III. — Compléments

196. Cas particuliers de la perspective d’un cercle horizontal. — Ellipse, hyperbole ou parabole.

(a) Propriétés du plan neutre. — Le croquis perspectif de la figure 272 montre en T la position du tableau, en O celle du point de vue.

Nous avons^nommé plan neutre , le plan S qui est mené

par l’œil parallèlement au tableau, et ligne neutre, LQ, son intersection avec le géométral.

Il est facile de voir qu’un point quelconque M, ou N du plan neutre a sa perspective sur le tableau reculée à l’infini, car le rayon visuel OM, du point M, étant parallèle au tableau, rencontre ce dernier à l’inûni.

Fig. 272

Par conséquent, dans un tableau, si deux droites, que nous saurons être dans un même plan, ont pour perspectives deux lignes parallèles, loin d’en conclure qu’elles sont parallèles en réalité dans l’espace, nous pouvons affirmer, au contraire, qu’elles se rencontrent dans le plan neutre.

Il n’y aurait d’exception que si les deux droites étaient de front. Dans ce cas le parallélisme se conserve en perspective.

Cela posé: un cercle peut avoir pour perspective, une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

(a) Perspective elliptique. ■ — U ellipse est une courbe fermée qui n’a pas de branches infinies. Pour que la perspective d’un cercle donne une ellipse il faut donc qu’aucun des points du cercle ne soit dans le plan neutre; c’est le cas du cercle GF(fig. 272).

(b) Nota. — Une partie du cercle, telle que F, peut être située dans la région intermédiaire, c’est-à-dire comprise entre le tableau et le plan neutre, sans que la perspective cesse d’être une ellipse. Ce sera une portion d’ellipse au lieu d’être une ellipse complète.

(c) Perspective hyperbolique. — L’ hyperbole présente des branches infinies avec des asymptotes; ces dernières sont des tangentes aux points situés à l’infini.

Pour que la perspective d’un cercle donne une hyperbole, il fautdoncque le cercle occupe une position analogue à CMN, c’est-à-dire qu’il rencontre le plan neutre en deux points M et N. Ces points M et N se nommeront les points neutres du cercle et se perpectiveront à l’infini sur le tableau.

(d) Asymptotes. — Menons des tangentes en M et N aux

COMPLEMENTS

points neutres; soient MI et NI ces tangentes ; mettons-les en perspective et nous aurons les tangentes à l’infini, c’està-dire les asymptotes. Les points G et H, où elles rencontrent le tableau, sont à eux-mêmes leur perspective; joignons OM et ON, les perspectives seront l’H et IG parallèles à OM et à ON.

(e) Perspective parabolique. — Si le cercle occupe la position EK, c’est-à-dire s’il est tangent au plan neutre, en K, par exemple, ce point K se perspectivera aussi à l’infini comme les points M et N; mais la tangente au cercle LQ étant dans le plan neutre, se perspective tout entière à l’infini, ce qui veut dire qu’elle n’existe plus. Donc, dans ce cas, la perspective sera une courbe à branche infinie, mais sans asymptote; ce sera donc une parabole.