SPHÈRE POLIE

lant. Tous les autres seront obscurs et l’existence de la sphère ne se révélera que par ce point brillant.

Ce tracé qui donne le point brillant est connu sous le nom de Tracé par la bissectrice.

Fig. 119 V'k h V

(b) La sphère polie est éclairée par des rayons parallèles venant dans toutes les directions. Le spectateur est à l'infini. — C’est le cas d’une sphère éclairée par la lumière solaire directe et par toutes les lumières indirectes venant de divers points du ciel.

Chaque direction de rayons donnera son point brillant obtenu, comme ci-dessus, par la méthode de la bissectrice. Comme ces directions sont en nombre infini, il y aura une infinité de ces points brillants répartis sur toute la surface de la sphère; seulement ils n’auront pas le même éclat. Pour avoir des lignes d’égales teintes, si nous admettons, ce qui n’est pas tout à fait exact, que la variation de l’angle d’incidence ne modifie pas l’éclat des rayons réfléchis, il faudra :

1° Classer les rayons indirects, d’après leur différence d’éclat. (Ce classement, d’ailleurs un peu hypothétique, a été indiqué au n° 67.)

2° Grouper les rayons d’égale intensité. Ils formeront, ainsi que nous l’avons dit au n° 67, une série de cônes de révolution ayant tous pour axe le rayon solaire direct ;

3° Chercher sur la sphère le lieu des points brillants des rayons d’égale intensité. Pour une série de rayons d’égale intensité, les points brillants auront le même éclat et leur ensemble formera un lieu géométrique qui sera une ligne d’égale teinte.

Nous allons chercher les lieux de points brillants d’égale intensité ainsi définis et cela nous donnera les lignes d’égales teintes sur la sphère polie.

88. Lignes d’égales teintes sur une sphère parfaitement polie.

(a) Recherche théorique des lignes d'égales teintes. — Soit SO, figure 113, le rayon direct, et considérons en ma,nb , etc., une série de rayons indirects d’égale intensité et disposés, ainsi que nous venons de le dire, suivant les génératrices d’un cône de révolution, dont l’axe SO serait le rayon central direct.

Les points d’incidence, a, b , se trouvent sur un cercle bac de la sphère, puisque les rayons d’égale intensité for. ment un cône de révolution. Le plan bacd de ce petit cercle est perpendiculaire au rayon central SO.

Fig. 113

Soit OY le rayon visuel et soit K son point de sortie de la sphère.

Cherchons, par exemple, le point brillant de la direction ma. A cet effet, menons la bissectrice Ou' de l’angle aOV. Le triangle aOK est isocèle, puisque Oa et OIv sont deux lignes égales comme rayons d’une même sphère. Le point a', pied de la bissectrice, est done le milieu de la droite Ka qui est la base de ce triangle isocèle.

Si l’on prolonge Oa' jusqu’en a, point de rencontre avec la sphère, a sera le point brillant de la direction maO.

Or, je dis que le lieu des points a', b', ... est un cercle ; en effet, les droites telles que Ka, Kô, K d, . . . forment un cône oblique dont la base est le cercle badc et dont le sommet est le point K. On a en a', b', d', ... les milieux des génératrices ; donc les points a', b' , c' sont sur un cercle parallèle au cercle de base et de rayon moitié de celui de ce cercle de base.

Pour avoir les points brillants, tels que a, on joint Oa' et on prolonge jusqu’à la sphère en a. Mais les droites telles que Oa', Ob', . . . formeront un nouveau cône, oblique, dont le cercle a'b'c' . . . sera la base et O le sommet; donc le lieu des points brillants a sera l’intersection de la sphère et du cône oblique ayant le cercle a'b'c1 pour directrice et le centre O pour sommet.

( b ) Epure (fig. 1 14). — Par une rotation identique à celle que nous avons faite pour la sphère dépolie, n° 81, le rayon lumineux est supposé rendu parallèle au plan vertical et projeté à l’angle tp sur le plan vertical.

Soit OS, O'S' le rayon direct. Prenons une série de rayons indirects d’égale intensité. Ils formeront un cône ayant OS pour axe. La ligne des points d’incidence sera le cercle ut, projeté verticalement en ligne droite et perpendiculairement au rayon direct. Ce cercle peut être considéré comme l’in-

RENDU — LES SPHÈRES TYPES

tersection de la sphère et du plan perpendiculaire au plan vertical qui aurait ut pour trace verticale.

K est le point de sortie du rayon visuel OV.

Joignons iK , uK, et prenons les milieux t' , u', ... de ces lignes; nous aurons en t'u' la projection verticale du cercle parallèle au premier, et de rayon moitié, qu’il faut prendre pour directrice d'un cône ayant son sommet au point O.

Si nous décrivions une sphère ayant OK pour diamètre, et ayant, par suite, un rayon moitié de celui de la sphère donnée, ce cercle u't' pourrait être considéré comme l’intersection de cette sphère par un plan t'u' parallèle au premier plan tu.

Nous aurons donc les lignes de teintes en prenant la petite

Fiç. 114

sphère OK ; la coupant par des plans perpendiculaires au rayon lumineux ; prenant les cercles ainsi formés pour bases de cônes ayant, chacun, leur sommet au centre de la sphère et cherchant les intersections de ces cônes avec la sphère primitive.

Le plan vertical étant parallèle à un plan de symétrie commun à la sphère et aux cônes, on sait que les courbes d’intersection, en projection verticale, seront des coniques (ellipse, hyperbole ou parabole ; voir Géométrie descriptive).

On démontre, par la géométrie analytique (t), que toutes

(1) A cet effet, prenons pour plan des xy le méùdien de front delà sphère ; le centre 0 pour centre des coordonnées, et l’axe des x parallèle à la ligne de terre. — L’axe des Z sera pris perpendiculaire au plan vertical.

Soit y = ax l’équation du rayon lumineux en projection verticale.

(i) xï -4- y2 -f- Z2 = R2 sera l’équation de la grande sphère.

La petite sphère aura pour équation :

les lignes d’égales teintes, dans cette hypothèse, se projet-

ou en simplifiant :

(2) Xi+ y2 — Rî/ Z2 = 0 .

Un plan perpendiculaire au rayon lumineux aura pour équation :

(3) y = œ-l- p, p étant indéterminé.

Les équations (2) et (3) définissent la directrice du pelit cône oblique.

Le côue ayant son sommet à l’origine, les équations d’une de ses généra Irices sont :

(4) j y = rnz .

(3) ‘ x =nz.

Ou exprimera que celte droite rencontre la directrice; on éliminera pour cela x, y, z entre les équations (2), (3), (4) et (o). On obtiendra l’équation de condition :

(6) Rm(n -t- am) = <xp(«2 -+- m2 -+- 1).

Remplaçant m et n par leurs valeurs tirées de (4) et (S), on aura l’équation du cône :

(7) V>xy -t- Ray2 = appr2 -F y2 -+- z-).

L’équalion de la courbe d’intersection du cône et de la sphère, en projection verticale, s’obtiendra en éliminant z entre les équations (1) et (7) et l’on aura l’équation :

(8) y(x-\ -ay) = apR : Telle est l’équation du lieu en projection verticale : Cette équatiou représente une hyperbole dont les asymptotes sont les droites

y = 0 et x -+- oiy = 0.

L’une, y = 0, représente l’axe OX ; c’est donc la projection verticale de

l’équateur de la sphère ; l’autre, x + ay — 0, peut s’écrire y — -x;

elle représente une droite GW, passant par l’origine et perpendiculaire au rayon lumineux OS ; c’est donc la projection verticale de la séparatrice d’ombre propre de la sphère.