SCIENCES EXACTES

Les mathématiques doivent leur caractère d'exactitude : I. — A la nature de leurs objets : en eiïet, ces objets, les nombres et les figures, sont des constructions idéales, faites avec des éléments simples et peu nombreux. Ainsi les nombres, objets de l'arithmétique, ne sont^pas extraits empiriquement de la multitude des choses sensibles ; ils sont construits a priori en partant de l'unité. Les figures, objetsdelagéométrie, ne sont pas non plus extraites empiriquement des formes des choses sensibles ; elles sont construites a priori avec ces seuls éléments, l'espace, le point et le mouvement dans l'espace (58, § III). Les objets des sciences

(M Pascal, De l'esmil géométrique, 1" Fragment. Édit. Havet, T. II, p. 282 ; 280. Paris, 1866".

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mathématiques sont donc idéaux : ils sont construits par elles-mêmes au moyen des définitions. Il n'y a pas à se demander si les définitions correspondent bien aux choses, si elles sont parfaites : les définitions sont les choses mêmes. — De plus, ces objets étant purement idéaux, restent toujours identiques et fixes : c'est ainsi que telle partie de l'espace est absolument homogène par rapport à n'importe quelle autre partie ; <lans quelque combinaison qu'on fasse entrer un ncmbre et une figure, leurs propriétés restent invariables, parce qu'elles dérivent de leur construction même. Il n'y a donc pas place pour Verreiir. Il n'y en a pas non plus pour V ignorance, car l'esprit en présence d'objets idéaux, que lui-même a créés et dont toutes les propriétés découlent de la loi de leur génération, peut en acquérir une connaissance adéquate.

Les autres sciences, au contraire, trouvant leur objet tout fait dans la réalité, et cet objet formant un ensemble complexe de qualités variées et changeantes, arrivent plus difficilement à le connaître d'une façon certaine et parfaite.

IL — A la rigueur de leur méthode : la démonstration est le syllogisme du nécessaire (59, § D). Si l'on emploie la méthode analytique, on ramène la question posée à une proposition déjà connue comme nécessaire d'où l'on puisse la déduire. Si l'on adopte la méthode synthétique, on part d'une proposition nécessaire, d'où l'on déduit logiquement la proposée. Dans un cas comme dans l'autre, la conclusion participe à la nécessité des propositions qui ont servi de principes à la démonstration.

III. — A la possibilité de représenter les quantités de toute espèce par un petit nombre de signes très simples et très clairs, et d'opérer sur ces signes comme si on opérait sur les choses mêmes.

Conclusion : ce caractère exact des Mathématiques tient surtput à la nature de leur objet qui est purement idéal, abstrait, aussi éloigné que possible du réel. Ce n'est pas à dire que les autres sciences ne puissent arriver à des résultats aussi certains : vg. je ne suis pas plus certain de l'égalité des rayons d'un cercle que de l'existence de l'Amérique. Mais : a) leur certitude est plus difficile à acquérir, à cause de l'extrême complexité de leur objet ; — è) la certitude des sciences morales est d'une nature différente (119).