V.AV

Par suite, la notation relative au troisième plan, si l'on y comprend le contact de résolution, sera, en appelant A" l'index placé suivant UV,

OU.AV(a)

147. Types d^abaques correspondant à un nombre donné de variables. — Si dans l'abaque le plus général défini au numéro précédent, on affecte chacun des éléments en contact d'un nombre de cotes, qui d'ailleurs peut être nul, de façon que la somme de tous ces nombres soit égale à /z, on a formé un abaque d'équation à n variables.

La détermination de tous les types d'abaques applicables à des équations à n variables, et constitués au moyen d'un certain nombre m de plans superposés, consiste donc : i® à former toutes les partitions du nombre /i; 2® à distribuer les nombres obtenus au moyen de ces partitions entre les 6/n + 2 éléments intervenant dans les 3m H- i contacts de l'abaque, en ne comptant que pour une les diverses solutions qui peuvent se ramener les unes aux autres par de simples permutations.

U n'y aurait aucun intérêt pratique à développer cette solution

4oO CHAPITRE VI.

dans le cas d'un nombre quelconque de plans superposés et nous nous restreindrons ici aux seuls cas où il n'y a, soit qu'un seul plan, soit que deux plans superposés, et qui embrassent à peu près toutes les applications usuelles. On verra d'ailleurs qu'ainsi liinité le problème présente encore une certaine ampleur.

Dans le cas d'un seul plan, nous l'avons déjà dit, l'usage de l'abaque se borne à la constatation d'un contact entre deux éléments E| et E2. Si donc on a affaire [à n variables, il suffira d'attribuer respectivement à ces éléments n^ et 1X2 variables de telle sorte que

/Ij-h /Ij = /l.

Toutes les solutions de cette partition sont données par le tableau :

où (^ i -) représente la partie entière de — > c'est-à-dire — ou

suivant que n est pair ou impair. Il n'y a pas lieu de prolonger davantage le tableau, car on tomberait sur des solutions qui se ramèneraient aux précédentes par permutation entre E, et E2. Représentant donc par ^Xo]^ le nombre des types d'abaques à un seul plan pour équations à n variables, on a

'■-'id^

Dans le cas de deux plans superposés nous avons trois contacts de position et un contact de résolution, donc huit éléments en présence

E,mE',, E,mE;, E3H.E'3, E4M1E;,

ou, en remplaçant la désignation de chaque élément par le nombre de variables qui lui est attribué à titre de cotes.

THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. f\01

les nombres n< /i'^, . . . , n^ étant tels que

Deux solutions ne sauraient d'ailleurs être considérées comme distinctes lorsque Ton peut passer de l'une à l'autre, soit par permutation entre eux des quatre couples ci-dessus, soit par inversion simultanée de l'ordre des nombres entrant dans chaque couple, ce qui revient à un simple échange l'un en l'autre des deux plans superposés.

En recherchant, sous réserve de cette observation, toutes les décompositions en somme de huit termes (dont plusieurs nuls au besoin) du nombre /i, on obtiendra tous les genres possibles d'abaques à n variables formés par superposition de deux plans (*).

Mais il faut encore remarquer qu'en procédant de la sorte on

retrouvera les tjpes d'abaques à un seul plan déjà envisagés. Parmi

les solutions qui viennent d'être définies il s'en trouvera, en effet,

de la forme

n — p*^Pi oi-<o, oi-<o, o »-• o.

Or trois contacts d'éléments sans cote du plan u' avec des éléments sans cote du plan u rendent invariable la position relative de ces deux plans. Par suite, un abaque possédant une telle notalion est, en réalité, un abaque à un seul plan et devra être supprimé parmi les abaques à deux plans.

La détermination du nombre DT!>^^ des abaques à deux plans pour

(>) Nous ne parlons ici, bien entendu, que des abaques sur lesquels à chaque variable ne correspond qu'une seule graduation. On peut avoir d'autres types d'abaques à /i variables en prenant des abaques à plus de n variables sur lesquels à une même variable correspondent plusieurs graduations. Par exemple, l'abaque du n** 98, bien que représentant une équation à trois variables, /?, A:, ç rentre dans un type d'abaque à quatre variables, la variable 9 donnant lieu à deux échelles distinctes sur cet abaque; l'abaque du n" 132, bien que représentant une équation à quatre variables S, 2^, L et /, rentre dans un type d'abaque à sept variables, chacune des trois dernières variables donnant lieu à deux graduations distinctes sur l'abaque. Ainsi que la remarque en a été faite au n* 97, si une variable donne lieu sur un même abaque à plus d'une graduation, elle ne peut être déterminée comme inconnue sur cet abaque que par tâtonnement.

M. dO. 26

équations à n variables constitue un problème difficile de partition qui a été résolu par le Major P.-A. Mac-Mahon ('). On trouve

Xi - 2, ^\ r-. 5, 2f^l = i6, 0CÎ -= 29, X|--= 64, X? — 1 10,

Remarque /. — La répartition des n variables d'une part entre les systèmes ramiGés qui servent à définir un élément à n cotes (n® 131), de l'autre entre les groupes attachés aux divers éléments en présence, entraîne pour l'équation représentée, qui sera formée dans chaque cas, ainsi qu'on l'a vu au n^ 145, l'existence de certains caractères fonctionnels. Sauf donc pour les cas de Al = 2* et de /? = 3, on ne pourra obtenir d'abaque pour une équation quelconque à n variables. Fort heureusement les types représentables, d'ailleurs extrêmement généraux, comprennent à peu près toutes les équations qui se rencontrent dans la pratique.

Remarque IL — Si l'un des trois contacts de position a lieu entre éléments sans cote, celui-ci peut êlre rendu indéterminé, comme on Ta vu à la Remarque I du n® 145, si l'on prend comme éléments sur le plan li des cercles F' concentriques ou confondus ou des droites A' parallèles ou confondues.

Remarque III. — Pour les raisons exposées au n** 30, un intérêt particulier s'attache aux abaques sur lesquels les seuls éléments cotés sont des points à une cote. On voit immédiatement que les seuls qui soient susceptibles de revêtir cette forme sont

(' ) 5. i\f., t. XWI, p. jG; 1898. Le dénombremenl effectué dans cette Note par M. Mac-Mahon porte à la fois sur les abaques à un seul plan et sur ceux à deux plans superposés, conformément à renoncé que nous avions communiqué au savant algébristc anglais. Les nombres obtenus dans cette solution et que nous avons désignés par ^j*(n) {Ibid. p. 22) doivent donc être diminués de ^A> ou

I, pour donner les nombres JbJ inscrits ci-dessus.

THÉORIE GÉNÉRALE. DÊYELOPPBMBNTS ANALYTIQUES. 4o3

ceux qui ne comportent que des éléments à une cote en contact avec des éléments sans cote.

Nous allons maintenant faire Tapplicalion de ces généralités aux abaques à un ou à deux plans pour équations à deux, trois et quatre variables, qui comprennent la plupart de ceux dont on a à faire un usage courant dans la pratique.

148. Équations à deux variables. — D'une manière générale, nous conviendrons de numéroter les divers tjpes distincts correspondante un nombre /i de variables au moyen de chiffres romain*s pourvus d'un indice inférieur n indiquant le nombre des variables et d'un indice supérieur /?, indiquant le nombre des plans superposés constituant l'abaque (*). Nous écrirons, par exemple, XjJ pour désigner le dixième type des abaques à n variables et à/? plans superposés (2), dont l'ensemble sera lui-même désigné par Xj.

•Rej. — Les types d^abaques à un plan pour équations à deux variables au nombre de 2f(s\=: 2 sont définis, en ce qui concerne la répartition des variables, par

IJ 2 •-• o,