THEORIE

perspectives, fio, f'i'o', des axes principaux des cercles. | Nous avons à ce moment la perspective des masses; il faut

maintenant entrer dans le détail des cannelures en considérant comme exactes les perspectives des carrés circonscrits A a, A! a .

Supposons qu’il y ait à établir 20 cannelures comme aux colonnes du Parthénon :

( b ) Echelle circulaire spéciale. — Nous emploierons encore à cet effet une échelle divergente, établie comme suit.

1° Construisons (fig. 263) en épure, un cercle, ou plutôt un demi-cercle, ce qui suffira, à cause de la symétrie, et figurons sur ce cercle les cannelures que nous voulons W,

1,2 1,2 Remarquer qu’il ne faut pas d’arète de

cannelures dans les axes.

2° Projetons les points de division du cercle ainsi divisé

en A, W, 1, 2 sur le diamètre AA, et construisons

une échelle divergente, de sommet S, sur cette division, en ayant soin d’y marquer aussi la ligne jSI, que nous avons nommée plus haut (v.n° 175) le repère milieu, et qui répond au milieu de AA ;

(c) Perspective des cannelures . — 1° Sur une bande de papier N° 1 (Tableau), relevons les trois points Ai A sur un des côtés du carré ;

2° Par tâtonnements, inscrivons sur l’échelle (Position n° 1') la bande de papier de manière que les trois repères, savoir les repères des extrémités A, A et celui du milieu I soient sur les lignes correspondantes ;

3° Marquons en W, 1, 2 les points de division et re-

portons cette division en AWI. ... du tableau ;

4° Faisons la même opération pour tous les côtés des carrés circonscrits et en joignant les points qui sont en face les uns des autres nous aurons un réseau dans lequel on retrouvera facilement les points cherchés.

Fig. 2G3

PERSPECTIVE DES CERCLES HORIZONTAUX

(d) Nota. — Dans la pratique on se garde bien de surcharger ainsi le dessin. Lorsque l’on a le carré circonscrit en perspective, on trace très légèrement au crayon et de sentiment, l’ellipse perspective du cercle; elle est inexacte, bien entendu, et sera effacée plus tard ; mais on ne trace les lignes du réseau qu’aux environs de cette courbe, ce qui dégage beaucoup le dessin.

193. Perspective d’une série de cercles concentriques. — Emploi d’échelles divergentes.

(a) Données. — Le problème se présentera souvent de la

Fig. 264

manière suivante (üg. 264). On a en AAAA une ellipse, perspective d’un cercle horizontal. Cette perspective a été obtenue par un procédé quelconque, soit que l’on dessine d’après nature, soit que l’on ait employé les méthodes exactes. On voudrait, maintenant, tracer directement, sans être obligé de revenir à l’épure, d’autres ellipses, perspectives de cercles concentriques au premier ; on sait seulement que les rayons IV, R"... de ces nouveaux cercles sont dans un rapport donné avec le rayon R du cercle déjà tracé.

(b) Restitution perspective du centre. — On mène deux tangentes de front mn-m'n' . On détermine les points de contact AA. On les joint par une droite qui, prolongée, donne en P, sur la ligne d’horizon, le point de fuite principale. — Du point P on mène deux tangentes à l’ellipse, ce qui détermine en mnm'n', la perspective du carré circonscrit. On en mène les diagonales qui se recoupent en un point I qui est la perspective du centre.

(c) Nota. — On voit que cette construction permet de restituer non seulement le centre du cercle mais encore, en P, le point principal. La diagonale m'n prolongée jusqu’à l’horizon restituerait le point principal de distance. Ce point sera presque toujours inaccessible. — Mais, si l’on prenait le tiers ou le quart de An, en y joignant le centre I, on aurait une ligne de resection 4/3 ou 1/4, qui donnerait le point tiers, ou quart de distance, probablement accessible.

Nous consacrerons plus loin un chapitre spécial aux problèmes des restitutions perspectives.

[d) Construction d’une échelle divergente spéciale. — Prenant 3 longueurs IA-IB-IC qui soient entre elles comme les rayons R, R' et R", on construira une échelle divergente sur ces lignes comme base (fig. 265).

Fig. 265

Les 3 lignes de repère de cette échelle sont SA, Si et SA'.

(. e ) Mise en place directe des points des cercles R' et R".

— On mènera (Tableau) un rayon quelconque ala'. — Sur une bande de papier Z on piquera les trois points de repère, savoir : a et a' pris sur le cercle donné en perspective et 1 pris au centre. On reportera la bande de papier en Z' sur l'échelle en la repérant par les points a , i et a' sur les droites A, I et A' de l’échelle. On y marquera les autres points c, b, b' et c' et, reportant l’échelle sur le tableau, on aura en c, b, b' et c' des points des cercles concentriques demandés.

On recommencera cette opération plusieurs fois et on joindra par des courbes continues, qui seront ordinairement des ellipses, mais qui (voir plus loin n° 196 ) pourraient être des hyperboles ou des paraboles, les points qui répondent à un même cercle.

(f) Remarque. — Cet exemple est de nature à faire com prendre ce qui doit guider le perspecteur dans l’application des méthodes de perspective directe. On voit comment, après avoir accepté comme exacte la perspective d’un premier cercle, on en déduit celle d’autres cercles, sans avoir recours à l’épure. On pourrait croire préférable, au point de vue de l’exactitude, de revenir à l’épure et d’établir avec autant de précision que possible les autres cercles sans s’occuper du premier. Ce serait mauvais au point de vue du dessin. En effet, il faut admettre que le premier cercle présente quelques fautes, et si l’on dessinait les autres avec une précision absolue les erreurs seraient beaucoup plus choquantes que si, admettant, comme nous l’avons fait, le premier cercle comme bien mis en place, nous en déduisons, point par point, ceux qui lui sont concentriques.

APPLICATIONS

Applications

194. Plan d’un escalier circulaire. (Exercice donné à l’Ecole des Ponts et Chaussées, cours préparatoires).

Fig. .266

(a) Données. — La figure 266 donne le plan géométral de l’escalier à une échelle quelconque figurée sur le croquis. Le

cadre de la feuille est indiqué en M, M, M On s’impose

l’obligation de ne pas sortir sensiblement de ses limites. —

Avec l’aide du chercheur on a pris en XY la position du tableau et on a tracé en YA' et XZ les côtés de l’angle optique, en ayant soin, si l’on veut que le point principal P tombe au milieu du tableau, de prendre égaux entre eux les angles faits en X et Y par les côtés de l’angle optique et par la base du tableau. D’ailleurs, l’emploi du chercheur gradué (n° 172) conduit toujours à ce résultat.

L’horizon est supposé placé à 3 mètres de hauteur.

(b) Préparation de l'épure. — On voit de suite que les côtés, prolongés, de l’angle optique, se rencontreraient hors de la feuille. Nous avons déjà indiqué (n° 173) une manière de lever la difficulté par un retournement de l’œil. Nous allons donner une autre méthode dite: par réduction de l’œil.

On a pris en Xy' le quart de XY. Par y' on a mené une parallèle à YA' et on a obtenu un point O' que l’on nomme l'œil réduit. Il est évident que Xy'O' est une réduction, au quart, des côtés de l’angle optique.

On abaisse O'P' perpendiculaire sur XY et on a en O'P' le quart de la distance principale. On voit que O' tient à très peu près dans la feuille. — S’il n’avait pas tenu on aurait fait une réduction au cinquième ou au sixième.

(c) Dominantes. — Cela posé : prenons comme dominantes les lignes telles que AD, parallèles à l’axe du dessin. Employons donc la méthode des points accidentels de fuite ; elle est applicable ici parce que la vue prise étant très peu oblique le point de fuite F (on a XF = 4 fois X/’) des dominantes tombe très peu en dehors du tableau.

De l’œil réduit O', menons O ’f parallèle aux dominantes et portant XF égal à quatre fois Xf, nous avons en F le point de fuite des dominantes, le même que si nous avions eu à notre disposition l’œil non réduit et que nous ayons mené par lui une parallèle aux dominantes.

La distance accidentelle 3, sera égale à 4 fois O’f.

Cela posé : on ne va mettre en perspective, par la méthode générale, que les lignes DD'-CC'-BB' (tangente au plus petit cercle), AA' (tangente au plus grand cercle) et les dominantes numérotées 1, II, 111, IV et V. Tous les détails, cercles, marches, balustrades s’obtiendront ensuite par

perspective directe.

( d ) Mise en place du tableau (fig. 268). — On voit en hh' xy le petit tableau : La hauteur d’horizon a été prise égale à 3 mètres mesurés sur l’échelle de l’épure En F on a reporté le point de fuite des dominantes (F h du tableau = FX de l’épure). On a joint Fer — Fy et on a pris le grand tableau XY aussi grand que le permettait la feuille ou la toile. Ici le grand tableau est environ les 81/46 du petit tableau. — Le rapport d’amplification est donc très compliqué. On a

PERSPECTIVE DES CERCLES HORIZONTAUX

porté, sur l’horizon, la longueur Fo égal à 4 fois O'f de l’épure, et 3, qui serait le point de distance vraie pour le petit tableau, est devenu le pointdedistance réduit de la direction

F pour le grand tableau. En réalité c’est le point 46/81 de distance.

( e)Mise en largeur. — On a reporté, sur l’échelle des lar-

geurs xy, les points 1, II, III, IV, V pris sur le bord du tableau XY dans l’épure. On a mené les dominantes FI, FU, etc

(f) Mise en profondeur. — Afin de ne pas sortir du cadre on a mis en profondeur les points situés sur les dominantes II et IV. On voit en Z' et Z" sur le tableau la position des bandes de papier qui ont servi pour cela. — Il est inutile d’insister, la méthode ayant été exposée en détail dans un chapitre précédent.

A ce moment nous n’avons encore obtenu (tableau) que les perspectives DD', CC', AA', du demi-carré circonscrit au plus grand cercle, et que cb, c'b' , perspective du demicarré circonscrit au plus petit cercle. Tout le reste va s’obtenir par les procédés de la perspective directe.

On commencera par compléter en A'A" en se servant des diagonales, la perspective entière du carré, afin d’avoir, tout à l’heure, pour repères sur les côtés du carré les 3 points A, C et A,, car on sait que pour employer les échelles divergentes il faut trois points de repère.

(g) Mise en place des marches. — De chaque côté de l’axe il y aurait 7 marches; l’espace des deux premières est occupé par le palier, soit 4 marches pour sa totalité.

On construira donc (fig. 267) une échelle circulaire, répondant à la division du demi-cercle en 14 parties égales et se

servant de 1 échelle et de la bande de papier comme on sait, on obtiendra (tableau) en 1, 2, 3, 4 .... les extrémités des marches sur la grande circonférence et par suite cette grande circonférence elle-même. On obtient de même les extrémités situées sur la petite circonférence.

Echelle pour les balustrades (Fig. 269).

( h ) Balustrade et marches placées en avant (R, Q, P ).

On relève sur l’épure (fig. 266) les points I, M, N, S, P, Q et It, parmi lesquels les 3 points I, M et P serviront de repères.

On construit (fig. 269) une échelle sur cette division et s’en servant comme nous avons dit au paragraphe précédent et comme l’indique la bande de papier placée en Z'"