III. - PLANS ET CERCLES

à recevoir l’ellipse , et l’on ouvre le couvercle à volonté, par exemple de A en D. Pour trouver le côté opposé de ce couvercle , on prolonge la ligne PB et la ligne GA.; du point D, on abaisse une perpendiculaire jusqu’au point K; on tire la ligne horizontale KM, et le point R doit être placé perpendiculairement sur M.

Ouvrir une porte vue de profil.

Soit l’ouverture de la porte ABcE (fi g. 5); la porte, en s’ouvrant, décrit un demi-cercle sur le plancher et un autre en haut. Commençons par le cercle décrit sur le plancher.

La ligne AF représente AE, c’est-à-dire, la largeur véritable de la porte. Ayant le carré AFGE, moitié de celui où doit être inscrit le demi-cercle, on prolonge les lignes GF, EA, à l’infini; on tire une ligne du point de distance passant par le point E jusqu’au point K d’intersection avec la ligne GF prolongée, et la ligne HK termine le carré qui reçoit la moitié de l’ellipse.

Pour trouver celle du haut de la porte, on tire les lignes horizontales BAI, SL; du point G, on élève une perpendiculaire jusqu’au point d’intersection L; du point H, on élève une perpendiculaire jusqu’au point N, sur le prolongement de SB; on conduit au point de vue la ligne LO ; on tire la ligne horizontale NO , et l’on a le carré NOLS qui doit recevoir la demi -ellipse que la porte doit parcourir.

Ouvrir une porte vue de face.

Soit l’ouverture de la porte abce (fîg. 6): pour trouver le demicercle que la porte doit parcourir sur le plancher et qui devient une demi-ellipse, on prolonge la ligne horizontale ae et l’on prend eF égale à ae; on tire au point de vue les lignes aH, eN et FG. Par le point de distance, on trouve a\\ égal à UN, et l’on a le carré «F1GF, dans lequel on inscrit la moitié de l’ellipse que la porte doit parcourir.

Pour trouver celle du haut, on reporte cK égal à bc\ on tire au point de vue les lignes bf cM, KL; des points H et G, on élève des perpendiculaires jusqu’aux points d’intersection J et L et l’on a le carré J£KL, dans lequel on inscrit la demi-ellipse que le haut de la porte doit parcourir.

Des échelles de proportion.

PI. XVI. — On donne le nom d’échelle fuyante ou d’ élévation aux constructions suivantes.

On prend un certain nombre de divisions sur la ligne de terre ou sur la hauteur du tableau, toujours sur le premier plan. De toutes ces divisions on tire des lignes à un point quelconque de l’horizon. Ces échelles se placent toujours perpendiculairement ou parallèlement à la ligne d’horizon et à la ligne de terre; elles peuvent être établies indifféremment h droite ou à gauche du tableau, en haut, en bas, en dedans ou en dehors.

Ainsi soit (fig. i) l’échelle AH ou hauteur du tableau divisée en onze parties. On fait concourir toutes ces divisions au point de concours que l’on se donne L; en supposant que la portion Am soit égale à un pied , ah, cd , ef, auront un pied.

On établirait de même les échelles BA , ED, DC, MN, ayant pour points de concours F , S, G, R. Mais comme les bases de ces échelles BA, ED, DG, MN, sont égales à Am, on aura les lignes mn, ol , kg, gh,pr, égales à ab. Il en est de même de cd , ef, à l’égard des parties correspondantes dans les autres échelles.

Mettre en perspective des oiseaux et des nuages au moyen d’échelles

fuyantes.

■ ;:L AK 'Jj , c - , ■ u\ : ii.-

Ayant pris à volonté (fig. 2) l’envergure du premier oiseau; des extrémités h, n, de ses ailes, on tire des lignes à un point de l’horizon ou au point de vue; ces deux lignes formeront un angle qui

PLANS ET CERCLES

donnera la diminution des oiseaux plus éloignée , quelque soit le plan qu’ils occupent sur le tableau.

Si, par exemple, on veut placer un oiseau au point G; de ce point on tire une ligne horizontale qui coupe l’échelle aux points g, h , qui donneront gh, représentant l’envergure de l’oiseau. On pourra reporter cette largeur sur la ligne horizontale Gh, à partir de quelque point que l’on voudra.

Trouver la hauteur à donner à une figure placée sur un monument d'une élévation connue , de manière à ce que, d'en bas , elle paraisse de grandeur naturelle [cinq pieds, par exemple).

Soit prise pour monument la colonne GII 'fîg. 4) ; soit ej l’observateur. Si la colonne se trouve sur un espace fermé, sur une place, par exemple, on calcule la plus grande distance à laquelle peu! se mettre l’observateur, sur cette place, et l’on compare cette distance à la hauteur de la colonne. Ici ea égale à-peu-près GH; on se donne à la base de la colonne, sur le plan de l’observateur, la ligne ab égale à la hauteur que l’on veut que la figure paraisse avoir , par exemple , cinq pieds. Avec le rayon fa, partant de l’œil de l’observateur, on décrit un arc de cercle; du point/’, œil de l’observateur, au point m sommet de la colonne et base de la figure, on tire une ligne qui coupe l’arc de cercle en c ; à partir de ce point c, on prend cd égale à ab\ du point f au point d, on tire une ligne que l’on prolonge jusqu’à la perpendiculaire que l’on éleverait du point m, et ml sera la hauteur demandée.

Trouver par une échelle la diminution des figures placées à des hauteurs et à des distances ou profondeurs différentes.

Soit EF (fig. 5) l’observateur : sur l’échelle d’élévation RD, on se donne RT égal à EF; on reporte cette hauteur, sur l’échelle RD , autant de fois que l’on veut de figures, et l’on fait concourir toutes ces divisions au point F, œil de l’observateur; de ce point, avec le rayon FT, on décrit un arc de cercle qui coupera en des points R ,

L,P,N,U, les lignes qui concourent en F. Maintenant si l’on veut sur les lignes horizontales partant des points 7, 8,9, 10, des figure" toutes de grandeur égale à EF, on prend rs égal à KL, tu égal à LP, pu égal à PN,#z égal à NU ; comme KL est plus grand que LP, que LP est plus grand que PN, etc., de même rs sera plus grand que tu, tu (pie pu, etc., et les figures paraîtront diminuer à proportion de leur élévation.

Les quatre figures, dans la démonstration précédente, étaient supposées toutes sur le même plan.

Pour trouver la diminution que chacune d’elles devrait subir si elle se trouvait transportée sur un plan plus éloigné, mais étant toujours tenue à la même hauteur, on opérerait de la manière suivante : des deux extrémités p et n de la figure pu, par exemple, on tire des lignes pS, /iS à un point quelconque de la ligne d’horizon , et l’angle pS/t donnera, comme on l’a vu, la diminution des hauteurs de la figure, à mesure quelle s’éloigne.

Mettre en perspective des cercles de même diamètre , placés les un s au-dessus des autres et horizontalement.

Pl. XVII. — Le carré ABEC (fig. 1) étant donné, on élève les perpendiculaires AF, BG, CH, EJ; on divise AF en autant de parties que l’on veut de cercles; on tire les lignes horizontales KL, PR, ST , FG; 011 conduit au point de vue les lignes KM, LN, et l’on a le second carré KLNM. On fait de la même manière les autres carrés.

Dans chacun de ces carrés, on fait une ellipse par le moyen indiqué (Pl. XIV, fig. 3); ces ellipses représenteront les cercles demandés. On voit que plus les cercles sont près de la ligne d’horizon, plus ils sont fermés. Si ST était juste à la hauteur de l’oeil de l’observateur ou sur la ligne d’horizon, le cercle placé en ST ne présenterait à l’œil qu’une ligne droite.

TU. - PLANS ET CERCLES

Représenter un puits en perspective.

Pour meltre en perspective les cercles formés par les assises des pierres du puits; on ne se servira pas de la construction précédente (fig. i); il y aurait une trop grande quantité de lignes d’opération. On aura recours à une échelle d’élévation que l’on place dans le tableau , plus ou moins près de l’objet que l’on veut mettre en perspective; le point de concours de cette échelle est placé a volonté sur l’un des points de la ligne d’horizon.

L’ellipse ABCE (fig. 2) étant donnée , soit EK. la hauteur du puits. On se donne l’échelle cib égale à EK. On fait concourir a et b à un point W de l’horizon ; on tire, des points Cet B , des lignes horizontales qui donneront les points d’intersection e,f, d'où l’on abaisse les perpendiculaires ec ,fg. On divise ah en autant de parties que l’on veut de pierres dans la hauteur du puits; des points de division n , h, ]i , on tire des lignes au point de concours; des points /, h , on tire des lignes horizontales qui donnent les points d’intersection G et R; le point F se trouve par le prolongement dey’G. Parles trois points F, R , G, on fait passer la moitié d’une ellipse, et en conduisant des lignes horizontales des points l, n,o, b, g, à des points d’intersection J, S, M, T, P, K; on aura les ellipses qui représentent les cercles demandés. En effet, cb étant égale à l’ouverture du cercle KX, de même np } km, hi , seront égales aux cercles LM, I i J , FG.

Pour éviter la grande quantité de lignes d’opération qui pourraient se confondre avec les lignes à conserver , on démontre séparément la manière d’inscrire le petit cercle de l’ouverture du puits dans le cercle extérieur.

Ainsi (fig. d) , le cercle perspectif abce étant donné; sur le grand diamètre a b , on prend à volonté le diamètre f g. Par les points f et g , on tire au point de vue les lignes ok , jl, qui coupent en des points m,n}r,s , les diagonales du carré dans lequel on peut conce-

voir inscrits le grand cercle ou la grande ellipse, et ces points m, n. r, s, donnent le carré qui doit recevoir la petite ellipse.

Si l’on veut placer une marche au bas du puits (fig. 2;, il faut tracer encore une double ellipse. O11 prolonge le diamètre NP, des deux côtés, et l’on prend à volonté la largeur IN ; et, pour trouver l’ellipse I«D, on procède comme précédemment (fig. 3), avec cette seule différence que, dans le cas précédent, le grand cercle étant donné, on trouvait le plus petit. Ici le plus petit étant donné, il s’agit de trouver le plus grand.

Pour trouver l’épaisseur de cette marche, on se donne la hauteur yu à volonté. Du point u , on tire une ligne horizontale jusqu’au point d’intersections, sur le prolongement de la ligne cb. Du point s , on abaisse la perpendiculaire st égale kyu y du point t, on tire une ligne au point de concours W. Du point D , on abaisse la perpendiculaire DO égale à rg ; mais comme rg est plus petit que st , DO sera plus petit que yu.

Pour trouver la diminution des pierres et la place des perpendiculaires données par leurs jonctions, on décrit (fig. 4)? au-dessus de l’ouverture du puits, un demi-cercle, dont le diamètre EF égale AC ; on divise ce demi-cercle en autant de parties que l’on veut de pierres ; des points de division 1,2, 3, 4, 5, etc., on abaisse des perpendiculaires qui coupent AB aux points 6, 7, 8, 9, etc. On tire des lignes de ces points à un point de concours G, toujours placé sur l’horizon, et au milieu de AB. On aura les points g et h ,y et s, k et s , texn, rn et « , etc. De ces points on abaisse des perpendiculaires qui forment les pierres : celles qui constituent l’épaisseur concourent au point Z (fig. 2) , et celles qui forment le dessus de la marche concourent au point 8.

Il est aisé de voir (fig. 5) que cette démonstration peut s’employer pour mettre en perspective les douves d’un tonneau.