TS° 7 (P)' =145, (T
INT° 1 (P fJ = 56s , (T)" — 23".
Si les temps (T) sont réciproques aux poids (P) , le produit (P) (T) doit être constant. En effet, en effectuant ce produit, on trquve
496 de l'élasticité.
N° 7 (P)' (T)' = Il go
Ces trois nombres approchent beaucoup de l’égalité , et leurs différences, comme on le verra tout-à-l’heure , peuvent sans difficulté être attribuées aux erreurs des observations. Prenons une moyenne arithmétique entre eux , nous aurons pour produit constant i23o , et en divisant ce produit par les temps observés , nous devons , si la loi supposée est exacte , retrouver les poids de chaque fil en grains ; nous aurons ainsi
N°I2 (P) rrr ~~ = 5s,o8
La plus grande erreur porte sur le fil , n° 1 , et elle est de as.5. Cet écart est assez petit pour que l’on puisse regarder la loi comme exacte dans les limites des expériences.
Ici nous supposons les longueurs des fils égales. Dans ce cas , les poids sont proportionnels aux carrés des diamètres des fils. Les temps des oscillations sont donc réciproques à ces carrés; et comme la constante n est toujours réciproque aux carrés des temps , elle est proportionnelle à la quatrième puissance du diamètre des fils. Ainsi, en nommant D ce diamètre, L la longueur du fil , et y un coefficient constant qui dépendra de la roideur naturelle de chaque métal , on aura généralement
n , d ou 1 on tire & .
Quand on aura déterminé n d’après l’expérience pour un fil dont la longueur et la grosseur seront données, on pourra calculer la valeur de y relativement à l’espèce de métal dont ce fil est fait. On pourra donc ainsi comparer entre elles les intensités de réaction des différens métaux, et même de toutes les substances dont on saura fabriquer des fils.
Appliquons ces calculs à la seconde expérience , où le fil de fer, n° 12, est tendu par un cylindre vertical du poids de deux
DE L ELASTICITE, 4^
livres, dont le rayon est g1 Alors les 20 oscillations se font en 242 \ C’est le cas de la formule
Vtt'1 a a
dans laquelle il faut faire
q',5 ; P rrz 2llv , T
Ainsi la livre sera notre unité de poids , et la ligne notre unité de longueur; par conséquent il faudra aussi employer pour g sa valeur en lignes, c’est-à-dire 4^48,2; on a de plus 2T ~ 8,14159. Avec ces données on trouve
Ainsi , en supposant que l’arc de torsion de ce fil, mesuré sur un cercle d’un rayon d’une ligne, fût égal à une ligne de longueur , il faudrait , pour le tenir en équilibre , employer un poids de ■— de livre agissant perpendiculairement par le moyen d’une poulie et d’un fil sur l’extrémité d’un bras de levier d’une ligne de longueur.
Donc, si l’on voulait tordre ce même fil de X° , en agissant sur lui par un levier d’une longueur R, il faudrait appliquer perpendiculairement à l’extrémité de R une force
TT n X° 7T X°
• QQ » — a
Soit , par exemple , X — 36o° et R = 121 , cette force sera
Tel est donc le poids qu’il faudrait faire agir perpendiculairement à l’extrémité d’un levier de 12 lignes de longueur pour tordre ce fil d’une circonférence entière. Cela équivaut à peu près à 6 4 grains.
n étant connu , il ne reste plus qu’à mesurer le diamètre du fil; car 9 puisqu’on a déjà sa longueur , 011 pourra ensuite cal™
culer complètement la valeur de p par la formule
1 ln
OU
Tomf. h
498 de l’élasticité.
Or, on obtiendra facilement et avec exactitude le diamètre du fil d’après son poids, si Ton a le poids d’un volume donné de la matière dont il est fait. Calculons, par exemple, d’après un pied cube , comme l’a fait Coulomb. Soit A ce poids , il répondra à un volume de lignes cubes égal à (i44)3- Si l’on nomme F le poids du fil pour une longueur égale à /, et que r soit son rayon, le volume de cette longueur sera %r^l; or, dans les morceaux d’une même matière , les poids sont proportionnels aux volumes. On aura donc
d’où
Prenons toujours pour exemple le fil de fer n° 12, dont 6 pieds de longueur pèsent 5 grains. Puisque nous avons choisi la ligne pour unité de longueur , il faudra réduire ces six pieds en lignes , et l’on aura
le pied cube de fer pèse à peu près 54o livres. En exprimant ce poids en grains , il vient
car la livre ancienne vaut 16 onces , l’once 8 gros , et le gros 7*2 grains; enfin la valeur de v est 3,14169 ou yyj. Avec ces données , on aura
par conséquent , le diamètre 2 r de ce fil — de ligne. La longueur employée dans les expériences de torsion est 9 pouces ou 1081 ; on a donc
— "DT — ^5 ' (Îj4~ 7i5 — 76z*6’9'
Ensuite pour tout autre fil de fer de même nature , mais dont le diamètre sera D et la longueur L, on aura
DE L’ÉLASTICITÉ. 4g9
Calculons de même la valeur de n pour le fil de laiton n° 12 pareillement chargé du poids de 2 livres , et désignons-la par ri * Les nouvelles données seront
Il n’y aura donc de différence que dans la durée des oscillations qui est plus lente avec le nouveau fil. Substituant ces nombres dans la formule
P ît®
on trouve ri — — — — — •.
2ib4,ü
Cette valeur de ri est moindre que celle qui convient au fil de fer, n° 12, dans la proportion de 3,34 à 1 ; la force nécessaire pour tordre notre fil de laiton de 36o°, en agissant sur lui par un levier de 1 2 lignes , sera donc aussi plus petite dans le même
rapport, c’est-à-dire égale à
ou environ 2 grains.
Il faut maintenant évaluer le diamètre D. Or, la pesanteur spécifique du laiton est peu différente de celle du fer; et nous avons d’ailleurs trouvé que six pieds de longueur de chacun de ces fils pèsent également 5 grains. On peut donc supposer que les deux fils de fer et de laiton, n° 12, ont exactement, ou à, très-peu de chose près, le même diamètre. Alors le rapport 3 ~ est aussi celui des coëfficiens ftp' ; ainsi, pour des fils de fer et de laiton de dimensions et de longueurs égales , les roideurs de torsion sont comme 3 ~ à 1 , c’est- à-dire qu’en tordant le fil de fer de 1 cercle, on aura la même réaction de torsion qu’en tordant le fil de cuivre de 3 f cercles.
On peut voir ici que la force de torsion qui dépend de la tendance des particules à revenir sur elles-mêmes , suit des proportions toutes différentes de la traction ; car le fil de fer , n° 12, se rompait sous un poids de 60 onces, et celui de cuivre sous un poids de 35. C’est le rapport de 1,71 à 1 , tandis que celui des forces de torsion a une valeur double.
Mais il y a plus , on ne doit pas regarder ces résultats comme constans ; car on verra tout-à-l’heure que l’on peut à
ly
5oo
DE LÉLASTXCITÉ.
volonté faire varier dans un meme métal , indépendamment l’une de l’autre, la cohésion et l’élaslicité.
Je trouve, dans les manuscrits de Coulomb , une expérience sur la torsion d’un fil d’argent , qui nous offrira une application de la formule
V TT2 l%
La longueur de ce fil était de 480 millimètres. Coulomb ne donne ni sa grosseur ni son poids. On y suspendit horizontalement un fil de cuivre dont la longueur était 82 millimètres, et le poids 116 grains. Ce cylindre faisait dix oscillations isochrones en 1 4 3/y. D’après ces données , il faut prendre
Ici l’unité de longueur est le millimètre. Il faut donc employer la valeur de g exprimée de cette manière , c’est-à-dire , g~ 9808,8. L’unité de poids sera le grain. Avec ces données , on trouve
Ainsi, en supposant que l’arc de torsion de ce fil, mesuré sur un cercle d’un millimètre de rayon , fût aussi égal à un millimètre , il suffisait , pour le tenir en équilibre , d’employer une force de j de grain agissant perpendiculairement à l’extrémité d’un levier d’un millimètre de rayon. Ici nous avons pris d’autres unités de poids et de longueur que dans les cas précédens ; de sorte que les valeurs de n ne sont plus immédiatement comparables à celles que nous avons alors obtenues.
Jusqu’à présent, nous n’avons considéré qu’une étendue de torsion telle que le fil revînt toujours à la même position d’équilibre. Dans ces limites, si on le tord d’un certain angle A compté depuis son point naturel de repos, et qu’on l’abandonne ensuite à lui-même , la réaction de son élasticité le ramène d’abord à ce point , et le fait ensuite passer au-delà d’une quantité sensiblement égale à A ; de sorte que les limites de la première oscillation considérée comme parfaite, sont -|-A et — A \ et 2 A est l’amplitude totale.
DE l’ÉLASTÎCITJÉ.
Soi
Celte amplitude va en diminuant toujours dans les oscillations suivantes , jusqu’à ce qu’enfm le fil arrive au repos 5 et cette diminution n’est pas produite , comme on le pourrait croire , par la résistance de l’air. Pour le prouver , Coulomb a formé, avec du papier très-léger, des cylindres de même diamètre , mais beaucoup plus longs que ceux qui tendaient les fils; il en a enveloppé ces cylindres, et les effets n’en ont pas été changés sensiblement. On voit donc que la diminution progressive des amplitudes semble tenir à la difficulté que les molécules du métal éprouvent pour se déplacer ainsi momentanément les unes parmi les autres , difficulté qui rend leur élasticité imparfaite. Cependant les positions définitives de repos où les particules reviennent , ne sont pas pour cela changées dans ces amplitudes. Car en laissant continuer les oscillations jusqu’à ce que le mouvement du fil soit anéanti, l’aiguille indicatrice portée par le cylindre de métal , se trouve toujours ramenée exactement au même point de la division horizontale qui lui avait servi de point de départ , et par conséquent le centre de réaction de la torsion n’est pas déplacé. Mais quand on est arrivé à ce terme, si l’on tord le fil davantage , on observe, à la fois, une diminution progressive dans les amplitudes, et un déplacement définitif, plus ou moins considérable, du centre de réaction de torsion. Alors donc, non-seulement les particules éprouvent des difficultés pour osciller dans les limites qu’on leur donne, mais encore elles sont forcées de glisser les unes sur les autres, et de changer leurs points de contact d’une manière permanente. Ces résultats importans pour la connaissance de la constitution des corps solides , sont mis en évidence par diverses expériences de Coulomb, que nous allons rapporter.
Il a pris un fil de fer n° 1 , de 6 pouces 6 lignes de longueur, et l’a chargé d’un poids cylindrique de deux livres. Pour apprécier d’abord l’effet de sa réaction élastique, dans l’état actuel d’équilibre de ses particules , il a fait tourner le cylindre seulement de qo° autour de son axe , et l’a abandonné à lui-même. Si la réaction de l’élasticité eût été parfaite, l'amplitude totale des oscillations eût été constamment de 180°; mais elle s’est
5o2. de l’élasticité.
trouvée bientôt moindre, et elle a continué à décroître avec le temps. Coulomb a observé combien il fallait d’oscillations pour la diminuer de io°- ensuite, laissant le fil continuer ses oscillations jusqu’à ce que la demi-amplitude fût réduite à 45°, il a observé de nouveau combien il fallait alors d’oscillations pour diminuer de io° l’amplitude totale, et ainsi de suite , jusqu’à ce que l’étendue des oscillations fût devenue très petite. Voici le résultat de l’expérience :
i Angle de torsion.
Diminution de l’ampli tude totale.
Nombre d’oscillations. I
eo
io°
OO
ÎO
ÎO
IO
On voit que dans les petits arcs , la diminution des amplitudes est à peu près proportionnelle à l’angle de torsion pris pour point de départ. Ainsi quand l’angle de torsion n’est plus que de ii° i 5' , la vitesse de décroissement est et quand l’angle de torsion est double, elle est de ff- , c’est-à-dire , précisément double aussi. Ce rapport se soutient presque exactement jusqu’à un angle de torsion de 4$°; car cet angle étant quadruple de ii° i5', la vitesse de décroissement calculée, d’après cette loi , devrait être 4. ~ ou , tandis que , selon l’expérience , elle est , c’est-à-dire , presque égaie au résultat du calcul, quoique cependant un peu plus rapide. Mais l’accélération devient plus sensible dans les grands angles ; car pour celui de qo° , par exemple , comme il est égal à huit fois 1 1° i5', la loi de la proportionnalité donnerait ou , tandis quelle
est ^réellement — -,
On voit donc que , pour représenter exactement tous ces
DE L’ÉLASTICITÉ
résultats , il faudrait altérer un peu la loi supposée de la proportionnalité. Par exemple , on pourrait prendre
2,25 sin3 A ,
A étant l’angle de torsion exprimée en fraction de l’angle droit , et N le nombre d’oscillations après lequel l’amplitude est diminuée de io°. En effet, en comparant cette formule à l’expérience , on aurait
Angle de torsion
Calculée.
ei de N
Observée.
Excès
du calcul.
Ce qui suffit pour prendre une idée juste de la véritable loi de décroissement.
Dans ces expériences, les particules métalliques , après avoir terminé leurs oscillations, reviennent à la même position de repos où elles se trouvaient avant que le fil eût été tordu ; car l’aiguille portée par le cylindre répond à la même division horizontale. Mais en tordant davantage, ce rétablissement n’a plus lieu , et le centre de torsion est déplacé d’une quantité variable , selon la grandeur de l’angle de torsion que l’on donne au fil. Pour le fil que nous considérons ici , cet effet commençait à se faire sentir quand la torsion primitive excédait qo°. Quand elle a été de 180° , le déplacement a été de 8°, et en laissant le fil parvenir au repos, et le tordant d’un nouveau cercle, il a été de 5o° ; enfin, à mesure que l’on a ainsi ajouté de nouvelles torsions aux premières, ce déplacement a augmenté, comme le montre le tableau suivant où la lettre C désigne une circonférence entière.
DE L’ÉLASTICITÉ
Degrés de torsion. successivement donnés au
fil.
Mouvement du centre de torsion.
DÉPI, ÀCE MENT total du centre de torsion pour la suite des expériences.
Etendue de réaction du fil.
Ie — 8»
i c -f- 3oo
le -f- 60
2e -f- 2go
ic -h 7°
