III. — ANALYSE ET SYNTHÈSE RATIONNELLES

L'analyse et la synthèse, appliquées aux sciences abstraites, opèrent sur des idées, sur des vérités générales. On les nomme alors méthodes géométriques. C'est en ce sens qu'elles étaient comprises et pratiquées par les anciens jusqu'à Condillac.

A) Synthèse rationnelle : c'est la marche progressive de la pensée allant du principe à la conséquence, de la condition au conditionné. — La synthèse en Mathématiques consiste « à partir de propositions reconnues vraies et à en déduire d'autres comme conséquences nécessaires; de celles-ci de nouvelles, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne à la proposée, qui se trouve alors reconnue elle-même comme vraie. Elle n'est donc autre chose qu'une méthode de déduction {}) >'.

B) Analyse rationnelle : c'est la marche régressive de la pensée remontant de la conséquence au principe, du conditionné à la condition. — « Si l'on n'aperçoit pas de quelles propositions connues » une proposition à démontrer « pourrait être déduite, on cherchera de quelle proposition non admise elle pourrait l'être, et alors la question sera ramonée à démontrer la vérité de cette dernière. Si celle-ci peut se déduire de propositions admises, elle sera reconnue vraie, et par suite la proposée ; sinon, on cherchera de quelle proposition non encore admise elle }>ourrait être déduite, et la question sera ramenée à démontrer la vérité de cette dernière. On continuera ainsi jusqu'à ce que l'on parvienne à une proposition reconnue vraie, et alors la vérité de la proposée sera démonlrée. On voit donc que cette méthode, que l'on appelle analyse, consiste à étabhr une chaîne de propositions commençant à celle cju'on veut démontrer, finissant à une proposition connue, et telles qu'en partant de la première, chacune soit une conséquence nécessaire de celle qui la suit ; d'où il résulte que la première est une conséquence de la dernière, et par conséquent vraie comme elle. L'analyse n'est donc autre chose qu'une méthode de réduction (-) »... « D'oîi Ton voit que, si l'on connais-

(') Duhamel, Des Méthodes dans les sciences de raisonnement, I" P., Ch. vi, n. 39. (») Duhamel, Opère cit., I" P., Ch. v. n. 25.

sait la démonstration analytique d'un théorème, on en obtiendrait immédiatement la démonstration synthétique en renversant l'ordre des propositions (') «.

C) Exemple : soit à mesurer l'aire d'un triangle :

Jo) Analytiqiiement : on partira de la question posée. On montrera que l'aire du triangle est la moitié de l'aire du parallélogramme de même base et de même hauteur ; puis on fera voir que l'aire du parallélogramme est elle-même égale à celle du rectangle de même base et de même hauteur ; enfin, si l'on sait que l'aire du rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur, on en déduira immédiatement celle du triangle : HB

2») 8ynthétiquement : le point de départ est une vérité évidente ou démontrée. Ici, on partira de Faire du rectangle ; puis on déduira l'aire du parallélogramme et enfin de l'aire du parallélogramme on déduira celle du triangle. C'est l'analyse renversée {^).

Ce « renversement » des propositions est possible dans le raisonnement mathématique, parce que les propositions expriment toujours des égahtés. La conclusion d'un raisonnement géométrique a la même extension que les prémisses. Aussi je puis dire : A = B, or B = C, donc A = C ; ou bien : si A = C, et si B = C, c'est que A = B. Dans le premier cas, A = C est la conséquence de A = B ; dans le second, A = B est la conséquence de A = C (^).

(M Duhamel, Op. cit., I" P., Cli. vi, n. 39. — Cf. Laplace, Expositiondu système du monde, p. 465-469 (Édit. CtAuthier-Villars, T. VI).

{-} « Dans l'analyse, a dit Descartes, on déduit de l'inconnu le connu, en traitant l'inconnu comme connu et le connu comme inconnu. » Dans la synthèse, on déduit du connu l'inconnu, en traitant le connu comme connu et l'inconnu comme inconnu.

(^) Analyse des anciens géomètres : il ne faut pas la confondre avec l'analyse des géomètres modernes, telle qu'elle a été exposée ci-dessus. Attribuée à Platon, cette méthode a été employée par Euclide et exposée par Pappos, au VII'= Livre de ses Collections mathématiques. Voici la définition donnée par Pappos : « Supposant vraie la chose en question et regardant comme vraies les conséquences qui s'en déduisent, comme elles le sont en effet d'après l'hypothèse, nous avançons jusqu'à ce que nous parvenions à quelque chose de connu. Si cette chose est vraie, la proposée le sera aussi ;... mais si nous sommes parvenus à une chose reconnue fausse, la proposée sera fausse elle-même. » Il explique le nom en disant : « Nous appelons cette méthode analyse, comme pour dire solution à rebours. » F'/jv TO[auTv)v è'cpcîov dvaXuiJtv xaÀoi»;ji,£v, olov àvaTraXtv Xudtv. Cette méthode consiste donc à supposer comme vraie la chose en question, à en déduire les conséquences et à l'admettre elle-même comme vraie si l'on arrive à une conséquence reconnue comme vraie. C'est une régression par déduction.

Ce n'est pas une méthode rigoureuse, car la vérité de la conséquence ne prouve pas nécessairement la vérité du principe, puisque, selon la remarque d'ARisTOTE (Topiques, L. VIII, C. X, § 7), du faux on peut déduire le vrai (vg. Tous les hommes sont savants ; Donc quelques hommes sont savants). Pour rendre cette méthode concluante, il faut, comme l'avait déjà noté Leibniz {Nouveaux essais sur l'entendement humain, L. IV, Ch. xvii, § 6), que « les propositions soient réciproques», c'est-à-dire qu'en partant de la conséquence reconnue vraie on puisse en déduire la proposition en question qu'on avait supposée vraie. Alors c'est une méthode démonstrative, car du vrai on ne peut déduire que le vrai. Mais ce renversement des propositions n'est pas toujours possible.

D) Comparaison : Fanalyse est généralement mieux appropriée que la synthèse à la résolution des problèmes ou à la démonstration des théorèmes. En effet, dans l'analyse, le point de départ est nettement connu : c'est le problème à résoudre ou le théorème à démontrer. « On ramène le problème proposé à un second, celui-ci à un troisième, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne à un problème qu'on sache résoudre {^) », S'il s'agit d'un théorème, on ramène la question proposée à une autre proposition déjà démontrée, de laquelle on puisse la déduire. Il y a bien quelque incertitude pour trouver à quel problème ou à quel théorème il faut rattacher la question à résoudre, mais elle est beaucoup moins grande que si l'on se sert de la synthèse. Soit par exemple un théorème à démontrer synthétiquement : dans ce cas, quel théorème faut-il prendre pour point de départ afin d'en déduire le proposé ? Qu'on en choisisse un, nouvel embarras. En effet d'un théorème admis on peut déduire plusieurs conséquences différentes, et de chacune d'elles une série d'autres : laquelle choisir pour arriver au but ? Et ainsi, à chaque pas, même incertitude pour s'orienter. On peut donc tâtonner longtemps sans résultat. — Mais, une fois la découverte faite analytiquement, la synthèse est la méthode la plus apte pour l'enseigner {^) {infra, § vu).