DES FRACTIONS DE LA DISTANCE

Par un point donné , on propose de construire un carré dont les côtés font angle demi droit avec le rayon central de l’œil. — Opérer avec une fraction de la distance.

Fig. 109. Soient donnés le point A, et les points de la demi-distance D/2 et D'/2-

Du point A mener une ligne au point P ; diviser AP en deux parties égales, parce qu’on a la demi-distance, ce qui donne A'; de ce point mener des lignes aux points D/2 et D'/2, et par le point A mener des parallèles à ces lignes; prendre à volonté sur la ligne AD le point J, longueur d'un des

TRAITÉ

côtés du carré; de ce point mener une ligne au point P; sa rencontre avec A'D/2 donne le point J'; de ce point mener une ligne au point D'/2, et par le point J mener une parallèle à J'D'/2, ce qui donne le point L; du point J mener une horizontale qui donne K : joindre les points K et L , ce qui termine le carré cherché AJLK.

La ligne géométrale D/2 D"/2 doit être parallèle à la ligne DD", de même que la ligne géométrale D"/2 D'/2 doit être parallèle à la ligne D"D'.

Remarque. — Si l'on opérait avec le tiers de la distance , on diviserait AP en trois ; si on opérait avec le quart de la distance , on diviserait AP en quatre, etc.

Un carré perspectif ayant été dessiné d’après nature , on sait que les côtés vont tendre au point de distance hors du tableau. On propose de trouver le point de fuite principal au point P.

Fig. 109. Il faut simplement prolonger la diagonale fuyante AL jusqu'à l'horizon , car nous savons que dans un carré dont les côtés vont tendre au point de distance , une des diagonales doit être horizontale , et qu'en conséquence l’autre doit tendre au point de fuite principal.

La direction d’une liane étant dessinée d’après nature , cette ligne prolongée va tendre au point de distance. On propose de déterminer sur celte ligne une grandeur voulue.

Fig. 1 10. AD est la ligne donnée , on propose de prendre sur cette ligne une longueur de dix-huit pieds.

Soit donnée une figure humaine placée au point M , cette figure est supposée avoir 5 pieds de hauteur. Il faut former à part un carré d'une grandeur à volonté , le carré A"H”G"E'', par exemple, et mener la diagonale A''G" ; cette ligne représente géométralement les lignes qui vont tendre au point de distance; prendre la grandeur de la figure placée au point M , et reporter sa hauteur MM', sur la diagonale A"G", de A" en B' ; A"B' égale la grandeur de la figure donnée , par conséquent une grandeur de E> pieds. Du point B' mener jusqu’à la rencontre de la ligne A"H" une parallèle à G”II" , ce qui donne le point C' ; A"C' représente une grandeur de 5 pieds réduite pour les lignes qui tendent aux points de distance.

Du point M mener une horizontale jusqu'à la rencontre d'un côté du tableau, jusqu'au point O, par exemple, et prendre la grandeur réduite A 'C' et la reporter de O en N ; du point F et par le point N faire passer une ligne jusqu'à la base du tableau. Cette ligne détermine une échelle fuyante; toutes les horizontales comprises dans cette échelle auront 5 pieds réduits , et serviront à déterminer des grandeurs voulues sur des lignes qui tendent aux points de distance. Alors , pour déterminer 18 pieds sur

la ligne AD , faire passer une horizontale par le point A , cette ligne traversant tout le tableau ; prendre dans l'échelle la grandeur IJ , qui est S pieds réduits , pour les lignes qui tendent aux points de distance , et reporter cette grandeur à partir du point A , ce qui donne a, 10, 1b pieds; pour compléter les 18 pieds , diviser IJ en cinq , puis prendre 5 de ces divisions qui représentent 3 pieds , et les reporter de 1 b en C, ce qui complète les 18 pieds. Du point C mener une ligne au point P ; sa rencontre avec AD détermine le point B ; la ligne fuyante AB est égale à 18 pieds.

Pour se rendre compte de cette opération . il faut observer que AC représente en plus grand la ligne A^C’, et qu'elles sont toutes les deux horizontales; CB représente C'B’ et AB représente A''B'.

Remarque. — Si dans un tableau, on a des édifices qui tendent au point de fuite principal et aux points de distance , lorsque sur l’un et l’autre de ces édifices on veut déterminer des grandeurs fuyantes données, on se sert de deux échelles fuyantes dans le tableau : l’une se place à droite et l’autre à gauche. Pour les lignes qui tendent aux points de distance on se sert de l’échelle que je viens d’indiquer, et pour les lignes qui tendent au point de fuite principal P, on se sert de l’échelle donnée pl. III, fig. 10.

Même proposition. — Opérer avec une fraction de la distance.

Fig. 110. Soit donnée la D/2.

Si la ligne AB n’était pas dessinée d’après nature , il faudrait d’abord la tracer tendant au point de distance ; pour cela, du point A mener une ligne au point P, diviser AP en deux parties égales , ce qui donne A'; joindre A' D/2, et du point A mener une parallèle à celte ligne.

Le reste de l’opération se fait absolument comme à la figure précédente.

Ayant dessiné une ligne soit d'après nature, soit à volonté , en supposant qu'elle tend au point de distance, trouver une fraction de la distance.

Fig. MO. Si la ligne AB était donnée et que l’on voulut trouver une fraction de la distance , il faudrait joindre les points A et P par une ligne droite , diviser cette ligne en deux parties égales , donnant le point A’ ; de ce point mener une parallèle à AB ; sa rencontre avec l'horizon déterminerait le point D/2. Si la ligne menée du point A' ne rencontrait pas l’horizon dans le tableau , il faudrait rediviser A'P en deux parties égales , et on obtiendrait le point D/4 , etc.

Pour mesurer une ligne qui tend au point de distance.

Fig. 111. Soit donnée la ligne AB, ainsi que le point D/2.

Du point A mener une ligne au point P ; diviser cette ligne en deux parties égales , ce qui donne A', et par ce point mener une parallèle à AB.

Ttuité

Or, comme celle parallèle tend au point D/2, la ligne AB tend au point de distance : alors du point B mener une horizontale , ce qui donne C à la rencontre de AP ; du point C comme centre , et d'un rayon égal à CB , décrire un arc de cercle jusqu'à la rencontre d’une verticale élevée du même point , ce qui donne E -, joindre BE par une droite , qui nous représente AB. Comme la figure humaine nous sert toujours de mesure de 5 pieds , du point H , endroit où est placée une figure donnée , mener une horizontale indéfinie ; prendre la hauteur de cette figure donnée , et la reporter du point I au point J ; le point I est la rencontre de la ligne horizontale menée du point H avec la ligne AP ; du point P et par le point J faire passer une ligne qui donne K. à son intersection avec BC: la grandeur KC est égale à 5 pieds. Ainsi , reportant cette grandeur de 5 pieds sur BE, on trouve qu'elle y est contenue 4 fois plus une fraction de 2 pieds , ce qui fait voir que celte ligne BEa 22 pieds; donc son égale AB a 22 pieds.

Remarque . — ABC est la moitié d’un carré perspectif, AB en est la diagonale ; BCE est la moitié d’un carré géométral, et BE en est la diagonale ; ces deux moitiés de carrés, ou, cequi est la même chose, ces deux triangles sont tout à fait semblables et de même grandeur ; le côté CB est commun aux deux; le côté vertical CE est le géométral du côté fuyant AC , et la ligne BEest le géométral de la ligne AB , qui tend au point de distance : donc, mesurant BE, on connaît la grandeur de BA.

PourmeUrcenpcrspeclivcun carré vu d’angle , h diagonale horizontale élan! donnée et placée, ainsi que la moitié de la distance.

Fig. Ü2. Soient données la D/2 . et la ligne BC, diagonale horizontale du carré à obtenir.

Du point P et parle point O , milieu de la diagonale , faire passer une ligne indéfinie. Pour obtenir de O en A une grandeur égale à OC, comme l’on a la D/2, diviser OC en deux parties égales , ce qui donne le point II; du point D/2 et par le point II faire passer une ligne qui , à sa rencontre avec la ligne PO prolongée, donne le point A; joindre les points AB et AC, ce qui détermine la moitié du carré.

Pour déterminer OE égal à OC , du point G , moitié de OB, mener une ligne au point D/2; sa rencontre avec OP donne le point E . OE est égal à OC ou OB : joindre les points EB et CE, ce qui termine le carré.

Pour circonscrire un carré autour d’un carré donné.

Fig. 112. Soit donnée', sommet de l’angle du second carré.

Prendre la grandeur CC et la reporter de O en I et en 1 ; du point P et par les points I et J faire passer des lignes indéfinies; des points A et E mener des horizontales jusqu'à la rencontre de ces lignes, ce qui donne les

points N, M,L et K; prendre la grandeur C et C' cl la reporter de Ben B’; puis joindre les points B' N et C'M et prolonger ces lignes; elles donnent le point A', qui doit se trouver sur la ligne PA prolongée : joindre les points B’ L et C'K ; leur rencontre donne le point E’ et termine le carré A'B’E'C', qui est circonscrit autour du carré ABEC.

Une ligne étant donnée (on suppose qu'elle tend au point de distance), on propose d'en mener une autre faisant angle droit avec elle.

Fig. 113. Soit AB la ligne donnée.

Du point A mener une ligne au point P, prendre à volonté le point M sur la ligne AB, et de ce point mener une horizontale indéfinie; prendre la grandeur MO et la reporter de O en N ; joindre les points A et N ; la ligne AA’ fait angle droit avec la ligne AB.

Par des points donnés, on propose de mener des parallèles perspectives à des lignes données, les points de fuite étant inaccessibles.

Fig. 113. Soient donnés les points A' et A" par lesquels on doit mener des parallèles perspectives aux lignes AB et A A.

Des points M, O et N abaisser des verticales indéfinies; des points A' et A'' mener des lignes au point P; la rencontre de ces lignes avec la verticale abaissée du point O donne les points O' et O '; par ces points mener des horizontales qui donnent les points M', M", N', A", à leur rencontre avec les verticales abaissées des points Met N: joindre les points A'M’, A'A', A" M"etA"N’' par des lignes, et on aura les parallèles perspectives.

Une ligne étant donnée (on suppose qu’elle tend au point de distance), on propose d’en

mener une autre faisant avec elle un angle droit vu intérieurement, et de mener à ces

deux lignes des parallèles perspectives par des points donnés.

Fig. 1 14. Prendre sur la ligne donnée AB un point M, par lequel il faut mener une horizontale indéfinie; du point P et par le point A faire passer une ligne qui donne le point O à sa rencontre avec la ligne horizontale menée de M; prendre la grandeur MO et la reporter de O en N; mener la ligne AA, qui fait angle droit avec AB.

Pour mener les lignes A' M', A' A', A" N'' et A" M" parallèles perspectives aux lignes AB et AA, des points M, O et A abaisser des verticales; du point P et par les points A' et A", faire passer des lignes qui donnent les points O' et O''; mener de ces points des horizontales qui donnent les points M', M'', A' et A" ; joindre les points A' M’, A' A', A" M" et A" A" par des lignes, et on aura les parallèles perspectives cherchées.

Si l'on voulait diviser en parties égales une ligne tendant aux points de distance, il faudrait opérer par le moyen indiqué pl. VII, fig. 83.

TRAITÉ

Par un point donné former un angle droit vu intérieurement et dont les c6lés vont concourir aux points de distance , une fraction de la distance étant donnée.

Fig. 142. Soient donnés le point R et la D/2.

Du point P et par le point R faire passer une ligne indéfinie, prendre à volonté sur cette ligne un point S, par lequel on trace une horizontale indéterminée. Du point D/2 et par le point R faire passer une ligne jusqu'à l'horizontale menée de S , ce qui donne le point T. Comme on a le point D/2, on prend la grandeur ST que l’on reporte de T en U, et on obtient le point U ; joindre RU par une ligne qui doit concourir au point de distance. Si Ton reporte SU de S en V et que Ton joigne RV, cette ligne fera angle droit avec RU.