TB VITE

Du point M menez une ligne indéfinie MC . formant un angle quelconque avec MB; prenez la grandeur ON el reporlcz-la de M en E; prenez aussi la grandeur IVR , et reportez-la de E en G ; ouvrez le compas de la grandeur MG , plaçant une de ses pointes au point E, l’autre donne le point H ; plaçant de même cette pointe au point G , l'autre donne le point I, etc ; on obtient de même les points J, K . L, etc. Par ce moyen on n'a pas besoin d’ouvrir et de fermer le compas pour chaque division. Ces points obtenus , joignez le point L, dernière division , avec le point B , extrémité de la ligne donnée ; puis des points K , J . I , H , G , E. menez des parallèles à LB: elles diviseront MB en sept parties proportionnelles aux grandeurs données RN , NO , etc.

Pour obtenir un angle égal à un angle donné.

Fig. 23. L’angle A étant donné, on propose d'en tracer un autre ayant une même ouverture à l’extrémité D de la ligne DE.

Des points A et D comme centres , et d’un même rayon pris à volouté, décrire deux arcs de cercle BC , EF ; prendre la grandeur de l’arc BC et la rapporter de E en F, joindre les points DF, et l'angle EDF est égal à l'angle BAC.

On peut obtenir le même résultat en se servant du preneur d’angles. Pour cela , on place un de ses côtés tout près et pour ainsi dire touchant la ligne BA, puis on ouvre ce preneur d'angles jusqu'à ce que son autre côté recouvre juste la ligne AC ; reporter le preneur d’angles de manière que l'un de ses côtés soit tout près de la ligne ED, le point D étant correspondant au point A; alors on pourra tracer la ligne DF , qui formera l'angle EDF et le déterminera égal à l'angle BAC. Ce moyen peut aussi servir à mener une ligne oblique DF , parallèle à une oblique AC.

Diviser un angle en deux angles égaux.

Fig. 24. Soit l'angle A que l'on veut diviser.

Du point A comme centre, et d’un rayon pris à volonté, décrire l’arc BC ; des points B et C comme centres, et d'un même rayon . décrire deux arcs qui se coupent en E, joindre les points AE par une ligue qui divisera l'angle BAC en deux angles égaux.

Un eût é étant donné, construire un triangle équilatéral.

Fig. 13. Soit AB le côté donné.

Des points A et B comme centres, et d'un rayon égal à AB , décrire deux arcs qui se coupent en C, et mener les lignes AC, BC ; le triangle ABC sera un triangle équilatéral.

I)E PERSPECTIVE PRXTIQtE.

Pour construire mi triangle Isocèle, les deux grandeurs des cdlés étant données.

Fig. 44. Soit donnée la ligne MN pour longueur du plus petit côté , et MO grandeur des deux côtés égaux.

Des points M , N comme centres , et d'un rayon égal à MO , décrire deux arcs de cercles qui se coupent en O; joindre ce point avec les points M , N , et on aura obtenu le triangle isocèle.

Pour construire un carré sur un côté donné.

Fig. 15. Soit RV le côté donné.

Des points R et V, base du carré, élever des perpendiculaires indéfinies par le moyen de la règle et de l’équerre , ainsi qu'on l'a vu page 7 , fig. 19. Puis , des mêmes points R et V comme centres , et d'un rayon égal à leur écartement, décrire deux- arcs de cercle; leur rencontre avec les perpendiculaires donne les points T , X , que l'on joindra par une ligne droite; le carré est complètement construit.

Construire un rectangle, deux côtés étant donnés. —

Fig. 16. Soient AC et AB les deux côtés donnés.

Du pointe , élever une perpendiculaire , prendre la grandeur AB et la reporter de C en D , puis joindre les points B, D et le rectangle est complet.

Mais si les lignes données étaient isolées l’une de l’autre , des points A et C on élèverait des perpendiculaires , etc.

Pour déterminer la surface d’un petit tableau proportionnellement à celle d'un grand tableau donné , la largeur du petit tableau étant aussi donnée.

Fig. 25 et 20. Soit ABCD le grand tableau, et KLNM le petit.

Mener la diagonale DB , prendre le côté donné , la largeur KL , du petit tableau , et le reporter de D en E; du point £ élevant une perpendiculaire jusqu’à la rencontre de la diagonale, on aura le point II ; la grandeur EH est la hauteur du petit tableau.

Donc , pour diminuer le petit tableau , il faut reporter la hauteur EH de K en P et de L en R; les points PR étant joints, on a la surface KLRP, qui est dans les proportions de celle du grand tableau.

Cette opération est d'un grand secours pour les cas de réductions; la grande justesse qu’il faut de rigueur obtenir, ne peut avoir lieu si le petit tableau n'est pas parfaitement en proportion avec le grand.

TRAITÉ

Une esquisse faite sur une petite toile étant terminée, on propose de la reporter sur une grande.

Fig. 27. Soit DEHL la surface de la petile toile sur laquelle on a fait une esquisse d'après nature ; DC est la grandeur de la base de la grande toile ; il faut trouver sa hauteur.

Prolonger indéfiniment la base du petit tableau , ou pour mieux dire son côté DE, reporter la grandeur donnée du grand tableau de D en C, ce qui donne le point C; de ce point élever une perpendiculaire indéfinie, mener DH diagonale du petit tableau et la prolonger jusqu’à la rencontre de la perpendiculaire élevée de C , ce qui donne le point O ; la ligne CO est la hauteur de la grande toile ou autrement dit du grand tableau.

Celte opération s’exécute en général par terre. On couche horizontalement le petit tableau ; puis avec du blanc , on trace sur le parquet la ligne EC, prolongement de la ligne DE ; on trace la diagonale DO , ayant bien soin de la faire passer par le point H , et puis on élève la perpendiculaire CO , etc.

Lorsqu'on a une ligne droite à tracer d'une longueur telle que pour cet effet on ne peut se servir d'une règle , on emploie une ficelle que l'on frotte de blanc. Deux personnes tenant cette ficelle la placent aux deux points extrêmes de la ligne droite , et la tendent le plus fortement qu'elles peuvent ; alors l’une de ces personnes , saisissant la corde du bout des doigts, l'élève le plus possible , puis la laisse échapper ; en frappant avec force, la ficelle trace une ligne droite.

Lorsque l'on a des lignes à tracer sur un tableau , ce moyen est préférable à l’emploi d'un crayon blanc , qui peut contenir de petites parcelles de pierre et rayer le tableau.

Pour inscrire un carré dans un cercle.

Fig. 18. Mener deux diamètre^ perpendiculaires l’un à l’autre, leur rencontre avec la circonférence du cercle donne les points , A, B, E, D, joindre ces points par des lignes droites , elles formeront un carré.

Pour inscrire un cercle dans un carré.

Fig. 18. Mener les diagonales du carré BD , AE; de leur rencontre C abaisser une perpendiculaire sur le côté AB , ce qui donne F ; la ligne CF est un rayon du cercle que l’on veut inscrire ; alors du point C comme centre , et d'une ouverture de compas égale au rayon CF, décrire le cercle.

Pour circonscrire un cercle à un carré.

Fig. 18. Mener les diagonales BD , AE , leur rencontre donne le point C, centre du cercle ; CA , CB, etc. , sont des rayons; décrire le cercle autour du carré.

Pour diviser un cercle en quatre parties égales.

Fie. 18. Mener deux diamètres se coupant à angle droit , ils diviseront le cercle et sa circonférence en quatre parties parfaitement égales.

Pour diviser un cercle ou sa circonférence en huit parties égales.

Fig. 48. Après avoir divisé le cercle en quatre parties égales, diviser en deux les angles que forment ces diamètres, et le cercle se trouvera divisé en huit parties égales ; redivisant encore les angles en deux, on obtiendra le nombre seize, puis trente-deux, etc.

Pour construire un pentagone dans un cercle donné, ou pour diviser un cercle en cinq parties égales.

Fig. 28. Diviser le cercle en quatre parties égales au moyen de deux diamètres AB, IX, qui se coupent à angles droits ; diviser le rayon OB en deux parties égales ; puis, de son milieu C, et d’une ouverture de compas égale à CX, décrire un arc de cercle XH; alors, de X comme centre, et d'un rayon égal à l'arc XH , décrire un nouvel arc HD, ce qui donne le point D : la portion DX de la circonférence du cercle donné en est juste la cinquième partie. Donc, si l’on prend celte longueur DX et qu'on la reporte successivement sur la circonférence du cercle de D en P, de P en L, de L en U et de U en X, celte circonférence se trouvera divisée en cinq parties et formera un pentagone régulier.

Sur un côté donné, construire un pentagone.

Fig. 29. Soit MN le côté donné.

Pour construire ce pentagone, il faut, de rigueur, un établir un à part, comme le pentagone de la fig. 28, c’est-à-dire tracer un cercle et diviser sa circonférence en cinq parties égales. Il faut suivre l'opération sur ces deux figures 28 et 29.

Des points M et N comme centres, et d’un même rayon pris à volonté, décrire les arcs de cercle EK, GF; puis, de la même ouverture de compas, décrire des points L et P comme centres, les arcs de cercle RY, SJ ; ceci fait, prendre la grandeur de l’ouverture des angles l'.LY, SPJ, ou, pour mieux dire, celle des arcs RY, SJ, qui est la même, et la reporter sur les arcs EK, GF, ce qui détermine les points K, F; si des points NK, MF, on fait passer des lignes droites, on aura les angles ENK, GMF, dont l'ouverture est égale à l’ouverture des angles RLY, SPJ, c’est-à-dire que ces quatre angles ont tous la même ouverture. Alors , prenant la grandeur du côté donné MN et la reportant sur les lignes NK, MF. on dé-

TRAITÉ

termine leur longueur aux points Q, V. Ces trois côtés étant déterminés, pour trouver les deux autres il faut seulement, des points Q et V comme centres, et d'une ouverture de compas égale au côté donné M\\ décrire deux arcs de cercle qui se coupent en T ; joindre les points OT, TV, et le pentagone est terminé.

liemarque. Un pentagone régulier a tous ses angles de même grandeur, c’est-à-dire ayant la même ouverture, de même que ses côtés sont égaux en longueur; tous les pentagones réguliers, quelle que soit la longueur de leur côté, ont donc les angles de la même ouverture ; il résulte de cette disposition que toutes les fois que l’on voudra établir un pentagone sur un côté donné, il faudra établir aux extrémités de ce côté donné des angles ayant même ouverture que ceux d’un pentagone que l’on trace par le moyen indiqué page 41, fig. 38.

Pour vérifier l'exactitude d’un pentagone construit d’après un côté donné.

Fig. 29. Soit MNQTV le pentagone trouvé.

Il faut diviser en deux angles égaux, avec le plus grand soin, les angles MNQ, NMV; les lignes qui divisent ces angles doivent à leur rencontre donner un point Z; de ce point, qui est le centre du pentagone, et d'un rayon égal à ZM. décrire un cercle qui doit passer exactement par les points N, Q, T, V; c'est la preuve de l’exactitude de l’opération qui a servi à tracer le pentagone.

Pour diviser la circonférence d'un cercle en dix parties égales.

Fig. 28. Le pentagone PLUXD étant trouvé, diviser chacun de ses côtés en deux parties égales. Le côté PL du pentagone fera les deux côtés LI et IP du décagone. Opérant de même pour les autres côtés, on obtiendra la division en dix, ou, autrement dit, on obtiendra un décagone.

Pour diviser la circonférence d’un cercle en six parties égales.

Fig. 30. Comme tout rayon d’un cercle est le sixième de la circonférence, on divisera toute circonférence en six au moyen du rayon.

Construire un hexagone, un côté étant donné.

Fig. 30. Soit AB le côté donné.

Des points A et B comme centres, et d'un rayon égal à leur écartement, décrire deux arcs de cercle, donnant le point C; de ce point comme centre, et du même rayon, décrire un cercle; le côlé AB sera contenu six fois dans la circonférence de ce cercle.

DE rF.RSrtr.TIVK PRATIQUE.

Construire un octogone, un côté étant donné.

Fig. 31. Soit AB le côté donné.

Des points A et B comme centres , et d'un rayon égal à leur écartement, décrire deux arcs de cercle, donnant le point C; diviser l'arc AC en six parties égales, prendre deux divisions et les reporter à partir du point C au point D; du point D comme centre, et d'un rayon égal à DA , décrire un cercle; la ligne AB doit être contenue huit fois dans ce cercle.

Remarque. Si l'on avait reporté trois divisions, on aurait eu le centre d’un cercle dans lequel la ligne AB aurait été contenue neuf fois. Si l’on avait reporté quatre divisions, on aurait eu le centre d'un cercle dans lequel la ligne AB aurait été contenue dix fois, et ainsi de suite.

Pour retrouver le centre d'un cercle.

Fig. 32. Prendre à volonté sur la circonférence les points A, B, O, joindre ces points par les lignes AB, BO, diviser la ligne AB en deux parties égales, par la ligne FG; prolonger cette ligne indéfiniment; ensuite diviser la ligne BO en deux parties égales, par lu ligne ED; la rencontre de cette ligne avec la ligne FG donne le point C, qui est le centre du cercle donné.

Cette opération peut aussi servir à trouver le centre d'un arc de cercle, et à faire passer un arc de cercle ou un cercle par trois points donnés.

La larneur el la hauteur iTuu arc de cercle étant données, le décrire.

Fig. 53. Soient AO la largeur, et XB la hauteur données. Diviser la ligne AO, corde de l'arc, en deux parties égales, ce qui donne le point X; reporter sur une perpendiculaire élevée de ce point, XB hauteur de l'arc; puis mener les lignes AB, BO, que l'on divisera en deux parties égales, comme è la figure précédente, par les lignes FG et ED. Le prolongement de ces deux lignes détermine le centre C, duquel on doit décrire l’arc ABO.

Pour décrire une ogive dont la hauteur est égale A la largeur.

Fig. 13. Soit donné AB pour largeur de l’ogive.

Des points A. B comme centres, et d’une ouverture de compas égale à la grandeur de celle ligne, décrire deux arcs de cercle ; la rencontre de ces arcs donne le point C et termine l'ogive.

Pour décrire une ogive dont la hauteur excède la largeur.

Fig. 31. Soit MN la largeur de l'ogive, et PX la hauteur.

Joindre les points MP par une ligne droite, et diviser cette ligne en

14 TRAITÉ

deux parties égales par une perpendiculaire, se rencontrant avec le prolongement de la ligne MN, au point Z; de ce point comme centre, et d'un rayon égal à ZM, décrire l'arc ou côté de l'ogive MP ; reporter ensuite la grandeur MZ en NR; du centre R, on décrira l'arc PN, dernier côté de l'ogive.

Par un point donné sur la circonférence d'un cercle, mener une tangente S ce cercle.

Fig. 35. Soit A le point donné.

Du pointe, centre du cercle, et par le point A , faire passer une ligne indéfinie ; prendre la grandeur du rayon CA et la reporter de A en B; des points C et B comme centres, et d'un rayon plus grand que la moitié de cette ligne, décrire deux arcs qui se coupent en D et E; en joignant ces points par une ligne droite, on aura la tangente au cercle par le |>oint donné.

Un cercle élant donné ainsi qu'une ligne qui lui est tangente, trouver le point de contact.

Fig. 55. Du point C, centre du cercle, et d’une ouverture de compas plus grande qu’un rayon du cercle, décrire un arc de cercle qui, à la rencontre de la tangente, donne les points X, V; de ces points, et de la même ouverture de compas, décrire deux arcs qui donnent le point Z; joindre ce point avec le point C par une ligne droite , qui donne le point de contact au point O.

Construire une ellipse, sa longueur et sa largeur (tant données.

Fig. 3 6. Soit AB la longueur, cl CD la largeur de l'ellipse, c'est-à-dire le plus grand et le plus petit diamètre.

Prendre CE, moitié de CD, et reporter cette grandeur de A en O; diviser en trois parties égales OE, différence des deux demi-diamétres; prendre une de ces divisions et la reporter de O en I; des points I et A comme centres, et d'un rayon égal à leur écartement, décrire deux arcs qui se coupent en G et en K; du point B comme centre, et du même rayon, décrire un arc indéfini qui donne le point F; de ce point et du même rayon décrire un arc de cercle qui s'arrête aux points H, L, ce qui termine les deux extrémités de l'ellipse. Pour décrire le reste de sa circonférence, des points G et H comme centres, et d'un rayon égal à leur écartement, décrire deux arcs qui se coupent en M; de ce point M et du même rayon décrire l'arc GCII, ce qui termine un côté de l’ellipse; ensuite des points K, L, et du même rayon, décrire deux arcs de cercle qui se coupent en N; ce point est le centre de l'arc KDL; décrire cet arc, ce qui termine l'ellipse.

Remarque. — Ce moyen de décrire l'ellipse sert à tracer les courbes à

trois centres, employées fréquemment dans l'architecture gothique; les peintres en miniature sc servent continuellement de cette opération pour rectifier l'ellipse qui doit limiter leurs portraits.