IIJ 2 1^ I

Type I[. — Notation :

E|(ai,a,, a3)H4E2.

Si, dans un abaque du type décrit au n° 15, on accole une échelle binaire à l'un des axes de coordonnées, les points du quadrillage deviennent des points à trois cotes mis en contact avec la courbe C sans cote. On obtient donc bien ainsi un abaque I3.

Type II[. — Notation :

Ei(ai,at)H4E3(a3).

Si l'on suppose que l'élément Ej est un point P et l'élément E3 une courbe C, on obtient

Ce type comprend tous les abaques cartésiens avec (n** 24) ou sans anamorphose (n° 16), le point Pétant alors pris dans un quadrillage. 11 comprend même tous les abaques à anamorphose générale (*) (n°' 46, 47 et 52), le point P étant alors pris dans un réseau quelconque.

C) Il n'y a pas lieu de s'clonner que les abaques à anamorphose rentrent, avec notre classification, dans le môme type que les abaques cartésiens ordinaires, puisque cette classification vise la structure des abaques et non pas la nature géométrique des éléments qui interviennent, nature que fait seule varier l'anamorphose.

4o6 CHAPITRE TI.

C'est ici, pour les équations à plus de deux variables, e seul cas où le rôle joué par les diverses variables, au point de vue de la slruclure de Tabaque, soit permutable d'une manière quelconque. En effet, les trois courbes (a,), (aj) et (aj) se coupant en un même point, on peut indifféremment considérer ce point comme un point (a,, a2) en contact avec la courbe («3), un point (a2, as) en contact avec la courbe («i), ou un point (a3,a,) en contact avec la courbe (aj). Et comme, d'ailleurs, la nature de ces courbes est quelconque, il en résulte, comme on l'a. vu au n" 46, que l'équation représentée est elle-même quelconque.

A partir de n = 4» cette circonstance ne se retrouve plus.

JU'3. — Ces types d'abaques, au nombre de Xj = 5, sont définis

par

I| 9. «-«o Ii-<0 oi^o oi^o

HJ 1^0 oi-< 1 oi-Ho o N< o

HIJ I •-< I I •-< O 0N<0 ONio

IVJ I •-< p I N< O I l-H o 0N<0

VJ li^O IN<0 Oi-<I ON<o

Observons tout d'abord que, conformément à la Remarque II du n^ 147, chacun de ces types d'abaques est susceptible de la variante pour laquelle un des contacts devient indéterminé, les trois éléments de l'un des deux plans qui interviennent dans les autres contacts appartenant à un même système de cercles concentriques r' on de droites parallèles A'.

En outre, conformément à la Remarque III du même n** 147, les types llTiJ, IVj; et V3 peuvent ne comprendre comme éléments cotés que des points, mais alors le type V3 n'est plus susceptible de la variante précédente, attendu que, chacun des deux plans portant nécessairement au moins un système de points, aucun d'eux ne peut être muni uniquement d'un système {Y') ou (A').

Voyons maintenant comment divers procédés passés en revue dans cet Ouvrage pour des équations à trois variables rentrent dans ces types -l:;.

Type /i;. — Notation :

E,(a,,?0«t:'i' E,(aO«E;, E3M1E3, E,^E\,

Désignant par P(^, p) le point de rencontre de l'horizontale {t) et de la radiante (/?) de Vabaquc du /i° 23 (3"), par A(/'), l'hori-

THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. t\0']

zontale (/') et, suivant la convention faite dans la Remarque IV du n** 145, par A(^').F le point de rencontre de cette droite et

de la courbe F, enfin par O' x' et O'y les axes du transparent, nous voyons que cet abaque rentre dans le type I3 lorsqu'on prend

Ej -~ O, E4 r Oj7,

E', ^ oy, e; . oy, k\ . : oy, e; .- x\

La notation de Tabaque peut alors s'écrire ( * ), en tenant compte de la Remarque II du n® 145,

OxtiO'x\ A(/').F Mioy, P(/,/>)«oy.

Type ni, — Notation :

E,(a„P,)H*E'i, E,ME;(a',), E3H.E3, E,^E\,

On obtiendrait un tel abaque en remplaçant, dans le type du n** 14, l'échelle simple de Ox par une échelle binaire. Type III\. — Notation :

E,(a,)ME',(a;), E,(a,)«E;, E, « E'„ E.mE;.

Si les éléments E| sont des courbes G, les éléments E', les points de Taxe O' x'^ les éléments Ej des points P, l'élément E^ l'axe O' x\ enGn, si nous réalisons les deux derniers contacts par la coïncidence des origines O et O', nous obtenons un abaque dont la

notation est

OSO', P(a,)«OV, C(a,)«a:'(a',),

On reconnaît là un abaque polaire (2) (n** 55).

Si les éléments E| sont des courbes 0(0-), les éléments E2 les points y (.3) de l'axe Oy pourvus de cotes z, les éléments E', des droites D'(8) issues de l'origine O', l'élément E'^ l'axe O' x' et si l'on remplace les deux derniers contacts entre éléments sans cote

(') Nous intervertissons l'ordre des contacts pour placer en dernier le contact de résolution et donner les contacts de position dans l'ordre où on les effectue. Cette observation s^applique à tous les exemples particuliers suivants.

(') Pour comparer au type d'abaque décrit au n*> 55 il faut changer <i\ en a,

et «1 en a,.

4oH CHAPITRE Yl.

par la coïncidence entre Oy et O^y, on obtient la partie de V abaque tangentiel de M. Willotte (n** H4), destinée au calcul de c, dont la notation est dès lors

Oj'SOy, y{z)^0'x\ C(a)«D'(e).

Pour la partie de Tabaque faisant connaître e ou a, il n^y a qu^à remplacer la courbe 0(0-) par le point P(e) ou P(X).

Si les élémenls E| et Ea sont des points de Taxe des x portant les deux échelles ^(ai) et j;(a.j), les éléments E, les parallèles A'(a',) à O'y^ l'élément E', Taxe O'^, enfin si les deux derniers contacts sont remplacés par la coïncidence des axes Ox et O* x'^ on a la notation

qui définit les règles à tiroir (*) (n° 133). Type IVl. — Notation :

Si les éléments E|, Ej, E3 sont des points x(a,), ^^(«2), ^(^3) portés sur les trois côtés d'un triangle équilatéral, l'élément E4 le point X. à l'infini dans la direction perpendiculaire à l'axe des x, si enfin, représentant par I', , T^, Ij les trois diagonales d'un hexagone régulier, on prend

on obtient les abaques hexagonaux (u"* 32) dont la notation sera

X««l'j, xiOL^)^\\, r(a2)«rj, z{:l^)^\\.

Si, rendant le dernier contact indéterminé, on prend pour éléments E', , E!j et E3 une même droite A', on a les abaques tangentiels généraux (n"^ 58) dénotés

qui, lorsqu'on prend pour éléments E,, E^, E3 des points, donnent les abaques à points alignés (n** 56).

Les élémenls E,, E^, E., étant des points P,, P2, P», si l'on

(') Pour comparer au n' 133, il faul changer Xj en a^ et a'j en «j.

THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4o9

prend pour élément E^ la courbe G| servant de support aux points P, et que Ton fasse

E\ ^ e; = oy, E'3 ^ o'x', e; ^ o',

on a les abaques à équerre (n**95) qui se dénoteront

C,«0', P,(a,)-Oy, P,(a,)«Oy, ?^{%^)^0'x\

Le cas particulier où les points (a, ) et (a^) sont des points (5) et (0) portés par Oy et O^, et les points (as) des points (<t) portés par Ox, donne la partie àyx projilomètre Siégler (n" 113) destinée à faire connaître <t.

Type V\, — Notation :

E,(a,)«E;, E,(a,)«Ei, 1Ê.,^E\{ol'^), Ev-E',. Pour

E,(a,) ^r(-«), E,(a,) ^ ar(6), E, ^ Oy, E4 -^ O7,

e; ^ oy , e; ^ oy, e; (a; ) e^ p'(e ), e; .^ o',

où P'(£) désignent les points cotés (e), on a la partie du même profilomètre destinée à faire connaître e, et dont la notation est

Or«0', y{z)*^Oy\ :r(e)«Oy, Oy^?\z).

150. Equations à quatre variables : X\, — Ces types d'abaques, aii nombre de ^\ = 3, sont définis par

ill 3«i

ill* 2^2.

Type l\, — Notation :

Si aux axes Ox et 0/d'un abaque cartésien à deux variables (n° 12) on accole respectivement des échelles binaires (a,, pj) et (yi, 3,) chaque point du quadrillage devient un point à quatre cotes et peut être pris comme élément E|, la courbe, qui est sans cote, peut être prise comme élément E^. On a donc bien ainsi un abaque du type I{.

4io

CHAPITIE Tl.

Type II\. — Notation :

E,<a,. 3,, 7, i»^E,«att).

On obllenl un abaque de ce type en prenant un abaque à échelles accolées (n^ 9) et remplaçant Tune d'elles par une échelle ternaire (nM3I).

Type IH\ . — Notation :

Ei(ïi« h)^ Eî<xt» ?t).

Les abaques à échelles binaires accolées (n** 117) rentrent dans ce type; il sufOt, pour le voir, de prendre pour éléments E| les horizontales passant par les points (a, , ^i ) et pour éléments E^ les points (aj, ^a)-

X\, — Ces types d'abaques, au nombre de JGj = i6, sont définis par

Hî

ïv:

vî

viî