Trouver la vraie figure d’un triangle

(a) Données. — Nous supposons tous les points de fuite accessibles pour faciliter les constructions.

Soient (fig. 327) 3 points A a — B b — Ce définissant un

Fig. 327.

triangle qu’il s’agit d’amener de front afin de l’avoir en vraie figure.

(b) Changement de géométral. — Je mène la ligne de front am — AM du plan de ce triangle, et je choisis une nouvelle ligne de terre x^ji perpendiculaire sur AM. Je prends alors æjî/i pour ligne de terre d’un nouveau géométral qui sera perpendiculaire sur le plan du triangle ABC.

Sa ligne d’horizon nouvelle est /qP/fi passant par P et parallèle à Xiiji. — L’intersection des deux géométraux est Vxi et les nouvelles projections géométrales de A, B, C sont aibiCi obtenues comme ci-dessus (1).

(I) Par un effet de hasard sur le tableau (fig. 327), le point C se confond avec sa projection Ci sur le nouveau géométral.

Comme vérification, je remarque que les trois points at,b^ et c, doivent être en ligne droite, puisque le plan ABC du triangle est maintenant perpendiculaire au nouveau géomélral.

Alors le plan du triangle occupe par rapport au nouveau géométral la position d’un mur.

Prolongeons b{Ci jusqu'en f, sur la nouvelle ligne d’horizon, nous aurons le point de fuite de cette ligne.

Cela fait : pour mieux lire l’épure, retournons notre papier et plaçons Xiyt horizontale ; nous sommes alors ramenés au cas du n° 231 : « Amener un plan vertical à être de front ». On achève comme suit :

(c) Mise de front. — On rabat l’œil en O'. Avec fO1 (qu’il est inutile de tracer) pour rayon, on décrit l’arc de cercle O'S' qui donne en 8' le point de distance de la direction /.

C’est en ce point que viendront fuir toutes les cordes des arcs de la rotation que nous allons faire subir au triangle autour de CCi comme charnière. Faisons cette mise de front.

Le point CCi ne bouge pas comme étant sur la charnière.

Les points a, et b\ viennent, sur la ligne de front c,b^ à la rencontre, en a2 et bo, de cette ligne avec les fuyantes a, 8' et bi 8' qui sont les cordes des arcs de rotation.

Les points A et B de l’espace viennent, d’une part, sur les perpendiculaires alAl et 6, B, au nouveau géométral et d’autre part, sur les cordes d’arc AArBBi fuyant au point 8'.

On aura donc en A,B,C la vraie figure du triangle donné; mais on n’aura pas encore sa vraie grandeur.

( d ) Vraie grandeur du triangle. — Pour avoir les vraies dimensions du triangle il suffit de connaître l’échelle du plan de front sur lequel est fait le rabattement A^C. A cet effet :

Supposons, par exemple, que le plan de front du grand tableau soit à l’échelle de 1/10; le plan de front c,^,, sur lequel on a rabattu, a sa trace sur le nouveau géométral qui se trouve, sur notre croquis, à une distance de 10mm de l’horizon hji' j, tandis que xlyl en est à 38mm. Par conséquent, l’échelle du plan de front A B,C n’est pas de 1/10 mais de 1/10 X 10/38 soit 10/38 ou, en simplifiant, 1/38.

Par conséquent pour avoir les vraies dimensions des côtés du triangle donné, on les mesurera en A,B,G et on les multipliera par le rapport inverse, c’est-à-dire par 38.

(e) Remarque. — Ici le triangle amené de front a tenu dans le cadre du tableau ; cela tenait à ce que la charnière CCi avait été prise loin du tableau. Le triangle amené de front s’est considérablement réduit en dimensions apparentes. Si l’on avait pris la charnière passant par le sommet le plus près, c’est-à-dire par B, l’épure n’aurait probablement pas tenu dans le cadre.