Perspective cavalière d’une sphère. — Ombres

(a) Données. — Soient OX, OY, OZ (fig. 419) les trois échelles ou axes de coordonnées. Le rapport de réduction K est supposé égal à 2/3. Le point C est la perspective du centre de la sphère ; c, c' et y sont les perspectives des projections de ce centre sur les trois plans de coordonnées XOY — XOZ et YOZ.

{b) Contour apparent perspectif de la sphère. — C’est le même problème à résoudre que celui qui consiste à chercher l’ombre portée par une sphère sur un plan ; seulement, ici, les rayons lumineux sont remplacés par des rayons visuels. Sa solution consiste, en dernière analyse, à circonscrire à une sphère O (fig. 418) un cylindre qui, par conséquent, est de révolution, et à couper ce cylindre par un plan qui est le plan du tableau. Les génératrices du cylindre sont parallèles aux rayons visuels.

On sait, d’après le théorème de Dandelin, que la section plane d’un cylindre de révolution est une ellipse dont le grand axe AA' est d'une part sur le tableau (ici plan sécant), et, d’autre part, sur le plan méridien qui est perpendiculaire au plan sécant, c’est-à-dire qui contient à la fois

PERSPECTIVES DE CONVENTION

l’axe OX du cylindre et une perpendiculaire \f au plan sécant.

D’ailleurs, si du point o, où l’axe perce le plan sécant, on

Fig. 418

avait, comme centre, tracé une sphère inscrite dans ce cylindre et si l’on avait coupé cette sphère par le plan méridien que nous venons d’indiquer, on aurait obtenu une

circonférence omn et les deux génératrices du cylindre mA et nA', tangentes à cette circonférence, auraient donné les extrémités du grand axe AA'.

Le petit axe BB' est perpendiculaire au précédent et égal au diamètre de la sphère.

Raisonnons maintenant en perspective cavalière. L’axe OV du cylindre (même figure 418), donnera la direction des rayons visuels, c’est-à-dire des projetantes. Le plan sécant T sera le tableau. La perpendiculaire fW au tableau aura pour perspective cavalière la droite A'oA/', qui est par conséquent une fuyante.

Considérons maintenant la figure 419. Le grand axe de l’ellipse de contour apparent perspectif de la sphère a pour direction AA' la fuyante qui passe par la perspective C du centre. Pour en avoir les limites A et A' rabattons sur le plan de front Ccy'y du centre et autour de AA' comme charnière, la section faite dans la sphère par le plan contenant à la fois les projetantes et les fuyantes. Nous obtenons en mn le grand cercle de front de la sphère ; nous lui menons les tangentes mA et nA' parallèles à la direction aoq des projetantes rabattues (voir n° 310) et nous obtenons en A et A' les extrémités du grand axe.

Le petit axe est BB' perpendiculaire à AA' et égal au diamètre de la sphère.

Fig. 419

(c) Ombres portées du centre. — On se donne en cct, sur le géométral XOY, la projection en perspective du rayon lumineux qui passerait par le centre ; et en c' C', sa projec-

tion sur le plan XOZ, ou plan vertical. Nous en déduisons facilement la perspective CC'! du rayon lumineux de l’espace, ainsi que les traces C2 de ce rayon sur le plan hori-

PERSPECTIVE AXONOMÉTRIQUE

zontal XOY et C/ trace sur le plan vertical XOZ. Le point C2 est l’ombre portée par le centre sur le plan horizontal et C'j son ombre portée sur le plan vertical.

(d) Ellipse d’ombre portée par la sphère sur le plan vertical XOZ. — Cette ombre se perspective en vraie grandeur, car elle est portée sur un plan de front. Pour l’obtenir, considérons le plan méridien qui projette le rayon lumineux central CC'i sur le plan vertical ; sa trace sur le plan vertical est c'C/. Rabattons-le autour de cette ligne comme charnière: le centre vient en C3 surune perpendiculaire c'C3 à la charnière et l’on prend c'C3 égal à C d multiplié par l’inverse du rapport de réduction K. Ici, K = 2/3, donc c'C3 = 3/2C c1. La section méridienne de la sphère se rabat suivant le cercle D3E3, et le rayon lumineux est rabattu suivant C3C'i. On mène au cercle méridien rabattu les tangentes lumineuses E3Ej et D3D/, ce qui donne en D/ et E',, sur le plan vertical, les extrémités du grand axe de l’ombre portée. Le petit axe K/G/ est perpendiculaire au précédent et égal au diamètre de la sphère. L’ombre portée sur le plan vertical est donc déterminée par ses axes, ce qui permet de tracer l’ellipse.

(e) Ombre propre. — Pour l’avoir, on remontera par des rayons lumineux inverses D/D — E/E, etc. ... des points d’ombre portée aux points d’ombre propre sur la sphère. Ainsi, pour les points E et D, répondant aux extrémités du grand axe, on remarquera que e'E est une fuyante, tandis que E/E est un rayon lumineux de l’espace parallèle à CC/. Le croisement de ces deux lignes donnera donc le point E ; de même pour le point D. Quant aux points G et K, ils sont, d’une part, sur les rayons lumineux inverses menés par les points G/ et K/ et, d’autre part, sur la ligne de front KCG menée par le centre et parallèle au petit axe K/G/ de l’ellipse d’ombre portée ; l’ellipse d’ombre propre est donc déterminée par deux diamètres conjugués KG et DE, ce qui suffit.

ET PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE 253

if) Ombre portée sur le plan horizontal. — On cherche en D2E3 et G2K.2 les traces horizontales sur le plan XOY des rayons lumineux dont on vient de se servir et l’ellipse d’ombre portée est déterminée horizon tàlement par deux diamètres conjugués K2G2 et D2E2, ce qui suffit.