Tir

DE L ÉLASTICITÉ

Le premier terme — — — 8,625 ne contient de variable

que P' — P, c’est-à-dire, l’accroissement des poids, et il est proportionnel à cet accroissement. Le second , au contraire 7 varie avec la longueur F' de la flèche et avec les tensions Tb Or , d'après la proportionnalité observée par S’gravesande , ce 'second terme variable est absolument insensible dans les limites que nous avons fixées , c’est-à-dire, quand F est compris entre o et oP,o4* 11 faut donc nécessairement qu’entre ces limites, le facteur T’’ — T soit nul ou insensible , c’est-à-dire , que la tension T soit se* siblement constante , et par conséquent la même que dans le cas où la corde n’est tendue par aucun poids.

D’après cela , nous pouvons calculer les tensions primitives T , d’après les longueurs des flèches observées dans les premières expériences , en nous servant de l’équation

ire série

2e série

3 e série ....*,

Tension initiale en dragmeg.

Voyons maintenant quelles seront les tensions dans les flèches plus grandes. Nous les connaîtrons par le moyen de la meme formule ; nous aurons ainsi pour la flèche op,4 ■>

ïTeserie. .. JL

2 sene. I

O e f • rr\l

ù sene. . . 1

776f1,2o = T -fi29^375 1509, 375 = T -f- 129, 375 1864, 375 = T -f- 129, 375.

O11 voit donc que , pour cette seconde flèche 02,4 , touies les tensions initiales se sont trouvées augmentées delà même quan-

/,. 78 Del’ EL A. STIC ITJÉ .

tité , savoir de ï2gd,375. S’gravesande dit avoir essayé beaucoup d’autres tensions qui lui ont toujours donné le même résultat. Dans tous ces cas, lorsque la flèche est devenue la même et. égale à oP,4 , rallongement total de la corde est le même aussi, et il est égal à op,ooc)27536 pour la corde entière , comme nous l’avons trouvé plus haut. De là résulte cette conséquence importante.

Lorsqu’une corde métallique est tirée dans le sens de sa longueur par une force quelconque T , si on augmente cette force d’une certaine quantité t , le nouvel allongement produit par t sera toujours le même, quelle que soit la tension primitive T , pourvu toutefois que la force t soit assez petite pour qu’en la supprimant , la corde revienne exactement à la première longueur qu’elle avait sous la tension T.

Cette limitation que nous donnons ici au résultat , est nécessaire; car, dans les expériences de S’gravesande, la force t étant supprimée, la corde revenait toujours à sa direction primitive qui était sensiblement rectiligne; ainsi l’action de cette force n’y produisait qu’un allongement passager. Mais on conçoit qu’avec une force plus grande une corde métallique pourrait être allongée d’une manière permanente, en sorte qu elle ne reviendrait plus à sa longueur primitive par la réaction de son élasticité. Dans ce cas , il s’y produirait un double effet composé de cette réaction et de l’allongemc it permanent dû au déplacement durable des particules. Nous le considérerons plus tard.

En ce moment , bornons-nous au cas où la réaction de l’élasticité peut être considérée comme parfaite. Alors les expériences que nous venons de calculer nous découvrent la loi suivant laquelle elle agit. En effet , concevons une corde métallique tirée d’abord par une force T quelconque, mais beaucoup plus faible que la limite qui peut altérer la constitution de la corde ; puis , supposons qu’on y ajoute successivement une suite de petites forces t égales entre elles , et telles que leur somme jointe à la force primitive T soit encore au-dessous de la même limite , et voyons ce qui arrivera. D’abord la force primitive T agissant seule, donnera à la corde une certaine longueur que

DE L’ÉLASTICITÉ. 47g

je désignerai par L ; ensuite , l’addition de la force t augmentera cette longueur d’une certaine quantité que je nomme l. La tension totale sera donc devenue T-f-£? et la longueur L ~\~L Ajoutant une nouvelle force t , la corde, d’après nos expériences, s’allongera encore d’une même quantité l, ce qui donnera la tension T en même temps que la longueur L-f- 2

Fn continuant ainsi d’ajouter des forces égales , les augmentations et les longueurs seront égales aussi , et l’on en formera ces deux séries :

Tensions.

Longueur-s.

d’où il résulte que les accroissemens des longueurs de la corde seront proportionnels aux accroissemens des tensions.

La force primitive T que nous avons prise pour point de départ est tout-à-fait arbitraire. Rien n’empêche de la supposer aussi petite que l’on voudra , de même que la force t. Alors on pourra faire remonter l’origine de la série jusqu’aux premiers accroissemens des longueurs de la corde , et par conséquent jusqu’aux premiers dérangemens des particules. O11 j trouvera toujours la même loi; c’est-à-dire, qu’ils sont proportionnels aux accroissemens des tensions. Ce résultat n’est point en contradiction avec celui que nous avons trouvé d’abord sur la constance de la tension T , dans les très-petites flèches. Car cette constance n’est point absolue ; elle montre seulement qu’au-

dessous de la valeur F' = 0,04 , le produit v‘- — est une

fraction insensible à l’observation , et qui par conséquent peut être négligée dans la pratique , sans que pour cela elle soit nulle en toute rigueur.

Maintenant la corde étant tirée par la force T4 -nt, et amenée à la longueur L4* n l ■> concevons qu’on supprime tout

4So DE L'ÉLASTICITÉ.

à coup la force n t. Alors les molécules qui avaient été tirées de leurs positions primitives y seront ramenées par l’élasticité , puisque, dans cette limite de tension , la corde finit toujours par reprendre sa première longueur. Mais il est aisé de voir que ce mouvement ne peut se faire autrement que par une suite d’os— dilations. Caria corde ne peut revenir à la longueur L qu’en passant par toutes les longueurs intermédiaires L -f- ( n — i )/ L -j- (/z - — 2 ) l jusqu’à L -j- (n — n)l ou L. Or, pour la ramener d’un de ces états au suivant , il faudra que la force attractive , qui fait revenir les particules sur elles-mêmes, les déplace précisément autant que l’avait fait la force t , c’est-à-dire qu’elle leur imprime successivement un nombre n d’impulsions dont les intensités soient égales entre elles et à t, jusqu’à ce qu’enfin elle réduise toute la corde à la longueur L. Mais alors les molécules sollicitées par les vitesses qu’elles ont acquises , ne pourront pas s’arrêter à ce point de repos ; elles devront le dépasser et raccourcir la corde au-dessous de la longueur L. Même si elles n’éprouvaient dans leurs mouveraens aucune résistance , elles devraient la raccourcir ainsi autant qu’elle s’était d’abord allongée , c’est-à-dire , la ramener à la longueur L — ni, après quoi leurs vitesses étant épuisées, l’élasticité les ramènerait de nouveau à la longueur L, d’où elles passeraient à la longueur L ni, en vertu de leur vitesse acquise, et ainsi de suite , en exécutant une succession infinie d’oscillations. Si les molécules éprouvent des résistances dans leurs mouvemens , l’étendue de ces excursions ira toujours en diminuant de plus en plus , jusqu’à ce qu’enfin elles soient sensiblement nulles; mais la loi de l’élasticité qui les produit sera toujours la même , c’est-à-dire, que la force de rétraction sera toujours proportionnelle à l’étendue de la traction. Par conséquent les oscillations des particules et delà corde entière seront toutes de même durée, quelle que soit leur étendue , puisque la force qui agit sur chaque particule matérielle sera toujours proportionnelle à l’espace qui lui reste à parcourir pour revenir à la position primitive d’équilibre de laquelle on l’a écartée.

S’gravesande a fait des expériences semblables sur les lames

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élastiques , avec le même appareil. Il a employé une lame d’acier telle que celles qui servent à faire les ressorts de montre. La longueur de cette lame, comprise entre les points d’appui, était 3/fp,5 , comme dans l’expérience précédente ; et cette longueur pesait 6 7 grains, dont la moitié 33,5 doit être ajoutée au poids P que l’on place dans le plateau de la pièce O N. Cette quantité étant extrêmement petite dans les expériences , comparativement au poids P , S’gravesande s’est contenté de prendre P~h 3oS, ou en dragmes P + o,5 , parce que 6o grains valent une dragme. Cela posé, voici quels furent les résultats donnés par l’observation :

| Degrés de tension.

Valeur des poids en dragmes P -I- o ,5.

Longueurs des flèches, observées en pouces.

Première tension.

Tension plus forte.

Tension beaucoup

plus forte.

Tension plus forte.

CJD

Ici, comme dans les fils métalliques , S’gravesande observa que , pour les flèches au-dessous de 0,04, les accroissemens des flèches étaient proportionnels aux accroissemens des poids ; d’où il suit qu’alors la variation de tension était insensible. Ainsi la première expérience de chacune de ces séries donnera la tension initiale de la lame. Cela posé , en calculant les tensions par la formule