Tome I

DE L’ÉLASTICITÉ

011 trouve les résultats suivans

Tension initiale T,

Tension T pour la

flèche o‘4.

3 lo5

Accroissement ds la tension T' — T.

fTe série, 1725

2e série , 2760

Les nombres eontenus dans la dernière colonne sont presque tous égaux entre eux, et à 1 33o ; les petites différences qui se trouvent dans les deux dernières expériences ne feraient que des centièmes de dragme sur les poids P employés. Cet accroissement constant de tension répond ici , comme dans les cordes, à un accroissement constant de longueur égal à op, 00927536.

Ainsi tous les résultats auxquels nous sommes parvenus pour les cordes élastiques , auront également lieu pour les lames. Si l’on part d’une tension et d’une longueur quelconque , des accroissemens égaux de tension produiront toujours le même accroissement de longueur, du moins tant que les forces qui tireront la lame n’altéreront point son élasticité. Pour les lames comme pour les cordes , la force de rétraction sera proportionnelle à la traction ; et si l’on supprime les forces additionnelles qui sollicitaient la lame , les molécules reviendront à leur élat primitif par une suite d’oscillations. En un mot , une lame ainsi frrée dans le sens de sa longueur, peut être assimilée exactement à un système de cordes de même nature et de même longueur . placées à côté les unes des autres parallèlement.

On peut encore étudier l’élasticité dés fils métalliques sous un autre point de vue , en les tordant et mesurant l’effort qu’ils font pour revenir à leur situation primitive. En effet , lorsqu’on tord un pareil fil , on écarte nécessairement les particules qui ie composent, comme on ferait en le tirant par un poids, excepté que le sens de la tension est différent. Par conséquent, .si l’on supprime tout à coup la force qui avait servi à tordre le fd , les molécules , abandonnées à elles-mêmes , tendront à revenir à leur position primitive d’équilibre; et d’après la loi que. nous avons reconnue dans les forces qui les y ramènent, elles

DE L ÉLASTICITÉ

devront y revenir par une suite d’oscillations isochrones, qui détordront d’abord le fil, et le retordront ensuite en sens opposé, jusqu’à ce qu’enfin les frottemens intérieurs des molécules , ou plutôt les attractions qu’elles éprouvent en oscillant ainsi les unes parmi les autres , anéantissent le mouvement. Alors le fil entier se trouvera ramené à sa position primitive , du moins si la torsion a été seulement suffisante pour écarter momentanément ses particules, et non pour les déplacer d’une manière durable , en les faisant glisser les unes sur les autres et changeant leurs points d’attraction.

On conçoit combien l’examen de ce genre de phénomènes a d’intérêt pour la théorie de l’élasticité. Coulomb , l’un de nos plus habiles physiciens , a fait sur cet objet une très-belle suite de recherches , et il en a tiré un moyen parfait pour mesurer de très-petites forces, d’après la torsion qu’elles peuvent imprimer à un fil de métal donné. Je vais faire connaître ces résultats importans , et d’abord je rapporterai les expériences que Coulomb a faites pour déterminer la loi de la torsion dans ces fils.

Il en prend une longueur donnée , dont il attache l’extrémité supérieure à un obstacle fixe, et il suspend à l’autre un poids cylindrique, de manière que son axe soit vertical. Tant que le fil de suspension ne sera point tordu , le poids restera en repos; mais si l’on fait tourner le poids autour de son axe, le fil se tordra et fera effort pour se rétablir dans sa situation naturelle. Alors si l’on abandonne le poids , il oscillera plus ou moins de temps, suivant que la réaction élastique de torsion sera plus ou moins parfaite. Supposant que l’on observe avec soin la durée d’un certain nombre de ces oscillations, il sera facile de déterminer, par les formules du mouvement oscillatoire, la force de réaction de torsion qui les produit. Ainsi, en faisant varier le poids suspendu , la longueur des fils de suspension et leur grosseur, on peut espérer de déterminer les lois de la réaction de torsion , relativement à la tension , à la longueur , à la grosseur et à la nature de ces fils.

■Si le fil de métal était parfaitement élastique , et que Von fît

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abstraction du frottement de l’air sur sa surface et sur celle du poids suspendu, celui-ci, une fois en mouvement, oscillerait jusqu’à ce qu’on l’arrêtât: la diminution des amplitudes des oscillations ne peut donc être attribuée qu’à la résistance de l’air, et à l’imperfection de l’élasticité de torsion ; ainsi , en observant la diminution successive de l’amplitude de chaque oscillation , et en retranchant la partie de l’altération qu’il faut attribuer à la résistance de l’air , on pourra encore, au moyen des formules du mouvement oscillatoire appliquées à ces expériences, déterminer suivant quelles lois la force élastique de torsion est altérée^

Considérons donc, fig. 1 01 , un corps cylindrique pesant P, suspendu verticalement à un fil métallique S F , de manière que son axe se trouve exactement dans le prolongement du fil; celui-ci est attaché par son extrémité supérieure S à un obstacle fixe. Attachons sous le cylindre une aiguille légère Pi L , qui fera partie de son poids et qui parcourra les divisions d'un cercle gradué, placé horizontalement sous le cylindre, et concentrique avec lui. Lorsque tout le système sera parvenu à l’état de repos, si l’on tord le fil d’un certain nombre de degrés , en tournant le cvlindre sur lui-même autour de son axe, le déplacement de Faiguiîle indiquera la grandeur de l’angle de torsion. Si l’on abandonne le fil à lui— même , l’aiguille mesurera encore par son mouvement l’étendue des oscillations du cylindre. Elle servir#, aussi à en observer les limites et le nombre avec faciliié.

Pour trouver le rapport de ces mouvemens avec la force de torsion du fil, il faut examiner deux choses: i°. la loi de la force avec laquelle le fil tend à revenir sur lui-même ; 2°. la manière dont cet effort se transmet au cylindre pour le faire tourner.

Commençons par la première question. Soit, fig. 102 , A B le iîi que nous supposerons cylindrique, suspendu en MB à son extrémité supérieure, et tendu par son propre poids. Avant qu’il soit tordu, marquons sur une de ses arêtes AM un certain nombre de points MM, M2... très-rapprochés les uns des autres. Si l’on fait maintenant tourner la base du fil d’un angle quelconque À CX, les points qui se trouvaient en ligne droite

de l’élasticjte. 485

formeront sur sa surface une ligne courbe Mw, m3... et chacun d’eux fera effort pour revenir dans la verticale du point qui lui est immédiatement supérieure; car c’est là sa position naturelle d’équilibre vers laquelle il est sollicité par la résultante des forces attractives qui constituent la solidité du fil et son élasticité. Ce que nous disons ici des points extérieurs doit éga* lement s’entendre de tous les points intérieurs du fil qui étaient primitivement situés dans une meme verticale. Chacun d’eux fait effort pour revenir à sa première position par rapport aux points voisins. Ce qui les empêche de se rejoindre, c’est, d’une part, la fixité de la suspension qui retient la partie supérieure MB du fil, et de l’autre la force employée pour le tordre, laquelle devra être différente , selon la distance de son point d’application à la suspension fixe. Car si l’on voulait, par exemple, arrêter le fil en mx , par le moyen d’un levier enfoncé à ce point dans sa substance, on n’aurait à vaincre que l’effort des parties du fil supérieures à mx. Mais si on voulait l’arrêter en w2, on aurait à vaincre l’effort de m a pour revenir à la verticale de /??, , et celui de mx pour revenir à la verticale de M ; enfin , si l’on n’agit qu’au point X le plus bas du fil , on devra soutenir l’effort de tous les points m§ m^... qui formaient originairement l’arête verticale AM.

A présent, supposons que l’on double l’angle A X, l’écart de chaque point autour de sa position primitive deviendra double , ainsi que sa distance à la verticale du point immédiatement supérieur. Or, d’après ce que nous avons déjà décou-

vert sur la nature de l’élasticité, lorsque les molécules contiguës ont été très-peu écartées les unes des autres, leur tendance pour revenir sur elles-mêmes et reprendre leurs positions d’équilibre est proportionnelle à la quantité dont elles en sont écartées. Ainsi l’effort de chaque point ml ma m3 pour se remettre dans la verticale du point immédiatement supérieur sera double de ce qu’il était dans la première expérience ; et eu général , la force totale de torsion qui en résultera sera proportionnelle à l’arc total de torsion AX. Pour exprimer clairement cette proportionnalité, décrivons autour du fil une cir-

I>E l’élasticité.

conférence concentrique a b dont le rayon soit égal à l’unité de longueur , et sur laquelle nous mesurerons les arcs de torsion. Concevons de plus qu on maintienne le fil tordu , en appliquant une force horizontale perpendiculairement à l’extrémité d’un des rayons de celte circonférence , et représentons cette force par n lorsque l’arc de torsion est lui— même égal à l’unité de longueur; alors pour tout autre arc de torsion X, exprimé en fonction de la même unité, la force qu’il faudra employer pour tenir le fil en équilibre sera /zX.

Si l’on voulait exprimer l’arc de torsion en degrés, on pourrait également le faire ; car puisque la demi-circonférence, qui se trouve ici représentée par le nombre ?r, vaut 1800, si l’on représente par X° un nombre de degrés quelconque , l’arc eorres-

pondant X sera proportionnellement — - — , et par conséquent

la force nécessaire pour retenir le fil sera exprimée par

Enfin , si l’on voulait que cette force fût appliquée perpendiculairement à î’extrcmité d’un levier d'une longueur égale à R au lieu de l’être à l’extrémité du rayon 1 , il faudrait la réduire dans le rapport de 1 à R , de sorte qu’elle deviendrait

Cette formule nous sera d’une fréquente utilité.

Puisque ce fil, tordu de l’angle X , peut être retenu par une force n X appliquée perpendiculairement à l’extrémité du

rayon 1, ou par une force—— appliquée de même à î’extrémité

du rayon R , il s’ensuit réciproquement que ce sont là les forces totales avec lesquelles le fil , en se détordant , presserait un point matériel placé aux distances 1 ou R de son axe , et lié avec lui par un bras de levier inflexible et sans masse. Ainsi , en supposant ce point abandonné à faction du fil , et libre de prendre le mouvement de circulation quelle lui imprimerait, on voit qu’il serait

DE L ELASTICITE.

sollicité à chaque instant par une force de torsion proportionnelle à X , c’est-à- dire à Tare qui lui resterait à décrire pour arriver à sa situation naturelle de repos. Partant donc d’abord du plus grand écart où son mouvement commence , sa vitesse ira d’abord en augmentant par les impressions successives de la 72 X

torsion , jusqu’à ce que l’arc X soit nul. Alors la torsion

étant nulle, le mobile dépassera ce point en vertu de sa vitesse précédemment acquise ; après quoi la force de torsion renaissant en sens contraire , à mesure qu’il s’en écarte , tendra à l’y ramener, et affaiblira ainsi peu à peu sa vitesse, qui, si la réaction d’élasticité est parfaite , se trouvera enfin tout-àfait détruite lorsqu’il aura décrit un arc égal à son écart primitif. Alors il se retrouvera exactement dans les mômes circonstances où il était à l’instant de son départ de l’autre côté de la ligne de repos. Il recommencera donc à revenir vers cette ligne de la meme manière , et il exécutera ainsi une succession infinie d’oscillations dont les amplitudes seront égales , abstraction faite de la résistance de l’air. De plus, les forces qui le ramènent vers sa position naturelle d’équilibre, étant toujours proportionnelles au trajet qui lui reste à parcourir pour y arriver, il s’ensuit que ses oscillations seront toutes de même durée , quelle que soit leur amplitude; car c’est un résultat général de mécanique, que tous les monvemens produits par des forces assujetties à cette loi jouissent de la propriété du tautochronisme. En effet , si l’on nomme M la masse du mobile que nous supposons n’être qu’un point matériel , R sa distance constante à l’axe du fil , et T le temps d’une de ses oscillations , on trouve par les règles de la mécanique

Quoique ce cas soit purement idéal , sa discussion nous sera pourtant fort utile, parce qu’elle nous conduit au cas réel où la masse à mouvoir est un corps de figure quelconque. Il est en effet évident que la force de torsion du fil répartie entre tous

488 le l’élasticité.

les points de cette masse s pousse chacun d’eux exactement, comme nous venons de le dire , avec la seule différence de l’affaiblissement produit par sa répartition. Mais de quelque manière que cette répartition se fasse, la somme de toutes les pressions équivaudra toujours à la seule force n X appliquée perpendiculairement à l’extrémité du rayon i ; de sorte qu’en ne supposant point au système de vitesse acquise , on retiendrait encore comme tout-à-l’heure le fil et la masse mobile par le seul emploi de la force n X appliquée perpendiculairement à l’extré-

mité du rayon 1 , ou d’une force appliquée de même à un

point quelconque de la masse , dont la distance à l’axe serait /*. Passant de là au mouvement, on voit que si tous les points de cette masse étaient libres , chacun d’eux suivrait les lois que nous venons de trouver pour un seul point matériel j seulement la constante n serait différente, parce qu’au lieu d’être sollicitée par toute la force de réaction du fil , il le serait uniquement par la petite portion de cette force qu’il obtient dans sa répartition. Mais comme tous ces points sont liés entre eux d’une maniéré invariable , en vertu de la solidité du corps suspendu au fil , il arrive que chacun d’eux partage le mouvement de tous les autres comme il leur fait partager le sien ; les plus lents retardent les plus rapides, et de là résulte un mouvement commun qui s’opère par compensation. Appelons M la masse totale du corps , et cl m celle d’un de ses élémens dont la distance à l’axe du fil soit r; désignons par S r2 dm la somme de tous les élémens du corps, respectivement multipliés par les carrés de leur distance à l’axe du fil. Cela posé, on trouve par les règles de la mécanique que le mouvement du corps est exactement le même que si toute sa masse était concentrée en un seul point maté—

S r*dm

riel dont le carré de la distance à l’axe du fil serait ;

c’est-à-dire pour lequel on aurait

S rud m

De sorte qu’en substituant cette valeur à la place de R®, dans la

DE L ÉLASTICITÉ. 4B9

formule trouvée tout-à-l’heure , le temps T d’une oscillation entière sera

AS A d m \ -

et la durée de ees oscillations sera encore indépendante de leur amplitude.

La quantité S A dm s’obtient parles règles du calcul intégral, quand 011 connaît la forme du corps suspendu. C’est ce que l’on appelle son moment d'inertie , relativement à l’axe , d’où 1 on compte les distances r.

Si le corps est un cylindre circulaire dont l’axe soit vertical et coïncide avec le prolongement du fil , en nommant. M sa masse , et a le rayon de sa circonférence , on trouve

et par conséquent on a alors

C’est le cas des expériences de Coulomb que nous allons discuter.

Quand on n’a pas à sa disposition un pareil cylindre, on peut se servir d’une longue aiguille très-mince , telle qu’un fil de fer , par exemple, que l’on suspend par le milieu de sa longueur. Alors , en nommant M la masse de celte aiguille , et sa longueur 2 / , on trouve

et par suite

M/âN\l 3 ns

Coulomb s’est fréquemment servi de ce procédé.

De quelque manière qu’on opère, on pourra toujours obtenir ainsi l’expression du temps T par notre formule générale ; mais pour réduire cette formule en nombres, il faut connaître la constante n qui convient particulièrement au fil dont 011 fait usage. On devra donc déterminer cette constante par une pre—

4f)0 1>E L ÉLASTICITÉ.

inière expérience , en observant le temps des oscillations d'une masse connue ; car puisqu'on a , par exemple, avec le cylindre vertical

TT

en élevant les deux membres de cette équation au carré , et tirant la valeur de n , on aura aussi

M 5rs a*

expression qui fera connaître n, lorsqu’on se sera donné M, et qu’on aura observé T. Ceci offre même un moyen de vérifier si , comme notre théorie le suppose , la valeur de n est réellement constante pour le même fil , quelle que soit la masse M que l’un y suspende. Car, si cette constance a lieu , en employant successivement des masses cylindriques de longueur différente, mais dont le rayon a soit toujours le même, les carrés des temps des oscillations devront être proportionnels à ces masses pour M

que le rapport — * , qui est le seul élément variable de la for- T2

mule, ne change pas de valeur. Cette circonstance offrira ainsi une confirmation facile et sûre de la théorie.

Le moyen le plus simple que nous ayons pour comparer des masses , c’est de les peser. Il convient donc d’introduire les poids des corps , au lieu de leurs masses , dans la formule précédente. Pour cela , nommons g la force accélératrice de la gravité mesurée par la vitesse totale qu’elle imprimerait à un point matériel, en agissant sur lui pendant l’unité de temps. Alors g M sera la résultante des actions de cette force sur tous les points de la masse M, c’est-à-dire le poids de cette masse ; en le désignant par P , on aura

P = gM.

Prenant la valeur de M , et la substituant dans l'expression de n , il vient

P sr3 a3

2g Ta

Maintenant cette formule peut être immédiatement réduite

log. g = 0,9916169

log. g — 1,4799494 log. g~ 2,55qi3o8 3,6383095.

log. g

T)E L'ÉLASTICITÉ. l{ () ï.

en nombres ; cor g T0- est le double de l’espace décrit par un corps pesant qui tomberait librement pendant le temps T ; et cet espace doit pouvoir se conclure des lois du mouvement des graves. En effet, les observations du pendule à secondes font connaître la valeur de g , et en prenant pour unité de temps la seconde sexagésimale, elles donnent

En mètres. ... g— 9,8088

En pieds g — 30,1960

En pouces. .. g — 362,3520 En lignes. ...§'= 4348,2240

On emploiera celle de ces valeurs qui répondra à l’unité de longueur que l’on aura choisie pour exprimer le rayon a. Quant à l’unité de temps, elle se trouve déjà déterminée, et ainsi il faudra toujours exprimer le temps T en secondes sexagésimales. Enfin l’unité de poids dans laquelle on exprime P , reste entièrement arbitraire. Lorsqu’on l’aura choisie , la valeur de n indiquera le nombre de parties de cette unité qu’il faudrait faire agir perpendiculairement à l’extrémité d’un bras de levier égal à l’unité de longueur pour faire équilibre à }a force de torsion du fil, en supposant que l’arc de torsion mesuré à une distance 1 de l’axe fût aussi égal à l’unité de longueur. On pourrait imaginer, par exemple, le poids n attaché à un fil sans pesanteur, qui, après avoir passé sur une poulie parfaitement mobile , irait rejoindre à angle droit l’extrémité du levier dont la longueur est 1.

n étant connu , si l’on veut connaître la durée des oscillations pour tout autre cas où le poids suspendu serait P, il n’y a qu’à tirer la valeur de T qui sera

ign

En faisant subir la même transformation à la seconde formule qui se rapporte aux aiguilles horizontales suspendues par leur centre , elle deviendra

4g^ de l’élasticité.

Ici l est la demi-longueur de J’aiguille, comme on t'a dit plus Laut. On se rappelle d’ailleurs que est un nombre abstrait qui a pour valeur —7 ou 3, 1 4 1 5g.

Ces préparations théoriques étant bien arrêtées, passons aux expériences. Celles de Coulomb , que nous allons rapporter , ont été faites en suspendant des poids cylindriques verticaux et de même diamètre à des fils de laiton ou de fer ; c’est donc le cas de notre première formule. On fabrique ces fils en faisant passer par force un cylindre de métal à travers des trous percés dans des plaques d’acier très-dur , et dont les diamètres sont de plus en plus petits; c’est ce qu’on appelle passer à la filière y et les fils sont désignés dans le commerce par le numéro de la dernière filière à travers laquelle 011 les a tirés. Nous leur conserverons cette dénomination.

Voici d’abord les données qui déterminent la nature et les dimensions des fils dont Coulomb s’est servi.