CHAPITRE XIX

de la nature, pas assez pour se confondre jamais avec la métaphysique, les mathématiques ont un objet à part qui peut toujours s'imaginer ou se compter, au moins en partie, et qui cependant obéit à des lois absolues. De là le caractère de leur méthode. Il peut sembler, à certains égards, qu'elle est expérimentale, parce que les notions premières des mathématiques, celles de nombre, de quantité, de distance, de centre, de figure, de plus et de moins, sont fournies par les sens. Mais il n'en est rien ; car ces notions ne deviennent les -principes des mathématiques qu'autant qu'elles^ passent des sens dans l'esprit. L'esprit seul conçoit K les définitions et les lois absolues qui règlent le monde V mathématique. Ayant connu ces lois, qui toutes sont fondées sur le principe de contradiction ou d'identité, par ex. : Le tout est plus grand que la partie. — Deux choses égales à une troisième sont égales entre elles. — Le plus court chemin d'un point à un autre c'est la ligne droite, etc., l'esprit déduit une à une et indéfiniment toutes les conclusions.

La méthode mathématique est donc principalement, ou du moins tout d'abord, déductive. Ce qu'on est convenu même d'appeler V analyse mathématique est une véritable ^^ déduction ; car on déduit non seulement en passant du tout à la partie, d'une loi à ses applications, mais encore '« en allant du même au même et en donnant par exemple à une équation toutes les formes possibles, de manière à mettre en évidence tous ses éléments, à l'effet de connaître les uns par les autres, c'est-à-dire de dégager X inconnue.

Néanmoins il serait injuste de conclure que la méthode des mathématiques est toute déductive. Aucune science complète, ni surtout aucune science particuUère et progressive ne se suffit avec la déduction ; à ce double titre il y a dans les mathématiques (et nous ne parlons plus des mathématiques élémentaires) -■

beaucoup de place pour l'induction, l'invention, l'intuition (1).

376. L'évidence mathématique. — On s'est demandé souvent à quoi tenait l'évidence invincible qui paraît être le privilège des mathématiques^ Remarquons d'abord que la plupart des conclusions mathématiques (nous parlons des conclusions plus ou moins éloignées et, par conséquent, d'une évidence médiate), ne sont rien moins qu'incompatibles avec toute espèce de doute. En réalité, il en est des

\* mathématiques comme de toutes les connaissances : elles

y sont faites de lumières et d'ombres. Citons, à ce sujet, Y un mathématicien qui mérite d'être écouté, tant pour sa valeur personnelle que pour avoir publié les travaux ou écrit la vie de savants illustres : « Dans les mathématiques, en définitive, conclut-il, il n'y a qu'un très petit nombre de propositions qu'on puisse énoncer d'une manière absolue ; les autres ne subsistent qu'avec un caractère relatif et sont ordinairement assujetties à de nombreuses restrictions. Tel était, en particulier, l'avis de l'illustre géomètre Augustin Cauchy, l'homme le mieux en mesure peut-être de savoir à quoi s'en tenir à ce sujet. Assurément, ces imperfections ne sauraient nuire en rien à la certitude légitime

y des mathématiques, mais il n'était pas inutile de rappeler que ces sciences elles-mêmes ont leurs obscurités et leurs

^ incertitudes, absolument comme les autres sciences (2) ». Remarquons ensuite que si les vérités mathématiques immédiates ou les plus clairement déduites comme 2+2=4 ou le théorème du carré de l'hypoténuse, ont une évidence particulièrement irrésistible, cela tient à ce que ces vérités sont sensibles, pour ainsi dire, à cause des grandeurs et des nombres qui en sont l'objet, au lieu que les vérités métaphysiques ou morales même les plus sim-

(1) Voir par ex. E. Borel, La logique et V intuition en mathématiques {Revue de métaph. et de morale, 1907, mai) ; — H. Poincaré, Les mathématiques et la logique, Ibid., 1905 nov. p. 815-835 ; 1906 janv., p. 17-34. y^(2) Valson, les Savants illustres, Discours prélim,, iv.

LOGIQUE

pies, échappent toujours au contrôle et à l'intuition des sens ; ce qui permet de les nier ou plutôt de paraître les nier, quelquefois impudemment. Mais il y a nombre de vérités de l'ordre moral qui ne le cèdent à aucune autre en évidence et qu'on ne peut nier que par un mensonge de mots et un jeu de l'esprit.

377. Méthode géométrique. — Parmi les mathématiques, la géométrie, avec sa méthode, mérite une attention spéciale. La démonstration géométrique a été prise pour modèle, et cela s'explique par ce qui vient d'être dit. Mais faut-il conclure avec Descartes, Spinosa, etc., que la méthode géométrique est universelle et qu'il faut l'imposer à toutes les sciences? On a vu, dans le chapitre précédent (no 368), que c'est là une erreur. Saint Thomas avait déjà fort bien aperçu et caractérisé cet abus de la méthode géométrique, cette tendance de certains esprits à vouloir tout traiter à la manière d'un calcul de nombres ou de figures : « Quelques-uns, écrivait-il, n'admettent rien qui ne leur soit dit mathématiquement; et c'est là un effet de l'habitude chez ceux qui ont été nourris dans l'étude des mathématiques, car l'habitude est une seconde nature. Mais cela peut provenir aussi d'un manque de capacité, chez ceux qui ont une imagination forte et une intelligence peu élevée (1). »

Après ces réserves on ne peut que souscrire aux règles que donne Pascal dans son petit traité de V Esprit géométrique.

Règles pour les axiomes. — 1*^ « N'omettre aucun principe nécessaire sans avoir demandé si on l'accorde, quelque clair et évident qu'il puisse être. » — 2° « Ne demander en axiomes que des choses parfaitement évidentes d'elles-mêmes. »

y__Règles pour les définitions. — \^ « N'entreprendre de

(1) /n lib. II Metaph. Lect, v. — Sur le mathématisme et ses abus. V. MoiSANT, La pensée philosophique et la pensée mathématique. Revue de philosophie, 1905, janvier p. 5-24 ; — février p. 135-148.