PO PO

ce qui montre que la position du point P' ne dépend que de celle du point P, et non de la direction particulière du rayon PI. Les prolongements géométriques de tous tes rayons réllécliis

passeront donc tous au ^ 5jg

même point P, comme

le représente la flgure 566. — Le point P* reçoit encore le nom de foyer du point P : il faut remarquer que, les rayons lumineux ne passant

pas par ce point, il est impossible d'en vérifier la posîtîoii oamme o pouvait le faire dans les cas précédents (718 et 720), au moyeD d^up écran. Mais, si Tœil est placé dans la direction des rayons perçoit ces divers rayons comme s ils émanaient du point F, c* qu'il voit un point lumineux en P'. Ce point prend alors ie nom de /sysvirttieL — Par opposition, on appelle foyerê réel» les points par lesqi^^ passent effectivement les rayons lumineux réfléchis dans les deux cas ptofcédents.

Inversement, si Ton recevait sur le miroir des rayons dont 1^^ directions allassent concourir au point P', les rayons réfléchis Tiendraient converger au point P, en avant de la surface réfléchissante. Us rayons suivraient alors une marche inverse de celle qu'indiquent ks flèches. Pour cette raison, on désigne encore le système des deux P et P sous le nom de foyers conjugués,

* 729. B«lAiloii mwnérlqve «ttee !«• distaiMCs ffoofeles J niellées. — Désignons parj9 la distance PO du point lunûneux au miitâr {figl 963), par f \k distance P^du miroir au foyer conjugué, et par R k rayon de courbure du miroir. En introduisant ces notations dans la reb*

p//\ pn

tion 'F;ç^=^ph'* <lont nous venons de démontrer la généralité, on a :

ou bien, en chassant les dénominateurs, et divisant ensuite tous les ter- .iics parle produit pp%

relation qui permettra, en général, étant donné un miroir sphérique de

rayon R et un point situé à une distance p sur Taxe de ce miroir, de

trouver la distance p' du miroir au foyer conjugué, ou réciproquement.

On voit que, si Ton fait/7=Qo , c'est-à-dire si Ton considère des rayons

incidents parallèles à Taxe principal, la formule (i) donne ;/=^: c'est la distance déjà obtenue (718) entre le foyer principal et le miroir. Si donc on désigne par /"la distance focale principale, on a -^ri; et la relation (i ) peut alors s'écrire :

En donnant à p diverses valeurs et discutant les valeurs correspondantes de p\ on retrouvera tous les résultats que nous avions obtenus par des considérations géométriques.

BlIROIRS COSC&VES.

Supposons un point himineuii (/if). 567), silué hors de l'axe principal du miroir, mais h peu de distance de cet axe. Joignons ce point au centre C, et soit B le point ou la droite ainsi menée rencontre la surface du miroir. Le miroir "*• ^■ oirranl, dans les points voisins de B, la même symétrie que dans les points voisins du sommet 0, on pourra appliquera cette droite tout ce qui aéléditde l'axe OC dans les paragraphes précédents; il en résulle.que tous les rayons partis d'un poini quelconque A de la droite AB se réuniront aprÉsréneiion,comraelemontrelangure567, enunroéme point A' silué sur cette droite; et qae, inversement, des rayons émanésdu point A'iraienl concourir au point A. — La droite ABsenommel'iuewcontJatre du point À, el le point A et A' sont deax (oyert conjugué* sur cet axe.

Cela posé, pour obtenir pnr une construction géométrique la position du foyer conjugué d'un .

point donné A, il suftit ' de construire un uul .

rayon lumineux réfléchi, j et de délerminerle point où il coupe l'axe secondaire AB. On choisit, en général, ceux de ces ■ rayons dont la construction est le plus simple à

effectuer. — Considé- ^'v- S**-

rons, par exemple, parmi les rayons incidents, le rayon AI (fig. ^6S) qui estparalléleà l'axe; on sait qu'il vient passer, après réflexion, par le foyer principal F; on trouToa donc le point A' en prolongeant IF jusqu'à sa rencontre avec AB.

- On peut aussi, au lieu *'

du nyon incideni parallèle à l'aie principal, employer le rayon incident

oa bPTlQOB.

Al'fjt^. M9), qui ptue lU foyer principal; c« rafon k réfléchit panJltie-

menli l'axe principal et coupe alors l'axe secondaire au point idierckéE*}.

lU. IWÊmtv» dca objets plaeéa dersat Ica Mlralra ■phtfvlmMC*

c«B««tT««- — SuppoMHis mainlenant qu'un objet de dimcDGions finies soit placé devant le miroir. — Pour construire l'image de cet objel. UsuFflra de détenniner, ainsi que nous savons le faire, le tojer conjugué de cliacun de ses points. Pour plus de simplicité, nous supposerons l'objet réduit à une ligne droite lumineuse, perpendiculaire k l'axe principal : il est évident que la soluliixi de ce cas particulier permettra de construire l'image d'un objet quelconque.

1" Supposons l'objet AB {fig. 570) situé au delà du centre du nûroir. — Pour trouver le foyer conjugué de l'extrémité A, traçons l'axe secondaire AC de ce point, e[ un rayon parallèle à l'axe principal ; ce rayon se réflédiit en passant au foyer principal F, et rencontre )e prolongement de AC au point A', qui est l'image du point A. — Déterminons de même l'image B' du point B. Les points intermédiaires entre A et B auront leurs foyers conjugués placés sensiblement sur la droite A'B', ainsi qu'on le vérifierait en cherchant directement ces foyers; la droite A'B' est donc l'image de AB. — On voit, par la construction même, que celte image est rieUe. — De plus, elle est renveriée par rapport ï l'objet, puisque les axes secondaires des extrémités A et B se croisent en passant par le centre.

Enfin, dans le cas actuel, l'image est plut petite que l'objet; en effet, A'B' et AB étant les bases des triangles semblables A'CB' et ACB sont entre eux comme IMI et PC, ou, d'après ce qui a été dit (720), comme P'O et

(*) Sur la Dgiirc 567, le poiul A' ■ Ht déicnniiié t ti (bi* p>r chacuoe de çei dcoi CantUvcIioiu, qui se vériflenl mutnenemenl. — Dam cerUini n>. il te peut qo« l'iiar ou l'autre çemble en défaul. tantât parce que le nyon Incident employé pour [niDTer le fojBr conjugué n'eii5t« pai, lanlût parce que ce rayon k trouve inlercoplé anM H rencontre avec la iurface du miroir ; il ne faudrait par pour cela renoncer 1 ce* conitnictioni, qui doivenl «Ire refiardéei comme purement géomélHqaa. L« li|iia tracée» >ur li Qgure, bien que ne repréaenlinl plui alora de vérilablei rayooi Iniaineui, détermineront loujoura le point de rencontre dea reyona rifléchia par le miroir, c'eat-i-dire le Ibyer conjugué que l'on chercbe.

limOIXS CONCAVES. «3S

PO; or P^ étsnt pins petit que FO, il en fénille que l'image A'B' est plus petite que l'(dijet AB.

Si l'on suppose que l'objet AB se rapproche du centre et prenne une position telle que ab, les axes secondaires des eitrémitjs s'écartent l'un de l'autre; or les fojers conjugués des points aetb sont toujours déterminés par les intersections de ces axes avec les rajons rétléchlB qui passent par le fojer principal, rayons qui n'ont pas changé de direclion ; l'image a'b" de ait sera donc plus grande que A'B', et plus rapprochée du centre.

n importe de mnarquerque l'image et l'objet sont compris toujours entre deux droites, telles que AA'et 6B', qui se croisent au centre; c'est ce qu'on exprime en disant que l'image el l'objet $ont vut du centre du miroir totu dei angle* égaux.

S* Supposons l'objet AB {fig. S7I] «ur la perpendiculaire menée par te

tig. 571.

centre k l'aie principal, et, pour plus de clarté dans la flgure, plaçons-le ' tout entier d'un même c6lè de l'aie. — L'axe secondaire du point A ne rencontrant plus le miroir, déterminons le foyer conjugué de ce point par l'intersection de deux rayons réfléchis, savoir : d'une part, celui qui prônent du rayon incident AH parallèle à l'aie principal et qui passe, après réllexion, par le foyer principal F; d'autre part, celui qui provient du rayon incident KV mené par le Toyer principal et qui est réfléchi parallèlement à l'axe OC. II est facile de voir que leur intersection A' est symétrique de A par rapport à l'axe principal ('). ~ On déterminerait de même le foyer conjugué B' du point B. — Celte construction montre que l'image A'B' est réelle, renvertée, égale à l'objet et tymélriquement placée par rap- I por( à Vaxe principal.

3* Si l'objet AB est placé«f)tre le centre et le foyer, on Iroutera, en rû-

>ur l« pnilang«m«iit de la p«rpaiidi-

On reconnaîtra facitemeal aussi que, plus l'objet s'approche du Tmei plus celte image grandit, en l'éktignant du miroir.

Fig, fi».

4' Si l'objet AB coupe Taie principal au foyer même {fig. S7S). Taxe secondaire du point A et le rayon réfl^bi JF doiTent être considérés comme parallèles, pourvu que l'amplitude du miroir et la distance Kf soient tr^petites; en effet AI devient alors égal à OF, el par suite à FC; la figure AlFG est donc un parallélogramme, les cAlés opposés AI et FC étant égaux et parallèles. Il en résulte que IF, qui, par son intersection avec AC, devrait déterminer le Toyer conjugué du point A, ne rencontre AC ni en avant, ni en arrière du miroir. Dans ce cas, il n'y a diHic pas d'image (').

R° Supposons endu que l'objet lumineux AB soit situé entre U foger

Fig. 5TÎ.

prinàpal et le miroir {fig. 575). En menant encore l'axe secondaire di

(') En coniidèranl la position qne nom venong . pOsUJoni que p«ak pnodra t'nldcl AB lonqa'll i