IC -J

1 c -f- IOO

IQC

Le fil s’est cassé.

Quand le fil s’est cassé, il s’était séparé en deux parties dans le sens de sa longueur. Il avait exactement la figure d’une corde formée de deux brins tordus ensemble.

Les deux premières colonnes n’ont pas besoin d’explication; la troisième est formée par l’addition successive de tous les nombres contenus dans la seconde ; la quatrième est formée en prenant la différence des nombres correspondans des deux premières colonnes. Choisissons pour exemple la première torsion qui a été de jc. Si le centre de torsion ne s’était point déplacé , le fil se serait d’abord détordu sensiblement autant qu’il avait été tordu, après quoi il aurait ramené le cylindre en sens contraire de ~c ; mais le centre de torsion s’étant avancé de S®, dans 3e sens de la torsion d’abord imprimée au fil , l’aiguille du cylindre n’a été ramenée que de jc — 8° par la première oscillation. Les autres nombres sont calculés de la même manière.

En examinant la succession de ces nombres , on voit que la réaction de torsion va toujours en croissant, à mesure que la torsion augmente et que le centre de torsion a été plus déplacé, comme si l’amplitude des oscillations que les particules peuvent exécuter autour de leur position actuelle croissait à ■mesure qu’elles ont déjà commencé à glisser davantage les une*

DE L’ÉLASTICITÉ

sur les autres ; ce qui semblerait indiquer qu’en glissant ainsi , elles se tournent mutuellement, de manière à se présenter leurs faces de plus grande attraction. Cette augmentation d’abord rapide, devient ensuite plus lente, comme le prouvent les dernières épreuves dans lesquelles l’étendue de la réaction élastique a été presque la même , quoique par l’effet des torsions précédentes, le centre de torsion se trouvât déplacé, dans le dernier essai, de près de 23 cercles.

Coulomb a fait une expérience pareille avec un fil de laiton de même numéro et de même longueur. D’abord, avant que le centre de torsion fût déplacé, il a eu les résultats suivans :

Angle de

torsion.

Diminution des amplitudes.

Nombre d’oscillations. Il

Ici le décroissement des amplitudes est beaucoup plus lent qu’avec le fil de fer, puisqu’il faut un nombre d’oscillations plus considérable pour les diminuer d’un même nombre de degrés. Ce phénomène indique déjà une élasticité plus parfaite. D’ailleurs , la vitesse de décroissement suit une loi à peu près pareille à celle de la précédente expérience. Dans les petites amplitudes, elle est sensiblement proportionnelle à l’angle de torsion , et dans les grandes amplitudes , elle devient plus rapide.

Passons maintenant aux expériences dans lesquelles le centre de torsion a été déplacé. En voici le tableau dressé comme pour la première expérience :

DE L ÉLASTICITÉ

Degrés de torsion successivement donnés au fil.

Mouvement du centre de torsion.

Déplacement total du centre de torsion.

Étendue de réac tion du fil.

3e -j- 3oo

ÏOc

7e -f- 3oo

Le fil s’est cassé.

Ici, comme dans l’expérience sur le fil de fer, la réaction du fil augmente à mesure que le centre de réaction se déplace. Mais l’étendue totale de cette réaction est plus grande dans le laiton que dans le fer , comme les premières expériences sur le décroissement progressif des amplitudes devaient nous le faire présumer. De plus , il a fallu ici tordre le fil d’une quantité beaucoup plus considérable pour déplacer le centre de torsion de la même quantité. Par tous ces résultats réunis, on voit que les molécules du fil de laiton peuvent, sans changer leurs points de contact, osciller autour de leur position d’équilibre dans une étendue beaucoup plus grande que les molécules du fil de fer ; et par conséquent l’élasticité du premier de ces deux métaux est beaucoup plus parfaite que celle du second. Mais pour un même métal , l’étendue de l’élasticité et la réaction de torsion varient avec diverses circonstances qu’il nous devient nécessaire de considérer.

Lorsque les fils de fer, de laiton ou de cuivre , sortent de la filière, ils sont roides , élastiques, ils se plient difficilement, et quand on les plie , ils font effort pour revenir à leur première direction. Ces propriétés subsistent tant qu’on ne les expose pas au feu; mais si on les y fait rougir, ils les perdent , et on peut ensuite les courber , les fléchir avec une extrême facilité. Cette

de l'élasticité. 5o*j

opération s’appelle le recuit , et il n’est personne qui n’ait eu l’occasion d’en observer les effets. La rapidité ou la lenteur du refroidissement ne paraît pas y apporter de différence sensible, du moins pour les métaux que je viens de citer; mais il n’en est pas ainsi de l’acier qui est une combinaison de charbon et de fer. Si après avoir fait rougir à blanc un petit barreau d’acier fondu, on le laisse refroidir lentement dans l’air, on pourra ensuite , sans qu’il se brise, le plier, le tordre , le passer à la /ibère , le couper avec la lime , l’étendre sous le marteau. Si l’on fait sur son contour une entaille circulaire , et qu’on le casse, la cassure observée à la loupe présente un aspect lamelleux et inégal. Mais si , après l’avoir de nouveau chauffé fortement , on le plonge tout à coup dans l’eau froide ou dans l’huile,, ou dans tout autre liquide dont la température soit fort inférieure à la sienne , opération que l’on appelle la trempe , il devient roide, élastique, inattaquable à la lime et cassant sous le marteau. Alors la cassure observée à la loupe est uniforme , et toute composée de grains extrêmement fins. La roideur et la dureté y sont d’autant plus grandes , que le refroidissement est plus rapide, ou en termes d’art, que la trempe est plus dure. Quand l’acier a acquis cette propriété , on peut la lui faire perdre en le chauffant de nouveau , et le faisant lentement refroidir; mais ce qui est fort remarquable, il la perd par degrés , c’est-àdire qu’après avoir été trempé fortement , il devient d’autant moins dur et moins roide à mesure qu’on le chauffe davantage. On se sert de ce moyen pour lui donner précisément le degré de dureté convenable pour les usages auxquels on veut l’employer. La trempe n’est pas le seul moyen que l’on ait d’augmenter l’élasticité de l’acier; on y parvient encore par l’écrouissage, opération qui s’applique aussi aux autres métaux, et qui consiste à les battre long-temps à petits coups avec un marteau , ou à les passer à la filière , ou en générai à les comprimer fortement de quelque manière que ce soit. Sans savoir comment ces opérations agissent sur le métal, et lui donnent des propriétés nouvelles , nous pouvons les admettre ici comme des faits certains.

5o8 DE L ÉLASTICITÉ.

Coulomb a cherché à en mesurer l’effet sur l’élasticité. Pour cela , il s’est servi du même fil de laiton , n° i , employé dans la dernière expérience ; il lui a ôté , par le recuit , tout l’écrouissage que lui avait donné la fdière , et il a éprouvé de nouveau sa force de torsion. On conçoit qu’elle devait être beaucoup plus faible que dans la précédente expérience. En effet, dans le premier cercle de torsion, ce fd recuit n’avait qu’une réaction de 5o degrés. Mais peu à peu , en le tordant, cette réaction augmentait; de sorte qu’après 90e de torsion , il avait acquis une réaction d’éla$< licite de près de 5oo degrés. Cet accroissement avait été progressif; d’abord du 2e au 3e cercle la réaction s’était accrue de 1 2°, c’est-à-dire qu’au lieu de 5o° elle avait passé à 62 ; du 4°® au 41e cercle l’accroissement avait été de 6°, c’est-à-dire moitié moindre. Enfin du 90e au 91e cercle il avait été à peu près de i°; de sorte qu’à cette époque l’étendue de la réaction élastique avait presque atteint son maximum. En voulant tordre ce fil de Ôo nouveaux cercles , il fut rompu au /49e. Sa réaction élastique devait être alors d’environ 520°, et l’on v©it qu’avant de se rompre, il pouvait être tordu de 140 cercles. Maintenant si l’on compare ce résultat avec l’expérience faite sur ce même fil avant qu’il fût recuit, on verra que lorsqu’il avait été sur le point de se rompre , la réaction élastique y était devenue aussi à peu près constante, mais un peu plus forte que dans le cas actuel ; car lorsqu’il était encore éloigné de sa rupture de 5o cercles, sa réaction élastique était alors de 2e -j- 6o° ou 780° ; tandis qu’après avoir été recuit, il n’avait à la même distance de sa rupture qu’une réaction de 020°. Ainsi la torsion donne de l’élasticité au fil de laiton , de même que l’écrouissage ; mais son effet est un peu plus faible. Coulomb avait cru que ces effets étaient égaux ; mais il est facile de voir qu’il avait par erreur comparé, le fil de lailori au fil de fer , n° 1 , au lieu de le comparer à ce même fil de laiton non recuit.

Ces expériences confirment, de la manière la plus évidente, la distinction que nous avons faite entre la cohérence et Fêlas! icité. Dans le fil de laiton recuit , la cohérence était considérablement affaiblie. Il pouvait à peine supporter un poids de douze.

DE l'élasticité. 5oÿ

livres, tandis qu’avant d’être recuit il en supportait vingt-deux au moment de la rupture. L’étendue de sa réaction élastique était aussi considérablement diminuée par le recuit, puisque, pour le premier cercle de torsion , elle Èe trouvait réduite à 5o°. Mais dans cette étendue de réaction qui restait à ce fil , la force de torsion était la même qu’auparavant ; car en y suspendant le même poids, les oscillations étaient dans les deux cas d’égale durée. D’après la manière dont nous concevons l’élasticité , ccs résultats n’ont rien que de très-simple. Dans le fil recuit , Fattraction absolue des particules les unes pour les autres est moindre que dans le fil non recuit, et il est plus facile de les séparer. Mais si vous ne les écartez pas jusqu’à ces limites , si vous les tirez seulement hors de leur position d’équilibre d’une petite quantité , elles y retourneront par une suite d’oscillations qui auront la même force et la même vitesse que dans le fil non recuit , parce que l’attraction qui les produit est la même, et ne dépend pas de la position respective des particules , le corps n’étant pas cristallisé.

Après avoir examiné la manière dont l’élasticité s’exerce , s’altère ou se développe dans les fils métalliques, Coulomb a voulu éprouver s’il en serait de même dans les lames. Pour cela , il a pris une lame d’acier à laquelle il a d’abord donné une trempe très-roide; il a fixé l’une des extrémités dans les mâchoires d’un étau, en lui donnant une direction horizontale, fig. io3 , et il a suspendu à l’autre bout différens poids, en observant à chaque fois de combien chacun de ces poids la fléchissait ; il a trouvé ainsi

Abaissement de Fextrémité delà lame ,

Poids suspendus , en livres. en lignes.

Les abaissemens sont sensiblement proportionnels aux poids ; c’est le résultat de S’gravesande. Ici l’élasticité est encore parfaite, et la lame déchargée des poids qui la tirent, reprend exactement la direction rectiligne qu’elle avait d’abord.

5 io de l’élasticité.

Coulomb a chauffé cette lame jusqu’à ce qu’elle eût acquis la couleur violette ; c’est celle que l’on donne à l’acier pour en faire des ressorts; ensuite il l’a laissée refroidir lentement dans l’air. Après ce recuit, elle avait perdu une partie de sa trempe et de sa dureté ; elle était venue, comme il le désirait, à la consistance d’un excellent ressort. Il l’a replacée comme la première fois ; et en la chargeant des mêmes poids; il a trouvé

Abaissement de l’extrémité de la lame ,

Poids suspendus , en livres.

en ligues.

c’est-à-dire précisément les mêmes résultats que dans l’expérience première. La lame déchargée de ces poids revenait également à sa direction rectiligne.

Enfin il fit chauffer cette lame à blanc pour lui ôter toute sa trempe , et il la laissa refroidir lentement dans l’air . Les résultats furent encore les mêmes qu’auparavant , c’est-à-dire que la lame chargée des mêmes poids s’abaissa précisément des mêmes quantités; et déchargée de ces poids , elle revint toujours à la direction rectiligne.

Ainsi , malgré tout le recuit que l’on avait donné à cette lame , elle conservait encore une certaine réaction d’élasticité. Ses molécules pouvaient être momentanément écartées les unes des autres, et se rétablir après; les poids employés dans les expériences précédentes n’étaient pas assez forts pour faire sortir les particules de leur position primitive ; de sorte que relativement à ces poids , l’élasticité de la lame recuite pouvait encore être considérée comme parfaite.

Il s’agissait maintenant d’examiner quelle force de traction il fallait employer dans chaque cas pour que le centre de flexion de la lame commençât à se déplacer ; mais comme on ne pouvait pas faire cette triple expérience avec une seule lame, Coulomb en avait tiré trois autres toutes pareilles dans une même planche d acier d’Angleterre. Il trempa la première à blanc , donna à

de l'élasticité. 5 1 1

Fautre îa consistance d’un ressort; enfin il ôta à la troisième toute sa trempe par le recuit. Voici ce qu’il observa.

La lame trempée très-roide, se rompait sous une traction de six livres; mais sous quelque angle qu’elle fut fléchie , au-dessous de celui de rupture , elle reprenait exactement sa première position. La lame revenue couleur violette, formant un excellent ressort , ne se rompait que sous une traction de dix-huit livres ; elle se pliait jusqu’au point de rupture , d’un angle à peu près proportionnel à la force de flexion qui lui était appliquée , et sous quelques angles qu’elle fût fléchie avant celui de rupture ; lorsqu’on la lâchait , elle reprenait sa première position. La lame recuite à blanc, et refroidie lentement, se pliait, jusqu’à une traction de cinq à six livres , proportionnellement à cette force de traction , et d’un angle absolument égal , sous la même force, que dans l’état de trempe et de ressort. Mais en tirant ensuite toujours perpendiculairement à la direction de la lame, afin de conserver le même levier , une force de sept livres suffisait pour la plier sous tous les angles ; et lorsqu’on îa lâchait , elle se relevait seulement de la quantité dont elle avait été primitivement fléchie par une traction de six livres ; en sorte que l’angle de réaction de flexion se trouvait changé de tout l’angle dont on l’avait fléchi avec une force plus grande que sept livres.

Ces expériences nous ramènent précisément aux mêmes résultats que celles qui ont précédé. Nous voyons que les particules d’un métal solide ont une certaine amplitude d’élasticité, telle que si on les écarte de leur position naturelle d’une quantité moindre que cette amplitude , elles tendent à y revenir, et y reviennent en effet par une suite d’oscillations , quand elles sont abandonnées à elles-mêmes. C’est dans cette propriété que consiste la force élastique des métaux. Si les forces qui tirent les particules les font sortir de ces limites , elles ne reviennent plus exactement à leur première position d’équilibre , mais elles en prennent une autre à laquelle elles sont encore ramenées par une suite d’oscillations. Enfin, si l’écart de la position primitive est trop considérable , l’attraction réciproque n’est plus assez forte pour retenir les particules , et le corps se rompt.

5ï2 dk l’élæsticitk.

L’idée que nous nous formons ici de la cohérence est applicable à tous les métaux ductiles et malléables. Car qu’est-ce qu’un pareil métal, sinon une substance dont les molécules peuvent glisser les unes sur les autres , et changer les points par où elles se regardent , sans pour cela perdre leur adhérence , et sans cesser de former un corps solide ? Quant à l’élasticité qui ramène les particules à leurs positions primitive#1, lorsqu’elles en ont été tant soit peu écartées , elle existe non-seulement dans les métaux, mais dans tous les corps de la nature, lorsqu’ils sont réduits en fibres très-minces. Elle existe meme dans les fils d’une finesse extrême qui sortent du corps du ver à soie , et on l’y rend sensible en les réunissant en grand nombre. La toile de l’araignée plus fine encore , est encore élastique , puisqu’elle cède à la pression sans se rompre, et qu’elle revient sur ellemême quand la force qui la tire est supprimée.

En voyant que plusieurs propriétés physiques des corps , telles que l’élasticité , la dureté , etc. sont modifiées si puissamment par l’opération de l’écrouissage , du recuit et de la trempe, il est naturel de chercher à découvrir en quoi cette influence consiste, et comment elle agit. D’abord , il paraît que l’écrouissage, en rapprochant par force les particules , donne au métal une augmentation de densité , et que le recuit la lui ôte. Cela suffit pour concevoir ces deux opérations. Quant à celui de la trempe , il est beaucoup moins facile à expliquer. Pour s’en faire une idée , il faut partir d’un fait général ; c’est que l’acier, après avoir été trempé , ne revient pas aux mêmes dimensions qu’il avait auparavant. A égalité de température , il occupe toujours un volume plus considérable; de sorte que la trempe le tient en quelque sorte dans un état forcé de dilatation. On en a la preuve dans une foule de procédés des arts. Si des coins cylindriques d’acier sont rodés exactement de manière à entrer justes dans un cylindre creux de même diamètre, et qu’on les trempe sans tremper le cylindre , ils ne peuvent plus y entrer ensuite. Si on les trempe en place , et que la matière du cylindre ne soit pas susceptible de trempe , en sorte qu’après le refroidissement elle revienne seule à ses dimensions primitives , les coins, en se dilatant, la refoulent de tous côtés sur elle-même, comme

de 3. élasticité.

si on les eût chassés violemment dans un trou beaucoup moindre que leur diamètre; et ils sont ainsi retenus dans le trou sans autre appareil avec une force inexprimable. M. Fortin a bien voulu , à ma prière , déterminer avec la plus grande exactitude rétendue, précise de cette dilatation. Pour cela, il a construit des plaques et des barreaux d’acier fin non trempés , d’une dimension propre à être placés sur le comparateur, Il a construit aussi des barreaux de fer qu’il a graduellement amenés à avoir une longueur rigoureusement égale ; puis il a trempé les morceaux d’acier , et les reportant de nouveau sur le comparateur avec leur type , il a déterminé l’excès de longueur qu’ils avaient acquise. Sa première expérience a été faite sur une plaque carrée , dont l’épaisseur en. lignes était 41<J2335; les deux cotés que je désignerai par A et B, mesurés avant la trempe à la température de i3° c. , avaient pour longueurs

A — 3o!,oq08; B — 301,6761.

La plaque ayant été trempée et ramenée à la même température de 1 3°, les côtés A et B se sont trouvés plus longs qu’aupara-* vaut , et leur accroissement était

de là on tire

— o,ooo4i5285 ;

Ce sont les dilatations produites par la trempe sur l’unité d« longueur. Elles s’écartent si peu l’une de l’autre , que leur différence peut être attribuée aux erreurs inévitables de l’observation. En prenant leur demi-somme, on aura 0,00041953 pour la dilatation moyenne. Au reste , ce résultat n’est point absolu; des pièces de même acier et de dimensions pareilles doivent éprouver des expansions inégales selon la température à laquelle on les porte avant de les refroidir subitement ;;et quand la température est la même , la seule inégalité de dimension des pièces fait varier très-irrégulièrement l’augmentation de leur volume. M. Fortin a pris un barreau du même acier que la lame précédente, et d’une longueur à peu près pareille, niais dont Tome I, 83

5i4 de l'élasticité.

les autres dimensions étaient beaucoup moindres ; sa longueur était 3 t.1, 2080 , sa largeur 5l,i 42234, son épaisseur 2^72627, sa dilatation après la trempe a été de ol,oo7 ; ce qui donne pour l’unité de longueur une dilatation égale à 0,000224301 , c’està-dire moitié moindre que celle que la plaque avait éprouvée. Toute variable qu’est cette dilatation , le seul fait de son existence jette quelque jour sur le phénomène de la trempe. Il paraît qu’à l’instant où l’acier fortement échauffé est précipité subitement dans une température très-basse , le refroidissement qui saisit les couches extérieures de la masse plus aisément que le centre , les force de se mouler pour ainsi dire sur ce centre échauffé et dilaté ; ce qui leur fait prendre des dimensions plus grandes qu’elles n’auraient eues si elles avaient été abandonnées graduellement à elles-mêmes. Bientôt les molécules placées plus près du centre se refroidissent à leur tour ; mais les couches extérieures, déjà parvenues à un état fixe, les retiennent par leur attraction, déterminent le volume qu’elles doivent remplir, et les empêchent ainsi de se rapprocher autant qu’elles l’auraient pu faire si elles eussent été abandonnées librement à un refroidissement graduel. La dilatation définitive deviendra donc plus grande à mesure que la différence de température entre les couches extérieures et intérieures de la masse métallique sera plus considérable , et pourra se soutenir plus longtemps. Cela explique avec beaucoup de vraisemblance pourquoi ïa dilatation est moindre dans les petites masses , que le refroidissement pénètre avec plus de promptitude.

D’après cette manière de voir , l’état de trempe de l’acier est un état forcé où les particules sont disposées autrement qu’elles ne le seraient si elles eussent été librement abandonnées au seul effet de leurs attractions mutuelles. Il ne faut donc pas s’étonner si la dureté , l’élasticité , et les autres propriétés physiques qui dépendent de l’arrangement des particules , en sont modifiées si fortement. Mais pourquoi la promptitude du refroidissement produit-elle ces effets sur l’acier , tandis qu’elle n’occasione aucun changement sensible dans l’or , l’étain , le cuivre et les autres métaux simples ? Pourquoi cette même cause produit-elle

de l'élasticité.

des résultats inverses sur l’alliage qui sert à faire les tamtams et les cymbales , comme M. Darcet l’a observé , et comme je l’ai vérifié d’après lui ? Car cet alliage , composé de 78 parties de cuivre et 22 d’étain , est cassant et non malléable, lorsqu’après l’avoir chauffé jusqu’au rouge, on le laisse refroidir lentement dans l’air ; tandis qu’au contraire il est flexible et malléable , quand après l’avoir ainsi chauffé , on le plonge subitement dans l’eau froide. Dans le premier cas, son grain est d’un blanc brillant comme l’étain; dans le second, il est jaune , de la couleur du cuivre. Nous avons vu pins haut que ces opérations déterminent aussi dans le grain de l’acier des différences considérables. Il est difficile de ne pas soupçonner dans ces phénomènes un changement de combinaison entre les particules de nature différente, dont l’acier et l’alliage sont composés. Néanmoins cette composition ne paraît pas être une condition essentielle pour que l’état d’agrégation d’une substance puisse être changé d’une manière durable. Le fer et le cuivre, exposés pendant quelques minutes à un courant de gaz ammoniac , y deviennent cassans et friables , sans rien absorber de sensible à la balance ; et en même temps ils décomposent complètement ce gaz , comme M. Thénard l’a le premier observé. Suivant le même chimiste , le phosphore chauffé jusqu’à 6o° c. , et refroidi lentement dans l’air, est blanc et transparent, tandis que si on le refroidit brusquement , en le jetant dans l’eau froide , il devient noir et opaque comme du charbon; et on peut le faire passer à volonté autant de fois qu’on veut d’un de ces états à l’autre^ Tous ces effets si variés , produits par le mode de refroidissement , sont impossibles à prévoir autrement que par l’expérience. Ce sont autant d’états d’équilibres possibles entre toutes les forces dont les particules sont animées ; mais ces forces sont trop inconnues et trop nombreuses pour que l’on puisse calculer d’avance le résultat de leur combinaison, d’après les circonstances où on les place.

Le verre trempé se durcit comme l’acier , et devient excessivement fragile. On peut l’éprouver, en laissant tomber dans l’eau froide de- petites larmes de verre en fusion. Par l’effet de

5l6 DE L ÉLASTICITÉ.

ce refroidissement subit, elles prennent un état d’agrégation nouveau , et si on brise la moindre partie de l’espèce de voûte qu’elles forment, toutes les particules se séparent en une fine poussière. C’est ainsi que sont faites ces larmes bataviques dont les enfans s'amusent, et qui peuvent servir également aux méditations des physiciens. Les effets qu’elles produisent, indiquent évidemment un état forcé des particules , et un mode d’agrégation déterminé , dépendant de la cause de refroidissement qui a agi sur elles. Mais ce qui le prouve encore avec plus d’évidence , c’est qu’elles produisent sur la lumière quelques-uns des effets qui sont propres aux corps cristallisés; propriété fort curieuse , qui a élé découverte par M. Brewster , et dont nous donnerons plus loin les détails.

De la Balance de torsion .

Après avoir analysé avec tant de soin les effets de la torsion des fils métalliques , Coulomb en a fait une application très-lieureuse à la construction d’un instrument quipeut servir à mesurer en général toutes les petites forces. Cet instrument est essentiellement formé d’un fil métallique vertical , dont le bout supérieur est attaché à un point fixe , et dont le bout inférieur , tendu par un petit poids , porte une aiguille horizontale. Quand on

veut apprécier de très-petites forces , on les fait agir sur l’extrémité de cette aiguille , et l’on mesure leur intensité par l’angle dont elles l’écartent de son point de repos. En un mot, on balance ces forces par la torsion , et c’est pourquoi Coulomb a donné le nom de balance de torsion à cet appareil.

Pour que l’agitation de l’air n’altère pas le mouvement de l’aiguille , elle est renfermée dans une cage cylindrique de verre , et le fil est aussi enfermé dans un cylindre de verre creux , au haut duquel on adapte un cadran divisé , qui peut tourner à frottement dur autour du cylindre. La pince qui retient le fil porte une aiguille horizontale qui marche sur ce cadran , et qui sert d’indicateur , quand on veut tordre le fl d’un nombre de degrés déterminé. Enfin une division circulaire appliquée hori-

PE l’ ÉLASTICITÉ. 5 l 7

socialement autour de la cage de serre , mesure la marche de l’aiguille; tout l’appareil est représenté fig. 104.

On donne au fil et à l’aiguille des longueurs et des grosseurs diverses , selon l’objet que l’on a en vue. Si l’on veut éprouver de très-petites forces , et donner une grande sensibilité à l’appareil , il faut employer des fils longs et fins ; car la force de torsion est inversement proportionnelle aux longueurs des fils , et directement proportionnelle aux quatrièmes puissances de leurs épaisseurs , ainsi que nous l’avons démontré. Les longs fils ont encore cet avantage qu’on peut les tordre d’un plus grand nombre de degrés , sans que leur élasticité soit altérée. Il faut en outre employer les matières dont l’élasticité est la moins imparfaite. A cet égard , nous avons vu que le laiton est de beaucoup préférable au fer ; aussi Coulomb s’en servait-il ordinairement. Il avait construit une balance de torsion avec des fils de laiton, nos 12 et <7 , d’environ un mètre de longueur. Leur force élastique était si parfaite, qu’en les tenant tordus de huit cercles pendant trente heures , le centre de torsion ne se déplaçait pas d’un degré.

Nous ferons, par la suite, un fréquent usage de cet appareil dans la théorie du magnétisme et de l’électricité. Pour le moment, je me bornerai à indiquer quelques autres applications que l’ordre des matières me permet d’exposer ici.

La balance de torsion peut servir pour rendre sensible l’attraction que tous les corps de la nature exercent les uns sur les autres , .proportionnellement à leur masse et réciproquement au carré de leur distance ; attraction qui , pour la masse de la terre , produit la pesanteur en vertu de laquelle tous les corps tendent vers son centre. Concevons en effet , que le fil étant au point de repos , on descende verticalement devant les extrémités de l’aiguille et en sens opposés, deux sphères d’une matière quelconque. Si elles exercent réellement une attraction à distance sur les molécules de l’aiguille suspendue , et si elles sont à leur tour attirées par elle , l’aiguille doit se déranger de sa position naturelle et s’avancer vers les sphères qui l’attirent, jusqu’à ce que la force de torsion , augmentée par ce déplacement, fasse

DE L ÉLASTICITÉ

équilibre à l’attraction. Même à cet instant d’équilibre, Faiguille marchera encore , non pas , à la vérité , en vertu de l’attraction , puisque la force de torsion l’emporte alors sur elle, mais en vertu de sa vitesse précédemment acquise. Elle s’avancera ainsi jusqu’à ce qu’enfin la force de torsion toujours croissante ait détruit cette vitesse et commencé à ramener l’aiguille vers son point de repos ; d’où elle recommencera de nouveau à se mouvoir vers les sphères, et ainsi de suite, en faisant une série d’oscillations. On pourra même rendre l’effet plus sensible en portant une plus grande partie de la masse de l’aiguille vers ses extrémités , ce qui se fera en la rendant très-mince , et la terminant à ses bouts par deux sphères. Cela aura encore l’avantage de faciliter le calcul de l’expérience; car dans la loi de l’attraction proportionnelle au carré des distances , on démontre qu’une sphère attire un point extérieur, comme si toute sa masse était réunie à son centre ; et quoique la masse de l’aiguille ne puisse jamais être rendue tout-à-fait nulle , on conçoit que si elle est fort petite , comparativement à la masse des sphères , elle n’aura sur les oscillations qu’une influence pareillement très-faible , dont il sera facile de tenir compte par le calcul; on saura donc ainsi quelles masses doivent avoir les deux sphères,, pour faire osciller le bras de la balance avec cette xitesse. En comparant la durée de ces oscillations à celle d’un pendule ordinaire de même longueur, mais que la pesanteur terrestre ferait seule mouvoir , on connaîtra le rapport de cette force à celle que les sphères exercent. De là on déduit par le calcul le rapport des masses des sphères à la masse de la terre ; et comme les volumes de ces corps sont aussi connus , on en tire les rapports de leurs densités. Cavendish , qui a fait cette belle expérience, a trouvé ainsi que la densité moyenne de la terre est égale à 5,5 , celle de l’eau étant i. Pour connaître le détail de l’opération , il faut recourir à son Mémoire qui se trouve dans les Transactions philosophiques pour l’année 1798. Quant aux principes mécaniques sur lesquels le calcul repose , on les trouve expliqués dans la Mécanique de M. Poisson, tome n, page 34» Coulomb a aussi employé la balance de torsion pour mesurer

de l’élasticité. 5iq

l’adhérence des fluides sur eux-mêmes. Il a donné sur cela quelques essais dans son Mémoire sur la torsion des fils ; mais , vers la fin de sa vie , il reprit ses recherches sous un point de vue plus général , avec des appareils tout nouveaux. Malheureusement, la mort l’a enlevé avant qu’il eût terminé ce travail, et même avant qu’il en eût déduit des résultats arrêtés; car on n’en trouve point de tels dans ses manuscrits. Mais du moins , pour aider les personnes qui voudraient réparer cette perte , je puis décrire l’appareil dont il faisait usage ; car Coulomb , qui m’honorait d’une amitié particulière, m’avait souvent permis de voir ses expériences. Il employait un fil de cuivre d’environ, un mètre de longueur et très-fin , pour avoir de plus petites forces. Il suspendait à ce fil des disques circulaires , de fer blanc ou de cuivre, ou de toute autre matière, fig. io5. Ces disques , presque sans épaisseur , avaient peu de poids et beaucoup de surface , ce qui était favorable au but qu’il s’était proposé» Après avoir observé leurs oscillations dans l’air , il remplissait d’eau ou de tout autre liquide le vase de verre qui les contenait , et il avait soin qu’ils en fussent couverts entièrement. Quand ils étaient en repos , il tordait le fil d’un certain nombre de degrés ou de cercles , au moyen de l’index de suspension , et , abandonnant le disque à lui-même , il observait avec une montre à secondes la durée de ses oscillations. Même comme cette durée était assez longue à cause de la grande étendue de torsion donnée au fil , il pou vait ainsi en observer les diverses parties , et voir , par exemple , combien il fallait de temps pour parcourir les vingt premiers degrés , puis les vingt autres , et ainsi de suite ; résultats qu’il comparaît ensuite avec les vitesses de circulation que la torsion avait dû produire dans ces points. Or le disque de métal oscillant ainsi sur lui-même n’éprouvait aucune résistance de la part du fluide ; si son mouvement était retardé , ce ne pouvait être que par l’adhérence des particules fluides, soit entre elles, soit avec la matière même du disque , et par conséquent l’observation des oscillations devait indiquer si cette adhérence était sensible. Il serait extrêmement eurieux de reprendre ces recherches, d’essayer, par exemple.

de l’élasticité.

si l’adhérence est la même pour des disques non susceptibles d’être mouillés par le fluide , et pour d’autres susceptibles d’être mouillés. Dans ce dernier cas, l’adhérence sera-t-elle la même pour tous les disques, comme les expériences faites sur leur adhésion semblent l’indiquer , et comme cela semble devoir être , puisque la même lame fluide demeure toujours attachée à leur surface ? le cas devient le même que si un disque fluide tournait dans un fluide de même nature. Enfin , je me rappelle encore que Coulomb avait aussi cherché à déterminer , par la torsion , les lois de la résistance des fluides dans les petites vitesses, en substituant aux disques, des aiguilles horizontales dont il observait aussi les oscillations. Ceux qui voudraient reprendre ces expériences, pourraient les lier avec celles que Newton a faites sur le même sujet, et qui se trouvent rapportées dans le second livre des Principes (scholie du 25e théorème); ils y trouveront les indications des parties les plus importantes auxquelles ils devront s’attacher, et ils y verront aussi des formes de calculs par lesquels ils pourront enchaîner leurs résultats.

Calcul du mouvement de rotation que prennent les corps suspendus a des fils élastiques tordus .

Comme la force de torsion peut être employée dans une infinité d’expériences, je crois utile de démontrer ici la formule qui donne le temps des oscillations , quand on connaît la forme du corps suspendu.

Concevons un corps de figure quelconque , suspendu au fil par un de ses points. Mettons -le en repos, de sorte que la torsion soit nulle; alors son centre de gravité se trouvera placé sur le prolongement de la verticale du fil. Si l’on tord celui-ci d’un certain angle A , le corps tournant aussi de ce même angle , et qu’on l’abandonne ensuite à son élasticité naturelle , il communiquera au corps , en se détordant , un mouvement de rotation autour de l’axe vertical qui passe par son centre de gravité, Nous pouvons donc appliquer ici les formules

de l’élasticité.

du mouvement d’un corps qui tourne autour d'un axe fixe. Un mouvement varié se compose toujours de la vitesse déjà acquise par le mobile , à l’instant que l’on considère , et des vitesses nouvelles que les forces accélératrices lui impriment à cet instant. Concevons donc qu’à l’époque t le corps ait acquis une vitesse angulaire de rotation , qui , mesurée à une distance î de l’axe, soit représentée par u : cette vitesse sera ru pour un point quelconque placé à la distance r de l’axe. Soit la force accélératrice avec laquelle la torsion du fil pousse alors ce même point perpendiculairement au rayon r. S’il était libre et s’il se mouvait seul^ elle lui imprimerait le petit accroissement de vitesse <pdt , dans le temps dt ; et par conséquent à l’époque t -f- d t, la vitesse totale de ce point serait ru -\-<Qdt. Mais comme il est lié invariablement avec les autres points du corps, il est obligé de partager leur mouvement, de même qu’il leur fait partager le sien; et de là résulte un mouvement angulaire moyen qui , étant ru à l’époque t , devient ru -f- rdu à l’époque f-j" dt. Par conséquent , si l’on imprimait alors, au point que nous considérons , cette vitesse de circulation moyenne en sens contraire de son mouvement de rotation réel , et que l’on fît la même chose pour chaque point du corps , il arriverait qu’en vertu de leur liaison et de leur réaction mutuelle , on anéantirait la rotation totale, pendant l’instant dt. Ainsi les vitesses r u ~j~ <pdt et r u + rdu sont telles , qu’appliquées à tous les points du corps en sens contraire l’une de l’autre , elles se feraient mutuellement équilibre; et comme on peut les supposer constantes pour tous les points d’un petit élément solide dm, le même équilibre devra encore avoir lieu entre toutes les quantités de mouvement (r u -}- <p dt) dm et ( ru rdu') dm. Par conséquent , si l’on

forme les momens statiques de ces forces , relativement au centre commun de rotation , en les multipliant par la longueur r du bras de levier au bout duquel elles agissent , ce qui donnera (ru ~f~<p dt)rdm, et (ru ~\-rdu)rdm , il faudra que les sommes de ces momens , calculées de l’une ou de l’autre manière pour toute l’étendue du corps , soient égales entre elles ; c’est-àdire , qu’en désignant la sommation par le signe S, on ait S (ru -j- d t) rd m rr: $ (r u -j- rd u)rd m.

DE L’ÉLASTICITÉ

Supprimant de part et d’autre le terme commun S r® û)dm , il reste pour condition, unique

S r ($ d t dm — S r2 dü$d m*

On peut même faire sortir les facteurs d l et d® de dessous le signe S ; car le temps , et la vitesse angulaire a> mesurée à l’unité de distance, sont constans pour tous les points du corps; on aura ainsi

d t S r dmzrzd m S rM d m»

L’intégrale S r2 d m ne dépend quedelaformeducorps.il faudra donc connaître cette forme pour l’évaluer. On l’appelle ? en mécanique , le moment d'inei-tie du corps relativement à l’axe d’où l’on compte les distances r. L’autre intégrale Sr$ dm semble dépendre à la fois de la forme du corps et de l’intensité de la force 0; mais cette composition n’est qu’apparente, et Ton peut trouver aisément sa valeur. En effet , le facteur Ç dm exprime la force avec laquelle la torsion du fil pousse l’élément dm placé à la distance rde l’axe, et rÇdm est le moment statique de cet effort ; ou , ce qui revient au même , r Ç dm est une force qui , appliquée perpendiculairement à l’extrémité du rayon i , produirait le même effort que la force ç sur l’élément dm. La somme de toutes ces forces est donc telle , que si on l’appliquait ainsi à la distance i de l’axe , en sens contraire de la rotation réelle, et qu’il n’y eut point de vitesse angulaire précédemment acquise , elle tiendrait le corps immobile et détruirait tout l’effort du fil pour le faire tourner. Or, nous avons précédemment désigné par n la force qu’il faudrait ainsi appliquer perpendiculairement à l’extrémité du rayon i , pour arrêter le fil , en supposant que l’arc de torsion mesuré à cette même distance de l’axe fût égal à l’unité de longueur; et nous en avons conclu que «X serait la force nécessaire pour produire le même équilibre, quand l’are de torsion serait X. Les deux forces «X et Snpdm sont donc telles, qu’appliquées en sens contraire , à l’extrémité du rayon i , elles détruiraient également l’effort du fil ; par conséquent elles sont égales 3 et l’on a

S r d m zzz n X*

DE L ÉLASTICITÉ. 523

Ceci étant substitué dans l’équation du mouvement du corps , elle devient

ou simplement

en faisant , pour abréger ,

Sr* d m

Représentons par A l’arc de torsion primitivement donné au fil , à partir de son point naturel d’équilibre. A l’époque t , l’écart est exprimé par X ; ainsi A — X est l’arc total décrit par le corps depuis l’instant de son départ. Comme cet arc est mesuré à la distance 1 de l’axe, il suffira de prendre sa différentielle et de la diviser par dt , pour avoir l’expression de la vitesse angulaire cà , à l’époque U On trouve ainsi

L’opposition qui existe entre les signes de a> et de d X vient de ce que la vitesse augmente quand X diminue, c’est-à-dire, quand le fil se rapproche de son point naturel d’équilibre. Différencions en prenant dt pour constante, nous aurons

d a * d* X dt dt%

et par suite

dt*

Cette équation a pour intégrale

X — a sin

a et b étant deux constantes arbitraires qui doivent être déterminées par les circonstances initiales du mouvement.

Dans nos expériences , on fait d’abord décrire au corps un angle A autour de l’axe, et on l’abandonne ensuite à l’action du fil , sans lui imprimer aucune vitesse initiale. Ainsi , en appe»

5^4 de l’élasticité.

lant X la distance angulaire d’un de ses points quelconque à sa position de repos , on a au commencement du mouvement

dX.

t= °; X=A ct^r=°-

La première condition exige qu’on ait

A =:a sin b ;

la seconde oz=au cos b.

Or, u est donné, et a ne saurait être nul, puisqu’alors X serait toujours nulle, et il n’y aurait pas de mouvement. Il faut donc que cos b soit nul, ce qui donne è~ qo°; sin b~ 1 , et A les deux constantes arbitraires se trouvent alors déterminées , et , en substituant leurs valeurs dans l’expression générale de X, elle devient X — A cos u t;

d’où l’on peut tirer toutes les circonstances du mouvement.

Pour fixer les idées, considérons en particulier un des points du corps , par exemple , l’extrémité de l’index qui marque les amplitudes des arcs sur la division circulaire. Au commencement du mouvement où t est nul , l’arc X est égal à A. C’est une de nos premières déterminations. A mesure que t augmente, le facteur cos ut diminue ; par conséquent l’arc X décroît, c’est-àdire, que l’index se rapproche de son point naturel de repos. Mais , en même temps , la vitesse de circulation augmente ; car son expression générale, tirée de la valeur de X, est

dX.

-* — - rrr — A u sin u t , dt

et le facteur sin «/, d’abord nul quand t est nul , croit avec cette variable. De plus, le signe de cette vitesse indique qu’elle tend à diminuer l’arc X.

L’arc X diminuant toujours, devient nul quand ut est égal

au quart de la circonférence ; c’est-à-dire , à — , 7t étant la demi-

circonférence dont le rayon égale i. On a donc alors

et l’index se trouve revenu à son point naturel de repos. Mais il

DE L ELASTICITE.

lie s’y arrête pas; au contraire , c’est alors que sa vitesse de eir-

, dX

culation est la plus grande ; car l’expression de y— atteint son

maximum quand utz=z \'jr -> puisqu’alors le facteur sin ut devient égal à l’unité ; au lieu qu’il est une fraction dans tous autres cas. Au-delà de ce terme, t augmentant toujours, ut devient plus grand qu’un angle droit, cos ut est donc négatif ainsi que l’arc X , c’est-à-dire , que l’index passe de l’autre

côté du point de repos. Mais l’expression de montre que

sa vitesse diminue alors graduellement , à mesure que t augmente. Enfin elle devient nulle lorsque ut est égal à une demicirconférence , ce qui donne

et par suite

dX d t

L’index se retrouve alors à l’extrémité de son oscillation , et précisément dans les mêmes circonstances de position et de vitesse qu’au commencement du mouvement, où t était nul. Il recommence donc les mêmes périodes de mouvement, et celte périodicité est indiquée par la forme révolutive des fonctions sin ut , cos ut. Ainsi chacune de ces périodes ou oscillations

•je

s’accomplit dans l’intervalle de temps T, dont la valeur est - , ou en mettant pour u sa valeur

de sorte que ce temps peut se calculer , quand on connaît la forme du corps et la constante n.

Supposons par exemple que le corps soit un cylindre à base circulaire , dont l’axe soit vertical et coïncide avec la direction du fil. Menons par cet axe deux plans formant entre eux un angle infiniment petit dX, et coupons-les par un troisième, mené horizontalement à la hauteur du point que nous voulons

DE L’ÉLASTICITÉ

considérer. Nous isolerons ainsi dans le cylindre un secteur circulaire A CB, fig. 106, terminé à la surface extérieure AB. Prenons sur CA une distance quelconque CM exprimée par r ? et une autre infiniment peu différente CM' , qui sera a -f- d r. Puis avec ces deux rayons décrivons les arcs M N , M N' . Le quadrilatère M.N M' N' pourra être considéré comme sensiblement rectiligne a cause de la petitesse de ces arcs , et sa surface sera le produit de MM' ou dr par M N ourJX, c’est-à-dire rdrd'K, Cela posé , nous pouvons prendre pour élément solide du cylindre le petit parallélipipède élevé sur cette base , et dont la hauteur serait d z , ce qui donnera

dm = r drdz d'X.

En substituant cette valeur dans S a2 d m , nous aurons \

Sa2 dm zz=z S r3 dr dz d X ,

expression dans laquelle les intégrations se présentent d’ellesmêmes. D’abord celle qui se rapporte à r, donne le facteur - aÉ Il faut étendre cette intégrale dans toute l’épaisseur du cylindre , par conséquent depuis a ~ o jusqu’à a égal au rayon extérieur que nous désignerons par a ; on aura donc d’abord

S a4 d m r=r — S dz JX ,

en supposant que les z commencent à la base inférieure du cylindre , l’intégrale relative à z devra se prendre depuis z = o jusqu’à zz=h,h étant la hauteur totale du cylindre. Elle donnera donc le facteur h dans la valeur de Sa2 dm. Enfin l’intégrale relative à X doit être prise dans tout le contour de la circonférence , c’est-à-dire depuis X = o jusqu’à X = 2tt; car nous avons tacitement supposé que l’angle X était mesuré sur un cercle dont le rayon égalait l’unité de longueur. Il viendra donc

h ad

Or , en nommant M b masse du cylindre , on a

par conséquent Sr*dm

DE I/ÉLASTÏCITÉ*

et puisque le temps T d’une oscillation est représenté en général /Sr5 d m\~

par iT f —J 31 , sa valeur dans le cas actuel , sera

C’est la formule donnée par Coulomb»

Si le corps suspendu était une aiguille cylindrique , très-mince comparativement à sa longueur , et suspendue horizontalement par son milieu , il faudrait s’y prendre autrement pour obtenir Sr2 dm d’une manière simple. Dans ce cas , on pourrait décomposer l’aiguille en tranches infiniment minces par des plans perpendiculaires à sa longueur; dr représentant l’épaisseur d’une de ces tranches, et g le rayon du cercle qui leur sert de base, le volume de chacune d’eiîes serait % ç? dr. Or, l’aiguille étant supposée très-mince , on peut prendre une de ces tranches elles-mêmes pour l’élément solide dm, et en supposer tous les points également éloignés de l’axe de rotation. Alors l’intégrale S r2 d - Z deviendra S g 2 ra dr , et comme -vg2 est constant pour toutes les tranches , elle deviendra - crr3g2. Pour l’étendre à toute la masse de l’aiguille, dont nous supposerons que la longueur soit 2/, il faudra la prendre depuis r — o jusqu’à r — l, et ensuite la doubler, ce qui la rendra égale à jttç2/3. Or, la masse de l’aiguille est 2 % / ; en la désignant par M , on aura

et par suite

8r2 dm