CHAPITRE. 11. — LIGNES D'OMBRE
réels ensemble, et virtuels ensemble. Ces points se confondent en M, mais, d'après ce que nous avons vu (art. 271), le point M est la limite de la partie réelle de l’ombre propre : il est donc aussi la limite de la partie réelle de l'ombre portée. A l'arc réel C,NM de la courbe de l'ombre propre, succède tangeutiellement l'arc réel Mm de la courbe de l’ombre portée.
La courbe d’ombre propre présente une autre branche C'C',, mais elle ne peut être tangente à aucun rayon de lumière, parce que dans cette partit; la surface est convexe.
SMI. Une génératrice du cylindre d’ombre telle que Nn perce la surface en deux points n et m, : jusqu'à présent nous n’avons considéré que le premier. Si nous supposons que cette génératrice se transporte sur le cylindre, elle arrivera généralement dans une position i'i où les deux points n et n, se confondront en un seul i qui sera nécessairement sur une branche de la courbe de contact, car la génératrice du cylindre, déjà tangente en i', se trouvera évidemment l'ètre une seconde fois en i. La ligue d'ombre propre iC' succédera alors à la ligne d’ombre portée Mi, mais la reuconlrc ne sera pas taugenlielle comme en M .
La génératrice ii' est l'intersection du cylindre circonscrit complet, avec lui-méme. Si l'on reçoit l'ombre du corps sur un plan, le périmètre sera formé par les intersections du plan avec les parties du cylindre circouscril qui ont pour directrices C’i et i'C,, et ces deux parties formeront généralement un angle brusque. On voit donc qu'un corps peut projeter une ombre anguleuse, même quaud la surface est lisse et continue.
Considérons la droite C',l’ qui touche la surface en C', et la coupe en I' et en I' ( ; si elle s'élève en restant toujours tangente en un point de C',C’, elle arrivera dans une position où les |>oints T etl', se confondront; la génératrice sera alors bitangenle, et par suite ce sera la droite ii' que nous avons déjà examinée, et qui se trouve tangente en i'à la seconde branche de la courbe d’intersection.
Nous allons voir sur un tore l'application de ces principes, mais nous avons désiré les exposer d’une manière générale. 11 est d'ailleurs difficile d'adopter pour un tore des proportions qui permettent de représenter les différentes courbes d’une manière tout à fait distincte.
