DES POINTS ACCIDENTELS

Les pointe accidentel t sont des points de concours où vont aboutir des lignes parallèles fuyantes. Lorsque le point de fuite principal et le point de distance sont déterminés, les points accidentels peuvent être placés à tous les autres endroits de la surface du tableau ; ainsi il peut exister, dans une composition, une très-grande quantité de points accidentels.

On propose de mener une ligne qui fasse angle droit avec une ligne donnée ; celle dernière a été dessinée d'après nature , elle tend à un point quelconque de l'horizon qui n'est ni le point principal ni l'un des points de distance.

Fig. 115. Soit donnée la ligne BC ; le point P et le point de distance D sont obtenus.

Prolonger la ligne BC jusqu’à l'horizon, ce qui donne le point A, que je désigne sous le nom de point accidentel; si, au lieu de tendre au point A, la ligne BC tendait au point de distance D, il suffirait, pour obtenir l'autre côté de l'angle , de joindre les points B et D', et l'angle droit perspectif DBD' serait le même que l'angle droit géométral DD"D' ; mais comme BC tend à un point accidentel , il faut obtenir un autre point sur l'horizon , pour tracer cet autre côté de l'angle droit , et pour que cette ligne fasse angle droit perspectif avec BC; pour cela, il faut reporter la distance sur la verticale élevée du point P, ce qui donne le point D"; joindre ce point avec le point A, et mener la ligne D"A' perpendiculaire à D''A : joindre les points A' et B, et l’angle CBE est droit, de même que l'angle C'D"E'qui est son géométral.

Remarque. — Plus le point A sera éloigné du point de fuite principal, plus le point A' en sera près.

Pour diviser en deux angles égaux un angle perspectif.

Fig. 1 15. Soit l’angle EBC que Ton veut diviser en deux angles égaux. Il faut diviser en deux parties égales l’angle géométral E'D"C' par le moyen

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indiqué pl. II, fig. 24; la ligne D"F qui le divise doit être prolongée jusqu’à l’horizon, ce quislonne le point F ; mener la ligne FB, elle divisera en deux angles égaux l’angle EBC.

Pour construire un carré perspectif vu accidentellement, une ligne étant donnée ou dessinée d’après nature.

Fig. 415. Soit donnée la ligne BC; prolonger celte ligne jusqu’à l’horizon, ce qui donne le point A ; joindre ce point avec le point D", distance reportée sur la verticale principale, et mener D"A' perpendiculaire à AD", joindre les points BA' et diviser l’angle AD"A', ou , ce qui est la même chose, l’angle E'D"C' en deux parties égales par la ligne D"F ; mener la ligne FB. Cette préparation établit l’angle droit et le divise en deux, comme je viens déjà de le faire ; pour terminer le carré; il faut du point C mener une ligne au point A', ce qui donne le point O à la rencontre de BF ; du point A et par le point O, faire passer une ligne qui donne le point E, détermine la longueur du côté BE, et termine le carré accidentel BCOE.

Ayant dessiné d'après nature la direction et la grandeur d’une ligne, ainsi que la direction d'une autre ligne, on suppose qu'elles font angle droit. On propose : l«de trouver la distance ou une fraction de la distance; 2° de déterminer la seconde ligue égale à la première, puis de former un carré.

Fig. MC. Soient données la ligne BC qui est déterminée, et la direction de la ligne BE.

I” Prolonger les lignes BC et BE ; comme elles ne peuvent rencontrer l’horizon dans le tableau, du point B mener une ligne au point P; diviser BP en trois parties égales, ce qui donne le point II ; par ce point , mener jusqu'à l'horizon des parallèles à BC et BE, ce qui donne les points A/3 et A'/3 ; diviser la grandeur A/3 A'/3 en deux parties égales , ce qui donne le point M ; de ce point comme centre , et d’un rayon égal à MA/3 ; décrire un demi-cercle qui donne le point D/3 à sa rencontre avec la verticale élevée du point P. Si l’on joint les points A/3, D/3 et A'/3, l’angle que ceslignes feront doit être un angle droit.

2° Diviser en deux angles égaux l’angle A/3 D/3 A '/S , comme précédemment, ce qui donne le point F; joindre ce point avec le point H , et du point B mener BG parallèle à cette ligne HF. Du point C mener une ligne au point P, sa rencontre avec II A/8 donne le point O; de ce point mener une ligne au point A'/*, et du point C mener une parallèle à celte ligne, ce qui donne le point G à la rencontre de la ligne BG ; du point A/3, et par le point I , intersection des lignes OA'/3 et HF, faire passer une ligne qui donne le point J à sa rencontre avec HA'/3 ; du point G, mener GE parallèle à IJ , ce qui détermine BE égal à BC , et termine le carré accidentel BCGE.

TRAITÉ

Remarque. — Toutes les fois qu’un angle est inscrit dans un demi-cercle, de manière que ses côtés passent par les extrémités du diamètre du demicercle, et que le sommet de l'angle, touche à la circonférence du demicercle , cet angle est droit ; donc l'angle A/8 D/3 A'/3 est droit.

Pour circonscrire un carré à un carré donné.

Fig. 417. Établir le carré par le moyen indiqué fig. précédente , en employant la D/2 au lieu de la D/3. Mener la diagonale CE et la prolonger indéfiniment ; prendre sur cette diagonale le point K qui est le sommet d'angle du carré à circonscrire ; du point K mener une ligne au point P, sa rencontre avec la diagonale prolongée JO du petit carré donne le point T ; de ce point mener une ligne au point A '/2 , et du point K mener une parallèle à cette ligne, ce qui, à la rencontre de la diagonale BG prolongée , donne le point L. Du point A/2 et par le point T faire passer une ligne , et de K mener une parallèle à cette ligne , et on obtient le point M; du point V mener une ligne au point A'/2 , et du point M mener une parallèle à cette ligne , ce qui donne le point N à la rencontre de la diagonale prolongée CE ; joindre les points N et L par une droite qui complète le carré NLKM , carré circonscrit au carré EGCB.

Soit dessinée d'après nature la direction d'une ligne qui va tendre à un point accidentel; on propose delà déterminer d’une grandeur quelconque.

Fig 1 48. Soit BC la direction donnée, à laquelle on veut donner quatorze pieds.

Prolonger cette ligne jusqu'à l’horizon, ce qui donne le point A; joindre ce point avec la distance reportée sur la verticale principale; la ligne AD' représente géométralement la ligne BCA; nous avons une figure donnée au point M : prendre la grandeur de cette figure, qui est de cinq pieds, et la reporter de A en N sur la ligne AD'; du point N abaisser une verticale jusqu’à l’horizon, ce qui donne le point X; la grandeur XA est une grandeur qui représente cinq pieds, et qui doit servir à obtenir des grandeurs sur toutes les lignes fuyantes qui iront concourir au point A, c'est-à-dire pour la ligne accidentelle BG et pour toutes celles qui lui sont parallèles.

Du point M , mener une horizontale jusqu’au bord du tableau; prendre la grandeur XA cl la reporter de O en V; mener la ligne FV jusqu'à la base du tableau, elle forme une échelle fuyante de lignes représentant cinq pieds pour toutes celles qui vont aboutir au point A ou point accidentel; faire passer une horizontale par le point B ; prendre la grandeur J I , extrémité de l'horizontale comprise dans l’échelle, et la reporter de B en 5 et de 5 en 10. puis diviser JI en cinq parties égales, et reporter quatre de ces divisions de 40 en E, ccqui fait quatorze pieds ; du point E mener une ligne au point P; sa rencontre avec BC donne le point C et détermine sur cette ligue quatorze pieds.

Même proposition. — Opérer avec une fraction accidentelle et une fraction de la distance.

Fig 118. Soient données la demr-distance D'/2, et comme ci dessus la ligne BC à laquelle on veut donner quatorze pieds.

Du point B mener une ligne au point P, la diviser en deux parties égales, ce qui donne le point B'; de ce point mener une parallèle à BC donnant le point A/2, joindre ce point avec D’/î; le reste de l'opération se fait absolument comme dans la proposition précédente.

Pour mesurer une ligne qui (end a un point accidentel.

Fig. 119. Soit dessinée d'après nature la ligne EB, le point D/4 étant déterminé.

Du point E mener une ligne au point P, diviser cette ligne en quatre parties égales, parce que l’on a la D/4, ce qui donne E'; par ce point mener une parallèle à EB, ce qui donne A/4 , et prouve que la ligne EB tend à un point accidentel. Du point P comme centre, et d’une ouverture de compas égale à PD/4, décrire un arc de cercle; son intersection avec la verticale élevée du point P donne le point D'/4; joindre par une ligne les points A/4 et D'/4, et par le point B mener BH parallèle à cette ligne; la grandeur de BH est déterminée par la rencontre d’une verticale élevée du point C. La ligne BII représente BE.

Ce qui prouve que la ligne BH représente la ligne BE, c’est que la ligne géométrale A/4 D'/4 représente la ligne perspective A/4 E'; mais BE est parallèle à A/4 E', et BH est parallèle à A/4 D'/4, donc BH représente BE. Effectivement , si nous examinons les triangles EBC et CBH, ils sont semblables et égaux , car le côté BC est commun aux deux , la ligne CH est égale à CE; donc BH égale BE. En mesurant BH , on connaîtra la grandeur de BE ; pour cela , du point M , endroit où se trouvent placés les pieds d’une figure humaine, mener une horizontale indéfinie; sa rencontre avec la ligne EP donne I ; prendre la hauteur de la figure donnée et la reporter de I en J ; du point P et par le point J faire passer une ligne qui donne K à sa rencontre avec BC : la grandeur CK est égale à 5 pieds. En reportant celte mesure de S pieds sur BH, on trouve qu’elle y est contenue 4 fois, plus une fraction de 5 pieds , ce qui fait voir que la ligne B1I a 23 pieds ; donc son égale BE a 23 pieds.

Un angle vu accidentellement étant dessiné dans un tableau , on désire le rendre plus grand ou plus petit, c'est-à-dire agrandir ou diminuer son ouverture.

Fig. 120. Soit EBC l’angle accidentel donné.

Prolonger les côtés BC et BE jusqu’à l’horizon , ce qui donne les points A et A'; puis former l’angle ÂDA', comme dans les figures précédentes, et l’on reconnaît que l’angle EBC est droit. Si l’on voulait grandir cet angle

TRAITÉ

et le rendre obi ut , on pourrait arriver à ce résultat par deux moyens différents: le premier moyen est d'éloigner les points de fuite A et A' du point P , et de placer A en A" et A' fcn A'". Nécessairement la grandeur A" A'" étant plus grande que la grandeur AA', l'angle E'BC' est plus grand que l'angle EBG. Cette opération doit être employée, s’il y a déjà nn ou plusieurs objets réguliers déterminés dans le tableau; dans le cas contraire , on pourrait employer un autre moyen qui grandirait l’angle EBC sans rien changer à sa forme donnée; il suffirait pour cela de rendre la distance plus courte, en la rapprochant du point P. Exemple: si l'on rapproche la distance et qu’on la place au point D', si l'on joint les points A'IVA , on forme un angle qui est plus grand que l'angle A'DA construit à la première distance, parce que la grandeur d'un angle ne dépend pas de la longueur de ses cétés , mais de leur écartement. La première distance est anéantie par la nouvelle distance que l’on vient de prendre , attendu qu'il ne peut y avoir qu'une seule distance dans un tableau. Dès que l'on prend une distance plus courte que celle qui existait , on est censé se rapprocher : alors tout ce qui aurait été dessiné de la première distance devient nul.

On diminuera la grandeur de l’angle EBC en opérant par les moyens inverses de ceux que nous venons de donner, c'est-à-dire en rapprochant les points A et A' du point P , ou bien en grandissant la distance , que l’on placerait alors au point D".