^ sont mis en contact respectivement avec les éléments E, et E2, le seul déplacement possible du plan t! est une rotation autour du centre O'. En effet, Ti étant l'élément parallèle à l'élément E, à une distance égale à la différence des rayons des cercles F'^ et F'^ (cercle de rayon égal à cette distance et de centre E| si cet élément se réduit à un point), le cercle F^ sera en contact avec l'élément F|. Par suite, ce cercle F^, en contact à la fois avec les éléments E2 et F| , ne pourra que tourner autour de son centre O', ce qui démontre la proposition.

Or, dans cette rotation, le cercle F'^, concentrique aux deux premiers, tourne aussi sur lui-même, et s'il se trouve tout d'abord en contact avec l'élément E4 il ne cessera pas d'y être pendant toute cette rotation. Le contact E3 m E', devient dès lors superflu et pourra être laissé indéterminé.

, La notation de l'abaque correspondant sera, par suite, si l'on se

sert de guillemets pour indiquer le contact indéterminé,

ou, en attribuant, dans ce cas, au contact de résolution, l'indice 3,

Eimt,, Ejmt;, Ejmt;, » m ».

Remarque II. — La coïncidence de deux, points P et P' ou de deux droites D et D', appartenant à Pun et à l'jautre plans, équivaut à deux contacts, car, dans un cas, on peut considérer que deux lignes se coupant en P' sont en contact avec le point P, dans Pautre, que deux points pris sur D' sont en contact avec la droite D. Pour rappeler qu'une telle coïncidence équivaut à an double contact, nous la désignerons par la notation

PHP' ou D^AD',

Si donc, dans le mode d'emploi d'un abaque intervient une telle coïncidence, sa notation sera

Pi M Pi, EjmEj, EjM Ej,

ou

DiHd;, e,me;, EsmE',.

Remarque III, — 11 se peut que les cotes afférentes à un élément du plan t:! soient prises sur le plan 71, une fois Gxée la position relative de ces deux plans, par exemple, que la courbe C du plan 7:' prenne, une fois ce plan fixé par rapport au plan 7:, la cote ou les cotes d'un point P de ce plan i: par lequel elle passe. Si a, p, . . . sont les cotes du point P, la courbe C sera dénotée

la barre qui surmonte les cotes indiquant qu'elles proviennent du plan antérieur à celui qui contient C

Remarque IV. — Enfin, s'il s'agit d'un point, ce point peut lui-même être formé par la rencontre d'une courbe C du plan 7: avec une courbe C du plan tz' fixé sur le premier. Un tel point sera désigné par la notation

ce

OU, en mettant les cotes en évidence,

146. Abaques à plusieurs plans superposés, — Ce qui vient d'être dit s'étend immédiatement au cas de plusieurs plans superposés. Nous pouvons arbitrairement choisir l'un d'eux tw comme plan fixe. La position d'un second tc' sera alors définie, par rapport au premier, par trois contacts entre éléments correspondants pris sur ces deux plans. Ces plans étapl ainsi rendus solidaires l'un de l'autre, nous représentons leur ensemble par (i^w'), et nous définirons ensuite la position du plan t:!\ par les contacts de trois de ses éléments avec trois éléments appartenant à l'ensemble ('?nt'), c'est-à-dire pouvant indifféremment faire corps avec le plan tz ou avec le plan tc'. De même, trois nouveaux contacts fixeront la position du plan T^" par rapport à l'ensemble (tctt'ii''), et ainsi de suite jusqu'au plan t:^'"^ Ces 3 m contacts de position étant ainsi établis, on constatera l'existence d'un contact de résolution entre un élément pris sur le plan tc^'"^ et un élément appartenant à l'ensemble [tti^t!', . . . , TC^'"-*^].

Chacun des 6/w-f-2 éléments intervenant dans ces 3mH- i contacts étant muni d'un nombre quelconque de cotes, on engendre ainsi V abaque le plus général qu'il soit possible de concevoir.

Avant d'aller plus loin dans cette étude, faisons voir pour plus de clarté comment ce mode général de description des abaques s'applique à quelques-uns de ceux qui ont été précédemment rencontrés.

Prenons en premier lieu les abaques à double alignement (n° 88), et appelons F et \" les deux positions successives de l'index que nous pouvons supposer marquées sur deux plans tc' et T^' superposés au premier. Les contacts définissant la position de l'index V seront en désignant d'une manière générale par P(a/) le point coté a/, et tenant compte de la Remarque I du n® 145,

De même les contacts définissant la position de F seront, en

tenant compte de la Remarque 111, du n® 143, et appelant L la ligne des pivots

Le contact de résolution sera enfin

Sous forme plus condensée, la notation de l'abaque pourra s'écrire

Prenons maintenant Tabaque du n^ 137 :

Désignons par 0| et O2 les points du plan fixe avec lesquels coïncident respectivement les points O' et O" autour desquels tournent les échelles (H') et (H"), par (O'") le trait coté o de l'indicateur transparent, par D le bord de la fègle guide, le long duquel glisse le bord D'" du transparent.

Les trois contacts fixant la position du plan ir' qui porte les

cercles cotés (H') sont, en remplaçant, pour plus de régularité, jjl'

et |jl" par jjl, et [Xa,

0,K0', (fii)^i', ceux du plan tt"

ceux du transparent tî'"

et le contact de résolution est

le trait coté £ du transparent étant afTecté d'un triple accent pour rappeler qu'il appartient au troisième plan mobile 7:"'qui est, dans le cas présent, le transparent.

Prenons enfin l'abaque du n^ 138, sous sa seconde forme, c'està-dire en supposant le réseau (a', p') mobile. Il doit être considéré comme constitué par la superposition de trois plans, le premier t:

comprenant la partie fixe de l'abaque, c'est-à-dire les points (a, p), (a) et (6), le second tu' les points (a', P'), le troisième ir'' l'index UV servant à faire la lecture.

La fixation de la position de tî' par rapport à tt s'effectue en faisant tourner t^ autour de son origine O' qui coïncide avec O de façon à amener le point (a'^') sur l'axe OY, d'où la notation

OKO', OYMi(a',p').

Les points U et V proviennent de la rencontre des bissectrices OU et OV des angles des axes OX et OY avec les parallèles à la direction O' Y' menées par les points (a) et (b). Si nous désignons par Ay les parallèles à O'Y' nous voyons, en nous reportant aux Remarques III et II du numéro précédent, que les points U et V seront dénotés

OU.AV(a)

et