C. — Représentation des équations quadratiques au moyen

DE droites et de CERCLES ENTRECROISÉS (*)•

167. Conditions requises, — Une étude commp celle qui vient d'èlre développée, outre qu'elle se compliquerait rapidement, serait sans utilité si elle s'appliquait à des équations d'un type

moins courant que le type (III) du n** 151. Il y a toutefois intérêt à examiner dans quelles conditions certains types d^abaques s'appliquent à des catégories particulières d'équations. Nous allons en donner un exemple en recherchant comment les abaques composés d'un système de cercles et de deux systèmes de droites (n°52) peuvent s'adapter à la représentation des équations quadratiques à trois variables.

Revenant donc à l'avant-dernière équation écrite au n° 52, cherchons comment, en prenant pour les fonctions /, cp, ^ des polynômes du premier et du second degré, nous pourrons arriver à rendre cette équation quadratique, c'est-à-dire du second degré par rapport à l'ensemble des variables ai , 0L2, ol^.

Pour cela, représentons par :

X le degré des polynômes

fi »

On voit que la partie entre crochets de l'équation en question sera du degré 2X, et que le reste du premier membre de cette équation comprendra un polynôme du degré 2[x-f-i^ et un autre du degré X -j- |i. H- ir. Pour que l'équation soit quadratique, il faut donc que l'on ait

2X^2, 2fl-f-7t$2, X -h {X -h vl 2,

vetirne pouvant d'ailleurs être nuls à la fois, puisque alors aa disparaîtrait de l'équation. Ces conditions ne peuvent être réalisées que dans les trois hypothèses

ix = o,