Problème de restitution (dessin d’après nature

Les restitutions perspectives peuvent donner lieu à des problèmes très variés et quelquefois assez compliqués, ainsi que nous allons le montrer dans la question suivante que M. Julien traite dans son cours de perspective à l’école des Beaux-Arts. Elle prend un intérêt particulier depuis que des questions de ce genre sont exigées des candidats à la section de peinture.

(a) Position de la question. — Lorsque l’on dessine d’après nature soit un chapiteau, soit une base de colonne, soit,

Fig. 365

plus généralement, un motif dérivé du cube, et par conséquent du carré (imaginons que ce soit la plinthe carrée d’une colonne (fig. 365), on est amené à opérer comme suit :

On met en place, par l’observation directe du modèle, un des côtés du carré, BC, par exemple : ce côté est ainsi complètement déterminé aussi bien en direction qu’en longueur.

Le second côté du carré, BA, est mis en place, toujours par l’observation; mais seulement en direction . Ainsi donc, BA est tracée en direction, mais le point A n’est pas encore placé sur cette ligne

RESTITUTIONS PERSPECTIVES

D’un autre côté nous faisons l’hypothèse que lorsque l’on dessine d’après nature, on place instinctivement, par un besoin naturel d’équilibre, la verticale principale du dessin (celle qui contient le point principal) dans l’axe moyen de l’objet que l’on copie. Nous admettrons donc que la verticale principale PO passe par le centre perspectif O du carré ABGD, que l’on veut mettre en place.

Nous allons montrer que, ces hypothèses une fois admises, la connaissance du côté du carré BG en grandeur et direction, jointe à celle du côté BA, en direction seulement, permet : 1° de restituer la verticale principale et par suite le point principal ; 2° de trouver le point de distance, et 3° d’achever la perspective du carré tout entier.

Traitons la question au point de vue purement géométrique-

Fig. 366

(b) Énoncé. — Soit hli' la ligne d’horizon (figure 366). — AB est la perspective en grandeur et direction d’un des côtés du carré, AX est la direction de l’autre côté (on ne connaît pas sa limite. On demande d’achever la perspective en y ajoutant la condition que le centre du carré ait sa perspective sur la verticale principale du tableau, verticale que l’on ne connaît pas encore.

(c) Restitution du point principal. — 1° Faisons un relèvement du géométral autour de la ligne de front BX comme charnière.

Le sommet A se relèvera quelque part, sur le demi-cercle construit sur BX comme diamètre. Supposons, pourla facilité du raisonnement, que Ai soit sa position après le relèvement. D’après la note n° 2 (voir n° 259), si nous joignons

le point A, au point G, milieu de l’arc XGB, le centre du carré sera relevé quelque part en It (inconnu pour le moment), et le point I, sera d’une part sur la droite A,G, bissectrice de l’angle droit XA,B et d’autre part sur la demicirconférence décrite sur BG comme diamètre.

Or, si le centre i doit, d’après 1 hypothèse, être en perspective sur la verticale principale, son relèvement It doit être aussi sur la même verticale principale.

2° D’autre part, soit p le point principal, inconnu. Joignons A p et prenons en a' la rencontre de cette droite avec la charnière (même figure 366). Le point A)5 relèvement inconnu du point A, doit être sur la verticale a! Ai; autrement dit : Aia' et pE seront deux droites non seulement parallèles mais même perpendiculaires sur la ligne d’horizon.

3° Cela posé : menons la verticale du point connu A ; supposons que nous ayons pu prendre en K son intersection avec la ligne (inconnue) GL prolongée.

Il est évident que si le point K était connu le problème serait résolu. En effet : on joindrait le point K au point G qui est connu ; on prendrait en L son intersection avec le cercle décrit sur GB comme diamètre, lequel est connu également ; cela donnerait la verticale principale, et par suite le point p, etc., etc .

Or, du parallélisme des lignes Iip, a' Ajet KA on déduitles

.. Il Ai pa' m

proportions : — — = -E— = — rapport connu.

AjK a' A n

Donc, le point K est d’une part sur la verticale du point A, lequel est connu, et d’autre part (d’après la note n° 1), sur la circonférence, lieu géométrique des points qui partagent les sécantes issues du point G dans le rapport m/n.

Dès lors on construit ce lieu : c’est la circonférence GBKf, et une fois le point K connu, le problème s’achève comme il vient d’être dit.

Nota. — Pour avoir la circonférence, un seul point t, par exemple, a été nécessaire. Il a été obtenu en prolongeant la ligne GOS d’une longueur st, qui soit à OS comme n est à m. C’est une question de lignes proportionnelles.

(d) Restitution de la distance. — Le point principal, p, vient d’être obtenu. Cherchons le point de distance ; à cet effet :

Portons, sur le relèvement, la longueur A1D1 = AiB ; nous avons ainsi en D, le relèvement du troisième sommet du carré, que nous rabattons en D sur le rabattement AX.

On a donc perspectivement d'b = d'D 1, et, dès lors, si nous prenons sur la charnière BX la longueur d'd" = d'bx et si nous joignons D au point d" cette ligne sera d’égale resection et, par prolongement, donnera en 8, sur l'horizon, le point principal de distance.

(e) Vérification. — BD est la diagonale du carré perspectif: elle doit recouper la verticale principale en i, centre du carré, lequel doit se trouver aussi sur Ai, rabattement de la bissectrice AG.