CHAPITRE XXIII

De l’Élasticité .

Les expériences que nous avons jusqu’à présent faites , nous ont montré les corps comme des assemblages de molécules matérielles extrêmement petites, maintenues en équilibre entre deux forces , savoir une affinité mutuelle , qui tend à les réunir , et un principe répulsif, qui est probablement le même que celui de la chaleur, et qui tend à les écarter. Quoique ces molécules soient si petites que nous ne puissions absolument pas observer leur forme , nous avons cependant découvert qu’étant placées à de certaines distances les unes des autres , elles exercent des attractions diverses selon les côtés par lesquels elles se présentent. Ces différences sont surtout devenues sensibles lorsque les corps liquides s’approchaient de l’état solide, et on en voit aussi l’effet dans les cristaux où les molécules s’arrangent et s’adaptent les unes aux autres d’une manière particulière, toujours constante pour chaque substance. Comme nous avions d’ailleurs remarqué que les forces attractives , qui produisent l’affinité, ne sont sensibles qu’à des distances très-petites, circonstance que la théorie des phénomènes capillaires a mise dans l’évidence la plus parfaite , nous avons été conduits , en généralisant ces idées, à considérer les divers états d’un même corps comme des passages successifs, déterminés par les rapports qui existent entre l’intensité du principe répulsif qui écarte ses particules , et celle de l’affinité qui les retient. Si les molécules du corps se trouvent placées à des distances telles que l’affinité réciproque des particules soit insensible , le principe répulsif agit seul sans être contre-balancé. Alors les molécules font effort pour se fuir les unes les autres. Elles se fuient en effet quand elles ne sont pas retenues par des obstacles extérieurs ; ou , si elles sont retenues par de pareils obstacles, elles font effort pour les repousser. Dans ce cas, la substance est aériforme. Même , si on

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connaissait îa manière dont le principe répulsif agit sur les particules , on devrait pouvoir en conclure que la pression exercée par un gaz contre les parois du vase qui le renferme est , à température égale , réciproque au volume qu’on lui fait occuper. Mais si nous ne pouvons nous élever jusqu’à établir théoriquement cette conséquence , du moins nous voyons que quelle que soit la nature du principe répulsif, s’il est vrai que son action soit seule sensible dans les gaz , leur résistance à la compression doit être la même pour tous, quelle que soit la nature de leurs particules ; ce qui est conforme à l’observation. Maintenant concevons ces particules placées à des distances beaucoup plus petites les unes des autres, à des distances telles que l’affinité qui les attire soit en équilibre avec le principe répulsif qui les écarte, nous aurons un autre état des corps. Cet état peut être tel que l’affinité des particules s’exerce sans que les modifications de cette affinité, qui dépendent de la figure des particules , soient encore sensibles ; car nous avons dit que quelle que soit la loi de l’affinité , l’effet de ces modifications doit s’affaiblir avec la distance beaucoup plus rapidement que la force principale. Alors les molécules s’attireront de la même manière, quelle que soit leur position relative autour de leur centre de gravité. Les caractères permanens de cet état doivent donc être une mobilité parfaite des particules, résultante de leurs attractions toujours semblables, et une grande résistance à la compression produite par l’effort du principe répulsif devenu beaucoup plus considérable que dans les gaz. C’est le cas des corps liquides. Enfin , si l’on conçoit les particules amenées à des distances plus petites encore , non-seulement leur force principale d’affinité, mais encore les modifications de cette force, dépendantes de leur figure, pourront devenir sensibles. Alors, si les molécules sont amenées graduellement à ces distances , en conservant la liberté de se mouvoir, elles se tourneront , et se disposeront de manière à se joindre, ou plutôt à s’approcher les unes des autres par les côtés où elles s’attirent davantage, du moins lorsqu'elles auront de pareils côtés j et par cette disposition générale et régulière, elles formeront un corps solide

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cristallisé. Mais ces positions d’équilibre pourront n’étre pas les seules qui constitueront la solidité. Car si des circonstances étrangères , par exemple , l’agitation des particules ou un refroidissement rapide, les empêchent de prendre ces dispositions favorables au maximum de leur attraction , elles seront forcées de s’approcher par d’autres côtés , de se présenter les unes aux autres dans d’autres situations où l’influence de leur figure pourra encore être sensible, quoique différente de ce qu’elle était dans le cas d’un arrangement libre et spontané 3 ce sera donc l’état des substances solides non cristallisées.

Mais par une conséquence de cet arrangement , et par cela même que Ja disposition des particules qui peut produire un pareil équilibre n’est pas unique, il s’ensuit qu’en soumettant le corps solide à des forces mécaniques telles que des pressions , des chocs brusques , ou pourra, du moins dans certaines substances , forcer les particules à se présenter les unes aux autres par des côtés différens , sans détruire pour cela leur étal de solidité. On peut même concevoir cette action extérieure tellement irrégulière, qu’elle agisse diversement sur les particules diverse» d’un même corps , qu’elle les tourne dans des sens différens , et qu’elle aille enfin jusqu’à séparer tout-à-fait quelques-unes d’entre elles, sans déplacer sensiblement les autres. Tel est le cas des corps solides que l’on frappe, que l’on brise avec un marteau, ou que l’on broie avec un pilon. Mais si les forces qui agissent de cette manière sont conduites avec intelligence , et si |a nature de la substance permet à ses particules divers états d’équilibre solide , le corps pourra acquérir ainsi des formes et des propriétés nouvelles ; il pourra s’étendre en lames , se tirer en fils, s’arrondir envase. Il pourra acquérir à sa surface plus de dureté. Tel est le cas de certains métaux qui peuvent s’aplatir au laminoir , s’allonger à la filière , se modeler ou se durcir sous le marteau. Dans ces cas divers, on sent que pour forcer les particules à changer leurs positions d’équilibre, il faut nécessairement une certaine force. Les expériences montrent que cette force, pour produire un effet sensible et permanent, doit excéder pour chaque substance , et pour chaque état de cette

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substance, une limite déterminée; en sorte que si la force est moindre que cette limite , la particule sur laquelle elle agit ne change pas sa position d’équilibre. Elle s’en écarte seulement un peu , tandis que la force agit sur elle ; mais dès qu’elle est abandonnée à elle-même, elle revient à son premier état d’équilibre et à sa position primitive, par une suite d’oscillations. Cette propriété constitue ce que l’on appelle Y élasticité des corps. Elle serait parfaite dans un corps dont les particules résisteraient ainsi au déplacement , quelle que fût la force qui agit sur elles , et reviendraient toujours à leur première position d’équilibre , après en avoir été écartées momentanément. C’est le cas d’une lame de verre qui , après avoir été pliée , revient absolument sur elle-même jusqu’à un certain degré de courbure où elle se rompt. Ainsi, tant qu’on ne va pas jusqu’à lui donner cette courbure, les particules qui la composent 11e changent pas leurs points d’adhésion , et l’élasticité est parfaite. Mais l’élasticité sera imparfaite , si les particules , en même temps qu’elles oscillent , ne sont pas ramenées par leurs oscillations , précisément à la même position d’équilibre qu’elles avaient d’abord. C’est le cas d’une lame de fer qui, après avoir été courbée , ne revient pas tout-à-fait à la même direction. Enfin, l’élasticité sera nulle ou insensible, si les molécules , déplacées par la plus petite force , ne montrent aucune tendance pour revenir à leur première position; c’est le cas d’une lame mince de plomb, qui, étant pliée , reste dans la position qu’on lui donne. Dans tous les cas , on voit que l’élasticité doit être absolument distinguée de la cohésion , puisque celle-ci est la force absolue avec laquelle les particules adhèrent les unes aux autres , au lieu que l’élasticité est la tendance qu’elles ont dans certains cas pour revenir à leur position primitive , lorsqu’une impulsion extérieure et passagère les en a momentanément écartées d’une quantité extrêmement petite , et moindre que la distance à laquelle leur figure aurait une influence différente sur le mode ou l’intensité de leur agrégation.

Je vais maintenant prouver ces considérations par l'expérience. Si , contre la coutume que j’ai adoptée dans le reste de

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cet ouvrage , j’ai exposé d’abord les idées théoriques , c’est afin que l’on voie d’avance le but auquel les phénomènes vont nous conduire , et qui est assez éloigné pour ne pas être aperçu facilement. On doit d’ailleurs remarquer que toutes les considérations dont je viens de faire usage sont rigoureusement conformes aux lois de la mécanique et aux mouvemens que peuvent prendre des particules matérielles sollicitées à la fois par une force attractive dépendante de leur nature et de leur forme , par une force répulsive qui tend à les écarter , et par une impulsion étrangère qui tend à les déranger tant soit peu de leurs positions. Après avoir montré que les particules des corps peuvent prendre de tels mouvemens, il me reste à prouver qu’elles les prennent réellement , dans les circonstances que j’ai indiquées. Tel est l’objet des expériences que je vais rapporter.

Selon ce qu’on vient de voir , l’élasticité appartenant aux petites molécules qui composent les corps, il faut, pour l’étudier, que les molécules sur lesquelles on agit particulièrement , soient aussi libres qu’il est possible dans leurs mouvemens , et que ces mouvemens ne soient pas éteints par leur communication à de grandes masses. 11 faut donc faire les expériences sur de petites parties des corps telles que des lames minces ou des fils très-fins. En conséquence , je considérerai d’abord l’élasticité avec laquelle les fils de métal, et en général les fibres des corps, reviennent sur eux-mêmes lorsqu’ils ont été tendus par des poids dans le sens de leur longueur, ou lorsqu’ils ont été tordus perpendiculairement à leur diamètre. Je considérerai ensuite la même propriété dans les lames ou dans les tiges formées de ces substances. Enfin j’examinerai ce qui se passe dans la réaction élastique d’un corps de figure quelconque.

Relativement à l’élasticité des fils dans le sens de leur longueur , je m’appuierai sur des expériences faites avec beaucoup de soin par S’gravesande , que l’on sait avoir été un physicien fort exact. L’appareil dont il a fait usage est représenté fig. gq. Le fil ou la lame que l’on veut éprouver est tendu horizontalement entre deux étaux fixes, et dont on ne serre les mâchoires qu’après avoir donné au corps élastique le degré

DE l’eLÆSTICITE.

de tension que l’on veut atteindre ; à quoi l’on parvient en le tirant par des poids ou des ressorts. Cela fait, si le fil ou la lame est très tendue et peu pesante, elle se tient sensiblement en ligne droite. Mais si l’on suspend à son milieu différens poids, ces poids la courbent d’autant plus qu’ils sont plus lourds , et lui donnent sensiblement la figure d’une ligne brisée ACB, dont le point le plus bas C, est celui auquel le poids est suspendu. Cette ligne brisée ACB est plus longue que la ligne droite AB; ainsi le fil s’allonge par l’action des poids. Mais on peut calculer la longueur ACB, quand on a observé la longueur de la flèche C c , et que l’on connaît aussi la distance des points d’appui AB. En retranchant cette dernière distance de ACB, on connaîtra l’allongement du fil ou de la lame. Nous verrons toutà-l’heure comment on peut faire ce calcul ; ne nous occupons ici que de la disposition de l’appareil. Il s’agit donc d’observer la flèche Ce; et il faut le faire avec d’autant plus d’exactitude, qu’elle est toujours très-petite dans les expériences , parce qu’il faut d’abord que la tension du fil soit assez, considérable pour qu’il revienne toujours à sa position primitive quand on enlève les poids, et ensuite parce que ces poids doivent toujours être fort petits par rapport à la tension , afin que l’état du fil ne soit pas altéré , et que l’élasticité puisse être considérée comme parfaite. S’gravesande mesure cette flèche par un appareil trèsingénieux. Avant d’attacher la lame ou le fil entre ses supports, il y suspend une petite pièce de cuivre O N, fig. 1 oo , percée en O d’une petite ouverture à travers laquelle le fil ou la lame passe ; à cette pièce est attaché un plateau de balance fort léger. Le fil ou la lame se courbe sous ce poids; mais pour rétablir l’équilibre , on y attache par le haut une petite chaîne F, semblable à celles que l’on emploie dans les montres. Cette chaîne s’enroule dans la gorge d’une poulie très-mobile B. , où elle est attachée par son autre extrémité. La poulie a une autre gorge sur laquelle est enroulé en sens contraire un fil de soie portant à son autre extrémité un poids P , précisément égal au poids de la pièce O N , de son plateau , et de la portion de lachaîne qui est tendue dans l’état d’équiibre. Par cette disposition, la pièce O N ne pèse nul-

4 7 7 de l’élasticité.

lement sur îe fil ou la lame dont on veut observer l’élasticité, et par conséquent elle ne contribue point du tout à la flexion. Mais si l’on met différens poids dans le plateau de balance , ces poids n’étant plus équilibrés, fléchissent le corps élastique, tirent la chaîne F, tournent la poulie, et par suite font marcher une aiguille R L qui y est adaptée comme dans les hygromètres. Pour connaître la longueur de la flèche, il ne s’agit plus que de connaître ses rapports avec les divisions du cercle gradué que l’aiguille parcourt ; c’est ce que l’on peut faire d’après les longueurs connues de l’aiguille et du rayon de la poulie. Mais pour plus de sûreté, on peut confirmer ces calculs par des observations directes , en otant le corps élastique , et élevant successivement le plateau P de diverses épaisseurs connues; à quoi l’on parviendra en le faisant d’abord toucher sur un plan fixe horizontal , et posant ensuite sur ce plan des lames d’une épaisseur connue. Ceci bien entendu , je passe aux expériences.

S’gravesande employa d’abord une corde métallique telle que celle dont on se sert dans les instrnmens de musique. La longueur de cette corde , comprise entre les supports , était de trente-quatre pouces et demi , et eette longueur pesait vingtquatre grains Il lui donna successivement trois degrés de tension différens, en la fixant d’abord par une de ses extrémités M , et la tirant ensuite par l’autre avec des poids plus ou moins forts avant de serrer la vis "V'. Cela fait, il mit dans le plateau de la balance des poids divers , d’abord une dragme , puis deux, puis trois, puis quatre, et à chaque fois il observait la division à laquelle s’arrêtait l’aiguille RL; d’où il concluait les longueurs des flèches , qui furent depuis jusqu’à de pouce.

Avant de rapprocher ces expériences, il faut , d’après les lois de la statique , nous composer des formules qui fassent connaître la tension et rallongement de la corde ou de la lame, quand nous aurons mesuré la longueur >' de la flèche C c , fig. cjq , et le poids P suspendu en C. D’abord le point de suspension C pouvant glisser librement sur AC B, il est clair qu’il viendra toujours se placer au milieu de A CB, et que les tensions T des deux portions A C , C B seront égales entre elles , ainsi que leurs

I)E L’ÉLASTICITÉ

longueurs que nous désignerons par R. De plus , la corde ou la lame est aussi tirée en bas par son propre poids, et quoiqu’icî ce poids soit extrêmement faible , comparativement à ceux qu’on y ajoute, il est clair qu’il augmente un peu le poids P. Pour avoir égard à cette circonstance, au moins par approximation , S’gravesande considère chacune des portions CA, CB comme une ligne droite , pesante , posée sur deux points d’appui A et C , B et C. Si ces droites étaient horizontales , chacun des points d’appui porterait la moitié de son poids , et par conséquent le point C chargé de deux de ces moitiés , supporterait la moitié du poids de la corde ou de la lame entière , c’est-à-dire , douze grains pour la corde dont S’gravesande faisait usage. Mais quoique les lignes C A , C B ne soient pas tout-à-fait horizontales, leur peu d’inclinaison , résultant de l’extrême petitesse de la flèche Ce, permet d’employer encore cette approximation. Alors le poids en C étant P , la force totale qui tend la corde sera P-f i 2Sr- ou P -J- 0,2 , en réduisant les douze grains en dragmes , car une dragme vaut 60 grains. Maintenant, quelle est la condition qui limite la flèche Ce, et à quel instant cesse-t-elle d’augmenter par Faction d’un poids donné? C’est lorsque la force tendante P -f-0,2 est contre-balancée par la tension T des lignes AC, CB, décomposée suivant Ce. Or, pour effectuer cette décomposition par le calcul , il faut , selon les règles de la statique , multiplier la force T qui agit suivant A C ou CB, par le cosinus de l’angle qu’elle forme avec la direction C c , suivant laquelle on la décompose. Ce cosinus est ici exprimé par

Ce Ce 5 , F TF

— ou — , c est-a-dire , par - . En conséquence , — sera la A C C B R R

résistance que la tension T de chacune des lignes AC, CB, produit dans la direction Ce; et l’équilibre aura lieu lorsque le poids tendant P 0,2 sera égal à la somme de ces résistances, c’est-à-dire, quand 011 aura

2TF . (P H- 0,2) R

P -f- 0,2 , d’où l’on tire T

Il ne nous reste plus qu’à calculer R. Or, en nommant 2L la longueur primitive A B de la corde ou de la lame , A C c et B C c

474 DE L ELASTICITE.

seront des triangles rectangles, dans lesquels on aura l’hypothénuse R par la formule

R2—L2-fF2, d’où R — : \/ L2 4- F2.

Comme la flèche F est toujours extrêmement petite, relativement à la longueur L , du moins dans les expériences de S’gravesande , nous pouvons développer la valeur de R en une série extrêmement convergente , ordonnée suivant les puissances F2

ascendantes de — ; pour cela , il faut d’abord mettre l’expres-

sion de R sous la forme

r Fa\ -