PLANCHE XV

Pour diviser plusieurs lignes en parties égales ou en parties proportionnelles.

Si l’on n’a qu’une ou deux lignes à diviser, on opère comme je l’ai démontré pl. II , fig. 21 ; mais lorsqu'il s’en trouve un plus grand nombre , on a recours à l’opération que je vais indiquer.

Fig. OU. Soit donnée une ligne AB, qui contient des divisions égales ou inégales, telles que A , 2, 5, 4, 5, B; soient aussi données des lignes GII . DE , MX , OL , que l’on veut diviser juste proportionnellement à AB.

On élèvera d’abord un triangle équilatéral sur la ligne AB; du sommet

UK rURSFECTIVt PRATIQUE.

C de ce triangle , et par les points 2, 3. 4 et 5 , on mènera des lignes indéfinies et on prolongera les côtés CA et CB du triangle. Puis, pour obtenir les divisions <pie doit contenir la ligne GH, d'une ouverture de compas égale à cette ligne et du point C comme centre , décrire un arc de cercle G'H' et joindre ces points par une ligne droite; vu la propriété du triangle, cette ligne G'H' est égale à GH, et elle se trouve naturellement toute divisée.

On obtiendra île même la division des lignes DE , MN et OL.

four placer à égale distance un grand nombre de cercles parallèles horizontaux, le premier étant tracé.

Fig. 99. Quand une tour ronde est formée par des assises en pierres de taille , ces assises sont ordinairement de même grandeur ; pour tracer ees assises , il faut prendre plusieurs points à volonté sur le cercle supérieur, tels (pie, sur cette figure, les poiuts A, I), V, E et B , et de ces points abaisser des verticales indéfinies; si Ion divise en deux parties égales un espace tel que celui compris entre les points À et 8 , c'est-à-dire la distance du cercle donné à l’horizon , ou obtiendra le point 4. Divisant de même les verticales D 8, V 8 , E 8 et B 8 . on aura , au milieu de chacune d'elles , leur pointé. Joindre tous ces points i par une courbe, elle représentera la circonférence d'un cercle placé moitié moins élevé, ou moitié moins éloigné de l'horizon que le cerelc ADVEB ; si l’on divise cncoreen deux parties égales les verticales A 4 , D 4 , V 4 , E 4 et B d, on obtiendra des points A"D"V"£" et B"; ainsi , pour tracer la circonférence d’un cercle parfaitement parallèle au cercle donné ADVEB, en divisant sucessivement en deux parties égales chacun des espaces compris entre deux cercles, on aura successivement un nouveau cercle parallèle à ces cercles. Ce moyen est très- simple et très-expéditif lorsque l’on n'a que peu de cercles à tracer; mais si l'on en a beaucoup, il est préférable d'employer l'opération de la fig. 98, c'est-à-dire , après avoir abaissé les verticales des points ADVEB, de diviser ces verticales en un même nombre de parties égales depuis les points A , D , V , E. B, etc. . jusqu’à l’horizon , ce qui donne les points A'. A ', elc. , D'. D", etc. , VT" etc. , E' E" etc.. B'. B'', etc. : joignant les points correspondants par des courbes . on aura les cercles parallèles que l’on voulait obtenir. Pour avoir les cercles au dessous de l’horizon , prendre la grandeur AA' et la reporter sur la verticale prolongée de 8 en 9, de 9 en 10 , etc. ; prendre la grandeur DD' et la reporter de même sur le prolongement de sa verticale sous l'horizon , etc. Opérer de même pour chaque verticale.

Remarque. — Le cercle qui est juste en face de l’horizon semble être une ligne droite ; ceux qui sont au dessus de l'horizon paraissent descendre, et ceux qui sont au dessous paraissent monter; plus les courbes sont éloignées de l'horizon, plus cela est sensible.

TiUlTf

La courbe est aussi plus ou moins prononcée selon qu'elle se trouve plus ou moins enfoncée dans le tableau. Dans les lointains, les courbes paraissent presque des lignes droites.

Ayant déterminé plusieurs cercles d'une tour ronde, on propose de circonscrire un cercle autour d’un de ces cercles donnés.

Fig. 99. Soit donné AM, l'écartement qui doit exister entre les deux cercles.

Du point M et par le point A’ mener une ligne qui, à sa rencontre avec une verticale abaissée du point O, centre du cercle donné, déterminera le point S. Du point O et par le point D faire passer une ligne indéfinie; du point D abaisser une verticale donnant le point D’ à la rencontre du cercle A'D'B'; du point S et par le point D’ faire passer une ligne qui donne le point X à sa rencontre avec la ligne OD prolongée ; X est un des points de la courbe. Obtenir de même autant de points que l’on voudra pour faire passer la courbe qui donne le cercle circonscrit.

Si l'on voulait former un toit conique pour terminer la partie supérieure de la tour, on déterminerait le point T, sommet de ce toit, en élevant du point O, milieu de la tour, une ligne verticale ; puis de ce point T, on abaisserait les lignes TM et TN , tangentes au cercle MUN ; on aurait ainsi le toit conique MTN.

Pour construire une arène ou un escalier circulaire.

Fig. IOO. Soient donnés le demi-cercle AEE’A, et les profils AA' BB'C qui se trouvent à ses extrémités.

Prendre à volonté sur l'horizon un point , F et de ce point mener des lignes aux points M, N et U, centres des demi-cercles AA, A’ A', BB, B’B’, CC : la rencontre de la ligne MF avec le cercle donné donne le point E. De ce point élevant une verticale jusqu’à la rencontre'de la ligne NF, on a le point X; EX est la hauteur de la première marche.

Pour obtenir une seconde marche, du point C et par le point A, mener une ligne qui, à sa rencontre avec la verticale centrale UM prolongée, donne le pointS; de ce point et par le point E faire passer une ligne indéfinie , qui , à sa rencontre avec les lignes NF et UF, donne les points G et Z, profondeur de la première cl de la deuxième marche. Du point G élever une verticale qui donne le point H, hauteur de la seconde marche. Prendre de même autantde point que l’on voudra, puis, joignant les points correspondants, on tracera les courbes qui forment les marches.

Remarque. — Si l’on prend à volonté sur la courbe CZZ’C plusieurs points, que parccs points on élève des verticales indéfinies, que, depuis ces points jusqu’à l'horizon, on divise ces verticales en un même nombre de parties égales, et que l'on joigne les points correspondants, on aura des

DI PERSPECTIVE PRATIQUE

courbes parallèles à la courbe donnée. Si l’on prend une division de chaque verticale et que l’on reporte les divisions au-dessus de l’horizon , chacune sur leur verticale, on aura les points pour tracer une courbe au-dessus de l'horizon, et ainsi de suite.

Ce principe est le même que celui de la fig. 99.

Pour déterminer la grandeur d’une porte égale à son ouverture

Fig. 101. Soient donnés AB, l'ouverture de la porte, et la ligne BC, direction de la base de la porte.

Prendre la grandeur AB et la reporter de B en O; du point P et par les points A, B et O, faire passer des lignes indéfinies ; diviser BO en deux parties égales, parce qu'on a la demi-distance, ce qui donne le point M ; du point D/2 et par le point M faire passer une ligne qui donne le point R, à sa rencontre avec PO prolongé: OR est égal à BO. Du point R mener une horizontale qui , se rencontrant avec les lignes PB et PA prolongées aux points N et T, termine les carrés BATN et BNRO; décrire ensuite dans ces carrés le demi-cercle APiO, il détermine la grandeur de la ligne BC, car, en s'ouvrant, la porte doit décrire un cercle; ce cercle aura pour centre le point B, et pour circonférence la courbe ANO : donc BC doit se terminer à cette circonférence.

Pour déterminer la hauteur et la direction de la ligne du haut delà porte, prolonger CB jusqu'à l’horizon, ce quidonne le pointF; de ce point, et par le point B', faire passer une ligne que l'on prolonge jusqu'à la rencontre de la verticale élevée du point C, ce qui donne le point C’ ; décrire le cercle fuyant du sommet de la porte par le moyen indiqué pl. XII. fig. 88, opérant comme si les lignes fuyantes allaient concourir au point P.

Pour déterminer la grandeur d’un volet égale à l’ouverture d'une croisée.

Fig. 102. Soient donnés AB pour l'ouverture de la croisée, et AK pour la direction de la base du volet.

Des points A et B abaisser des verticales jusqu'à la rencontre de la base du mur, ce qui donne les points A' et B’; de ces points mener des horizontales indéfinies; du point D/2, et par le point B', faire passer une ligne indéfinie donnant le point O à sa rencontre avec l'horizontale menée de A’; prendre la grandeur A'O et la reporter de O en G ; du point P, et par le point G, faire passer une ligne jusqu’à la rencontre de la ligne B’O prolongée, ce qui donne le point F; de ce point mener une horizontale jusqu'à la base du mur, elle donne le point H ; le rectangle B'LEH contient deux carrés ; décrire le demi-cercle B’GH comme il a été dit précédemment, puis prolonger la ligne K A jusqu’à l’horizon, ce qui donne le point F; de ce point et par le point A’ faire passer une ligne qui , à sa rencontre avec le demi-cercle, donne le point J ; de ce point élever une verticale indéfinie :

TRAITÉ

ollc détermine la grandeur du volet; du point F et par le poinl V, hauteur de la fenêtre, mener une ligne donnant le point M à sa rencontre avec la verticale élevée du point J, ce qui termine le volet.