A. — AVANTAGES

I. — Plus que toute autre science, les Mathématiques font acquérir à l'esprit des habitudes de précision, de clarté et de rigueur [^), parce que :

(M Herschel, Discours sur la philosophie nalurelle, n. 15 et s.

(61) LES MATHÉMATIQUES ET LA FORMATION DE l'eSPRIT 641

a) Elles s'appuient sur des principes absolument certains : d'une part les axiomes, qui ont la même nécessité évidente que le principe d'identité d'où ils dérivent ; — d'autre part les définitions, qui sont absolument rigoureuses, puisque, engendrant les objets eux-mêmes, elles leur sont adéquates.

h) Elles emploient la méthode démonstratwe^ qui est une suite de déductions partant de principes nécessaires et aboutissant à des conséquences nécessaires.

II. — D'après Hamilton lui-même i}), qui a fait d'une façon trop sévère le procès des mathématiques au point de vue de leur valeur éducative, leur étude peut fortifier « l'habitude de l'attention soutenue ».

III. — Le calcul des probabilités affine ce que d'Alembert nomme « Vesprit de conjecture^ plus admirable quelquefois que l'esprit de découverte (^) ».

IV. — Les Mathématiques supérieures et même élémentaires ont sans cesse besoin de l'imagination pour leurs constructions idéales et la solution des problèmes ; elles contribuent à la développer en la réglant.

V. — Elles s'élèvent jusqu'au beau (^). Quand elles présentent une série bien ordonnée de déductions rigoureuses, c'est la splendeur du vrai qu'elles offrent alors à l'admiration de l'esprit. ■ — Les démonstrations mathématiques peuvent avoir encore une autre qualité esthétique, qu'on nomme Vélégance. Elle a pour conditions la brièveté^ la clarté et la simplicité.

VI. — (c Par son impeccable méthode de démonstration, par l'enchaînement rigoureux des déductions, par la précision d'un langage où il n'y a jamais de doute sur le mot qui convient le mieux, par l'usage constant de ces figures où l'on suit pas à pas le développement d'une idée, sans risquer de perdre de vue la réahté, la Géométrie constitue pour l'esprit la plus salutaire des disciphnes. C'est une gymnastique constante qui impose à l'intelHgence la rectitude et ne lui permet jamais de s'égarer (^) ».

C) Hamilton, Fragments de philosophie, traduct. Peisse, p. 361. — Cf. S. Mill. Examen de la philosophie de Hamilton, ch. xxvii.

(') d'Alembert, Éléments de philosophie, Ch. v.

{') « Le savant digne de ce nom, le géomètre surtout, éprouve en face de son œuvre la même impression que Varlisie : sa jouissance est aussi grande et de même nature... Si nous travaillons c'est moins pour obtenir ces résultats positifs, auxquels le vulgaire nous croit uniquement attachés, que pour ressentir cette émotion esthétique et la communiquer à ceux qui sont capables de l'éprouver. » (Poincaré, Notice sur Halphen, Journal de l'École polytechnique, 1890, p. 143).

C) Albert de Lapparent, de l'Académie des Sciences, Science et Apologétique, Ch. I, I 4, p. 58, Paris, 190.5.

642 LES MATHÉMATIQUES ET LA FORMATION DE l'eSPRIT (61)