LIVRE VI. — CONTOURS APPARENTS ET LIGNES D'OMBRE

Considérons sur la ligure ‘201 la courbe à nœud A qui est la section d une surface à courbures opposées par son plan langent en un point M. Si des rayons de lumière sont parallèles au plan de la section, l’un deux S'm passera par le point M qui, par suite, appartiendra à la courbe de l'ombre propre, tandis que le point m sera sur celle de l’ombre portée. Cette dernière touchera la courbe à noeud A au point m, parce que le plan tangent au cylindre d'ombre le long de la génératrice Mm étant tangent à la surface en M, les courbes ont l'une et l'autre pour tangente l’intersection des plans tangents en M et en m.

•SS. Si les rayons de lumière cliaugcnt de direction et deviennent parallèles à la droite MS tangente en M à la courbe à nœud A, le point m viendra sc confondre avec M ; le rayon de lumière aura donc un contact du second ordre avec la surface, et sera, par suite, tangent à la courbe de l’ombre propre (art. 271). Mais la courbe d'intersection se sera transportée en restant toujours tangente à la courbe à nœud ; elle se trouvera donc ainsi tangente à la courbe de l'ombre propre, quand le point m sera venu en M.

Les lignes CMi'C,, IMü,!, sont les courbes de contact et d'intersection du cylindre circonscrit avec la surface, quand les génératrices sont parallèles à MS.

• 84 . Avant d'aller plus loin, uous devons dire que pour ne pas présenter des lignes tracées au hasard, nous avons voulu que les différentes courbes appartinssent à une surface ayant uue généraliou déterminée. En conséquence, après avoir tracé une ligne plane B, nous avons supposé qu'un demi-cercle de rayon variable se transportait de manière que son diamètre toujours parallèle à XX’ eût ses extrémités sur cette courbe directrice. Le plan du cercle restait d’ailleurs constamment perpendiculaire à celui de la ligure. M est le point lu plus élevé du cercle du plus petit rayon.

Les raisonnements que nous présentons sont du reste applicables à toute surface à courbures opposées.

• HA. Les points des courbe» de contact et de section se correspondent deux à deux sur les rayous de lumière. Ces points sont réels sur le rayon Nn qui touche la surface en N et la rencontre en n ; ils sont virtuels sur la ligne Cl qui touche la surlace en C et la coupc eu 1. Ils se trouvent toujours ainsi