CHAPITRE II. — VOÛTES. — PONT BIAIS. — P

relatif à fi, on trouve un point A' qui ne peut pas être placé sur la ligne d’horizon du tableau (fig. 107).

ï J. Nous plaçons la base AB du tableau (fig. 112), et au-dessus d’elle la ligne d’horizon H' fl, à une hauteur triple de la longueur «>,0,' (fig. 105). Nous relevons sur cette droite les points F/.P'etF,' en F„ P et F,.

Nous traçons la droite H,C, (fig. 111), la verticale du point C qui est l’échelle des hauteurs, et la verticale de C,; nous déterminons le point I sur le prolongement de l’horizontale AB, et nous le joignons au point II de la ligne d horizon.

Nous prenons sur H 1 (fig. 108), une longueur Hc, triple de Hc, et nous élevons la verticale c, s. Les hauteurs déterminées sur cette ligne par les divergentes sont triples de leur grandeur à l’échelle des figures géométrales, et, par suite, telles quelles doivent être sur la verticale du point C, (fig. 111). Portant donc sur cette ligne, à partir de I, les hauteurs relevées sur c, s (fig. 108), et joignant ces points à H, nous avons toutes nos horizontales échelonnées. Celte construction nous donne plus de précision que si nous avions porté sur l’échelle CZ les hauteurs prises sur les figures géométrales 105 et 106.

Ï8. Les tracés sont maintenant faciles. On relève le point j' en j à la hauteur deV (fig. 111), qui est celle du terrain naturel dans le plan du tableau; on trace jj, et on rapporte sur cette ligne 3' et 9’ en 3” et 9". La droite 4". 5*. 7". 8* est au-dessous de la précédente du triple de la grandeur 3. 4 (fig. 106), car ces lignes sont dans le plan du tableau. On opère de la meme manière pour la ligne 5 W . V.

Nous joignons 3" et 9’ aux points de fuite F, et F*.

Pour avoir le point de fuite F, des lignes inclinées du chemin, nous menons parle point O, (fig. 104) une droite O, f, parallèle à ces lignes considérées sur la figure 106. La distance pf, doit être triplée, et portée ensuite de P en F, (fig. 112).

Les points 4', 5’, T, T et 8’ doivent être joints à F,. Les rencontres

«les lignes donnent les points >. et [± où commencent les talus des déblais. En deçà les trottoirs sont horizontaux, et leurs lignes divergent du point principal.

Les courbes sont construites par points. Les contours apparents des cônes sont des droites tangentes uux courbes.

On place directement les rails sur la ligure 1 12, en partageant la largeur du chemin de 1er mesurée dans une direction quelconque, comme elle l’est sur le plan (lig. 10-4). Cette division en parties proportionnelles est représentée à la gauche de la ligure 112 (Voir l'article 17).

Vie front d'une d'trftM.

(PUnche 18, figure* 113, 11* et lis.)

5». Une voûte d’arêtes est formée par la rencontre de deux berceaux qui ont même plan de naissance et même montée. Quand les berceaux sont droits, on donne toujours aux intrados des formes telles que chaque arête se trouve située dans un plan vertical.

Les points principaux de fuite et de distance réduites sont indiqués sur la ligne d'horizon (fig. 1 1 1).

Les données sont : 1° l’horizontale de front A, B, trace sur le sol du plan du parement des premiers piliers ; 2’ les points /, e et k qui déterminent la position et la largeur des piliers et des berceaux perpendiculaires au tableau ; 3° la hauteur ce, des piliers dans le plan de front de A, B, ; 4“ la courbe cfik, trace do l'intrados sur le même plan. Cette ligne est un demi-cercle; elle pourrait avoir toute autre forme sans que la construction fût modifiée.

Nous devons connaître eu outre l'épaisseur du pilier et la largeur du berceau parallèle au tableau. Ces graudeurs mesurées à l’échelle

CTIAP. H. — VOUTES. — VTJE DE FRONT D’UNE VOUTE D’ÀRÊTES. — r. 18. 59 du plan de front de A,B„ et réduites dans le mémo rapport que la distance, c'est-à-dire à moitié, sont portées sur A, B, en cl et IJ.

I,a forme de l'intrados du deuxième berceau est déterminée par la condition déjà indiquée, que les projections horizontales des arêtes soient des lignes droites.

MO. I.a perspective des piliers ne pouvant présenter aucune difficulté, nous nous occuperons immédiatement des voûtes.

Les projections des arêtes sont les droites c'k’, c"k',

Pour avoir les points situés sur une génératrice PM, nous projetons M en M 4 sur le géomélral, nous traçons la projection PM, de la génératrice, et nous relevons en m, ni, m w ... les points m„ m\, tu’,..., où celte droite rencontre les projections des arêtes.

Ou peut déterminer les hauteurs par une construction placée hors du cadre du tableau. Cette disposition est surtout convenable pour les génératrices qui, telles cpie PN, seraient coupées très-obliquement par les projetantes.

Joignons un point quelconque F de la ligne d'horizon A B, et A M, (fig. 115) : les droites FB„ FM, représentent deux horizontales situées dans un même plan vertical, l’une sur le sol, l’autre à la hauteur de la génératrice considérée. On ramène le point ri t en puis en n,' sur FM„ et enfin en n' sur PN.

On relève les points s et » où les arêtes se croisent, des points s, et s’„ soit directement, soit par l'intermédiaire de la figure 1 15, A l’aide de la ligne FS,.

81 . Traçons la droite. TE tangente en M à la courbe d’intrados c,S, et joignons TP. Les tangentes des arêtes aux points m', ni ", n' et ii passeront par le point t où la ligne TP rencontre la verticale du point s.

Ces tangentes, en effet, rencontrent nécessairement la verticale du points, et elles ne peuvent le faire que sur la ligne TP, intersection du plan vertical qui contient la génératrice SP, par les plans tangents au cylindre d’intrados le long des génératrices PM et PN.

On peut obtenir le point t en ramenant s t en * „ puis en t, (fig. 115).

En employant la verticale du sommet .1 on a cet avantage qu'une seule opération détermine quatre tangentes, mais on peut se servir de toute autre verticale située dans le plan de la courbe considérée. Nous avons indiqué la construction par les arêtes prolongées des piedsdroits. On joint à P le point E de la tangente MT ; les points d intersection E, e', e"... appartiennent aux tangentes des points m, ni, m"...

Ce tracé doit être préféré pour les points voisius des naissances, parce que le point T serait trop élevé.

Les tangentes au sommet s sont horizontales; elles ont, par conséquent, les mêmes points de fuite que leurs projections ck\ c'k'. L un de ces points est en G ; il donne immédiatement la tangente sG. S’il avait été éloigné, on eût relevé le point z t en 1 sur FS„ ou le point V, en V sur la ligne VS trace, sur le plan de front de A, B„ du plan tangent au cylindre le long de la génératrice PS.

On peut déterminer la tangente de la seconde arête au point s, en prenant SV, égal à SV.

En général, pour tracer une arête c',k’„ il suffira de déterminer le sommet s, deux points m' et n\ et les tangentes. On a d'ailleurs les naissances et on sait que les tangentes y sont verticales.

Les opérations sont les mêmes pour les voûtes voisines, mais on peut se dispenser de tracer une nouvelle courbe d’intrados et ses tangentes.

Menons la verticale xy au milieu de la largeur k,q„ prenons xR égal à Mx et traçons PR : il suffira de rapporter sur cette ligne n„ n „ n", en r, r, r ” par des parallèles à la ligne d'horizon.

Le point Opiacé symétriquement à S, par rapport à xij, fera connaître les sommets t> et v.

La figure auxiliaire 115 permet d'établir simultanément le tracé de toutes les voûtes.

«*. Dans cette épure, nous avons opéré sur le plan de front de

C11AP. II. — VOÛTES. — VUE DE FRONT D’UNE VOUTE D’ ARÊTES. - P. 18. 61 À,B„ exactement comme si c’était le plan du tableau. Cette manière de procéder est fréquente en Perspective. En réalité le plan du tableau n a pas de position déterminée ; nous pouvons supposer que ce soit le plan de A, B, et qu’on représente une partie du sol situé en deçà.

Sur quelque plan de front que l’on opère, les points de distance sont toujours les mêmes, car 1a distance de l'œil au tableau est égale à sa distance à un plan de front quelconque, réduite à l’échelle de ce plan. Les proportionnalités indiquées par la figure 4 rendent cette proposition évidente.

SS. Nous allons maintenant nous occuper de la détermination des points les plus élevés des perspectives des arêtes. Nous examinerons d'abord cette question sur la figure 113, qui comprend la projection d’une voûte d’arêtes sur le plan d'horizon, et deux élévations sur des plans perpendiculaires aux cylindres d’intrados. La droite ab est la trace du tableau.

Les traces d'un plan passant par l’œil O, et tangent au cylindre transversal B, seront : sur l’horizon la droite OO” parallèle au cylindre et au tableau, sur l'élévation de gauche 0"fe, et sur le tableau l'horizoutale projetée en I. Cette droite est la perspective de toutes les lignes du plan, et notamment de la tangente de l'arête c’k' au point i. On voit que le point test celui que nous cherchons, puisque la tangente de l’arête en ce point devient horizontale en perspective.

84 . II faut maintenant faire sur le tableau les constructions que nous venons d’indiquer.

Les diverses lignes qui sont dans le plan d’horizon ayant leur perspective sur la ligne d’horizon, nous sommes obligé, pour les rendre distinctes, de les projeter sur un plan horizontal, et nous choisissons naturellement celui de la ligne A, B, (fig. 114). La perspective du point O' {fig. 113), situé dans le plan de front de l’œil, est à 1 infini sur ck' (fig. 114). La perpendiculaire au tableau LO' (fig. 113) est donc représentée par la ligne PL' (fig. 114) parallèle à C'A'. Prenons son inter-

section L' avec A, li, trace du plan de front du la courbe e,SA„ et relevons L' en L dans sa position naturelle sur la ligne d’horizon : la tangente La fera connaître la génératrice Pi.

On détermine le point isur la ligne Pa par le procédé ordinaire.

La parallèle à la ligne d horizon menée par le point i serait le contour apparent du cylindre transversal, s’il se présentait en relief au

spectateur. Cette droite touche les perspectives de toutes les courbes

tracées sur l'intrados.

Si le point V avait été éloigné, nous aurions pris l’intersection de PL' avec la trace d'un autre plan de front dans lequel nous aurions construit la courbe d’intrados. On peut opérer sur le plan du demicercle c'k' qui est tout tracé. Le point l' relevé en l fait connaître le point d de la génératrice Tu.

Vue oblique «l'une voûte «Tarâtes.

(Planche 19.)

85. Après les épures que nous avons expliquées, celle que nous présentons ne peut offrir aucune difficulté, bien que nous ayons fait des tracés plus complets qu’il ne serait nécessaire dans la pratique, parce que nous avons voulu montrer les relations graphiques qui existent entre les différentes courbes, et qui permettent de faire rapidement le dessin, quelle que soit la position de lu voûte par rapport au tableau.

La voûte est barlongue. Nous avons supposé que les dimensions horizontales des piliers sont proportionnelles aux ouvertures des berceaux; en d’autres termes, que les projections horizontales des arêtes des différentes voûtes sont sur les mêmes droites prolongées.