CHAPITRE IL

Du Miroir plan.

La loi générale de la réflexion étant connue , nous pouvons en déduire toutes les apparences qui doivent s’observer lorsque la surface réfléchissante est plane.

Soit. fig. 4, S un point rayonnant, O l’œil, et AB le plan réflecteur que je supposerai d’abord indéfini. Parmi tous les rayons lumineux qui émanent de S , il y en aura un tel , que S I , qui , après s’être réfléchi sur le miroir , ira rencontrer l’œil en O suivant la direction 10. Alors, pour ce rayon, les angles SIA, O IB seront égaux entre eux. La nécessité de cette condition suffit pour le déterminer. En effet, menez du point rayonnant S une perpendiculaire S A qui rencontre en A la surface réfléchissante ; prolongez cette perpendiculaire vers l’autre côté du miroir d’une quantité AD ~ SA. Puis du point D menez la ligne D O dirigée vers l’œil ; D O sera la direction du rayon réfléchi , et le point I où elle coupe la surface du miroir sera le point d’incidence. En effet , abaissez aussi de l’œil sur le miroir la perpendiculaire OB; les deux angles O IB , AID seront égaux entre eux comme opposés au sommet. Or, l’angle AID égale l’angle AI S, puisque les triangles AID , AI S sont égaux entre eux dans toutes leurs parties; donc , l’angle SIA égale l’angle OIB, ce qui est précisément la condition de la réflexion. De plus, il est aisé de voir que cette égalité a lieu seulement pour le point d’incidence I, déterminé comme nous venons de le dire. Car si l’on supposait ce point plus près de B, par exemple en L, l’angle S IrA serait moindre que O I'B ; et si on le supposait en 1", c’est-à-dire plus rapproché de A , l’angle S L'A serait plus grand que l’angle O I' B. Ainsi le point déterminé par notre construction satisfait à la loi générale de la réflexion , et est le seul qui y satisfasse; d’où nous conclurons que parmi tous les rayons

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émanés de S , il y en aura un S I qui se réfléchira vers l’œil , et il n’y en aura qu’un seul qui jouisse de cette propriété.

L’ouverture de la pupille , qui admet les rayons dans l’œil , n’est pas un point mathématique; c’est un espace qui, dans l’homme , a environ deux millimètres de diamètre , et que nous pouvons représenter par LL, fig. 5. Tous les rayons réfléchis qui pourront entrer dans cette ouverture parviendront jusqu’à la rétine, et contribueront à la vision. Or chacun d’eux se détermine par la même construction que nous venons d’employer tout-à-l’heure ; de là il est évident qu’ils formeront un cône à base circulaire, dont la pointe sera D, et la base L L. Il est de fait que l’œil, lorsqu’il peut apprécier librement la distance des points lumineux , les suppose placés au point où se croisent les rayons qu’ils lui envoient. Ainsi l’œil étant placé en O , le point lumineux , vu par réflexion, paraîtra en D , c’est-à-dire autant derrière le miroir qu’il est réellement en avant.

Si l’objet rayonnant a une certaine étendue, chacun des points rayonnans qui le composent fera son image à part, suivant les lois que nous venons d’expliquer, et l’ensemble de ces images composera l’image de l’objet. Supposons , par exemple, que celui-ci soit une flèche S S', fig. 6 ; la base S de la flèche fera son image en D , la pointe S' fera la sienne en D', et les points intermédiaires donneront la leur sur la droite D D". Ainsi l’image entière sera comprise entre les rayons réfléchis extrêmes D O , D' O; sa grandeur absolue D D' sera égale à SS', c’est-à-dire à celle de l’objet lui-même; mais elle paraîtra renversée de droite à gauche.

D’après ce que nous avons dit tout-à-l’heure, fig. 5, chaque point de cette image est jugé par l’œil au lieu où il est réellement fixé par notre construction géométrique. Si donc à sa place on substituait un objet réel et semblable , c’est-à-dire une flèche toute pareille à S S', que l’on posât sa pointe en D', sa base en D , et qu’on la regardât du point O , eu supprimant le miroir, on la verrait précisément comme on voit l’image DD', avec la même grandeur , les mêmes angles visuels et le même degré de clarté , puisque tous les points lumineux qui composeraient l’objet

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réel , enverraient à l’œil des cônes de rayons lumineux exactement semblables à ceux que lui envoie l’image. Il suit de là que les objets sont vus dans le miroir plan avec les mêmes formes, la même clarté , et à la même distance que si on les voyait dans l’air , pourvu qu’ils fussent seulement éclairés par la portion de lumière réfléchie qui compose l’image ; car il faut faire abstraction de celle qui est transmise , si le corps est diaphane, ou qui est absorbée , s’il est opaque.

Ce qui précède suffit pour résoudre toutes les questions que l’on peut se proposer , relativement à la réflexion de la lumière et à la vision des objets par des miroirs plans.

Nous distinguerons seulement une application qui offre quelque singularité. Supposons que l’objet SS' soit vertical, que le miroir AB soit incliné à 4^° à l’horizon, et que le spectateur O H soit droit ; alors , d’après notre construction , il est évident que l’image DD' lui paraîtra horizontale. Donc, si l’objet SS' est un homme élevé sur un tabouret, cet homme paraîtra couché et ayant un tabouret à ses pieds. Pour fortifier l’illusion, on peut placer un coussin derrière sa tête, et alors dans l’image il paraît reposer dessus. Mais malgré tout cela , l’illusion est très-loin d’être complète , parce que l’on remarque dans les muscles et dans toute l’habitude du corps un affaissement qui résulte nécessairement de la situation verticale, et qui avertit notre entendement que l’homme n’est pas couché. Nous ne remarquons pas cet affaissement quand nous voyons un homme debout, parce que nous y sommes accoutumés; il nous frappe , dès que nous joignons à sa position l’idée de repos et d’une situation horizontale.

La réflexion de la lumière s’opérant avec une rigueur mathématique , suivant la loi que nous venons de démontrer, on peut l’employer avec un extrême avantage pour mesurer les angles formés par deux surfaces planes et polies. Comme cette mesure est nécessaire pour une infinité de recherches de physique , et que tous les autres moyens par lesquels on peut tenter de l’obtenir sont excessivement grossiers , quand on les coin-

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pare à îa réflexion de la lumière, je vais expliquer ce procédé avec quelque détail.

L’instrument le plus commode pour cet objet est celui que M. Charles emploie , et qu’il nomme goniomètre , c’est-à-dire mesureur cV angles. Il est formé d’un cercle de cuivre horizontal * divisé sur sa circonférence , et muni d’une alidade qui peut tourner sur sa surface autour d’un axe vertical CZ, fig. 7. A côté de ce cercle et à sa hauteur, sur un support qui en est indépendant, on établit une petite lunette LL, qui, dans les observations, doit rester fixement dirigée sur la surface réfléchissante ; mais à laquelle cependant on donne un mouvement horizontal et vertical, afin qu’on puisse aisément l’amener dans chaque cas sur la direction qui convient le mieux. Cette lunette est munie intérieurement d’un micromètre à fils; c’està-dire qu’on a tendu dans son intérieur un réseau de fils trèsfins qui servent, de repaire fixe pour diriger la lunette , comme je l’ai expliqué plus haut.

Supposons maintenant que l’angle dièdre que Ton veut mesurer soit celui que forment les surfaces planes AB, AD. On fixe sur l’alidade mobile du cercle , avec de la cire molle, le corps dont ces surfaces font partie , et on les dispose de manière que leur arête commune AA soit verticale. Pour cela , voici comment on opère : l’instrument doit être pesé devant une fenêtre d’où l’on découvre des objets éloignés et verticaux, par exemple, des cheminées, des clochers, des paratonnerres. Si Ton fait réfléchir ces objets sur une surface verticale , il est évident que l’image réfléchie sera également verticale, car il n’y a aucune raison pour qu’elle penche d’un côté plutôt que d’un antre. Si donc on la regarde à travers une lunette dans laquelle on ait aussi tendu un fil vertical , il est évident qu’en faisant tourner horizontalement l’alidade mobile qui porle la surface réfléchissante , il viendra un moment auquel l’image de la cheminée ou du paratonnerre viendra se placer exactement sous le fil. Or la lunette fixe du goniomètre contient précisément uu fil disposé de celte manière, et que l’on a préalablement réglé

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en l’alignant sur l’image directe de l’objet. Ainsi, lorsqu’on voudra disposer une nouvelle surface de manière qu’elle soit verticale, on la fera mouvoir sur le support de cire jusqu’à ce que cette condition soit satisfaite , et l’on sera aidé en cela par le secours d’un second fil horizontal que la lunette renferme , et qui, lorsque la surface réfléchissante est verticale, doit toujours répondre aux mêmes points horizontaux de l’objet. On répète la même épreuve pour l’autre surface de l’angle dièdre. Quand elle est satisfaite pour toutes les deux , leur arête commune A A est nécessairement verticale, et l’on parvient à les accorder ainsi par quelques essais. J’ai décrit ici le procédé pour le cas le plus difficile ; mais le plus souvent les corps que l’on a besoin de mesurer sont des prismes dont les bases sont taillées perpendieu-» lairement aux arêtes. Alors il suffit de poser la base de ces prismes sur l’alidade mobile du cercle, et de l’y attacher latéralement avec de la cire. Les arêtes seront nécessairement verticales. On pourra alors vérifier toutes les conditions de coïncidence que j’ai exposées.

Supposons maintenant, fig. 8, la première surface AB de l’angle dièdre, dirigée de manière que le rayon SI , envoyé par l’objet S sur cette surface, se réfléchisse dans la lunette L, et réponde exactement sous le fil. Admettons de plus que cet objet soit si éloigné , que la grosseur du corps dont on mesure les angles soit insensible comparativement à cette distance ; alors on lira sur le limbe du cercle la division à laquelle l’alidade répond. Cela fait, si l’on tourne cette alidade , elle fera tourner aussi la surface AB qu’elle porte, et l’image de l’objet ne répondra plus dans la lunette au centre des fils , ou même elle n’y entrera plus du tout ; mais ,à force de tourner, on finira par la revoir par réflexion sur l’autre surface AD de l’angle dièdre. Or, pour cela , de combien a-t-on dû tourner l’alidade ? Pour le savoir, il faut faire attention que , l’objet S restant immobile , ainsi que la direction de la lunette , lorsque la surface AD réfléchit l’objet dans cette dernière , elle a nécessairement une direction parallèle à celle qu’avait la première surface lorsqu’elle produisait le même effet. Tout se réduit donc à ceci : étant Tome III. 1 1

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donné un angle B A D , placé dans un cercle, de combien faut-il faire tourner ses branches sur lui-même , pour que AD prenne la direction AB ? Maintenant la chose est bien facile , car vous n’avez qu’à supposer que la rotation se fasse autour du point À, qui est le sommet de l’angle , et qu’elle se fasse dans le sens B D ; alors, si vous prolongez le côté B A vers D' , il est clair que le côté AD devra décrire l’angle DAD' pour venir se placer sur cette direction. Cet angle D AD' est le supplément de l’angle proposé B AD , que nous nommerons A ; ainsi 180 — A sera le mouvement de la face AD. Peu importe autour de quel point la rotation se fasse , son étendue sera toujours la même. Donc , quand on aura effectué ce mouvement , si on lit sur le limbe l’arc parcouru par l’alidade, et qu’on le nomme (A), on aura

180 — A — (A) , ce qui donne A ~ 1 80 — (A) ,

et ainsi l’angle dièdre formé par les deux faces du corps sera connu. Supposons que l’on repète la même opération successivement sur les trois angles A , B , C d’un prisme droit triangulaire , à base horizontale ; alors , en nommant (A) , (B) , (C) les trois résultats observés, en faisant toujours tourner l’alidade du cercle dans le même sens , on aura

ce qui donne

Mais puisque le corps est un prisme triangulaire droit, ses angles dièdres sont égaux aux angles rectilignes du triangle oui lui sert de base , et ainsi leur somme doit faire 1 8o° ; on a donc A -f* B -j- C rzr 180°,

et par conséquent

c’est-à-dire que la somme des trois résultats observés doit toujours être égale au tour de la circonférence. Ceci fournit une vérification pour connaître si l’on a bien opéré.

Mais il y a plus; si l’on veut avoir chacun de ces angles avec

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une extrême exactitude , on peut appliquer à leur mesure le principe de la répétition des angles si utile en astronomie. Pour cela , quand on a fini la mesure de l’angle A , on fixe l’alidade sur ce point , et on n’y touche plus. Mais on desserre les vis qui retenaient le limbe du cercle immobile ; et on le fait tourner eu sens inverse , jusqu’à ce qu’il ramène la première face AB , parallèlement à sa première position. Alors on attache de nouveau le limbe qui redevient immobile, et on recommence la mesure de l’angle A par le mouvement de l’alidade, comme précédemment. Mais cette fois, le point de départ de l’alidade n’est pas le même que dans l’opération précédente, parce qu’elle a déjà marché d’une première quantité égale à la mesure du premier angle. Ainsi le point de départ de cette seconde opération est la fin de la première. A cette seconde , on en peut faire succéder une troisième, et ainsi de suite. Alors, si le nombre total des opérations est /?, l’arc total parcouru sur le limbe sera égal à n fois 1 80 — A. Ainsi , pour avoir 180 — A , il faudra le diviser par le nombre n des mesures successives que l’on aura faites ; d’où l’on voit que toutes les erreurs qui peuvent exister dans la division de l’instrument ne porteront que sur la première et la dernière lecture, et se compenseront exactement dans tous les points compris entre les extrêmes. Or, ces erreurs des points extrêmes se trouvant divisées par le nombre n , l’erreur définitive qui en résulte sur l’angle 180 — A, et par conséquent sur A, peut devenir aussi petite que l’on voudra.

Il faut toujours avoir grand soin que la pince qui sert à fixer le limbe dans la répétition des angles le tienne ferme et immobile. Car si elle pouvait glisser, tout ce que le limbe ferait ainsi de mouvement ne serait pas exécuté par l’alidade , et les observations seraient altérées. Pour éviter sûrement cet inconvénient, il serait utile qu’il y eût sous le limbe une seconde lunette à fils qui pût aussi tourner autour de son centre, et être successivement rendue fixe ou mobile , comme dans les cercles répétiteurs. Alors , quand on aurait rendu le limbe fixe , on la dirigerait à travers l’air sur l’objet qui sert de mire ; on mettrait cet objet sous le fd du micromètre , et cela servirait à reconnaître si le

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limbe se déplace le moins du monde, pendant que l’on fait tourner l’alidade supérieure. D’après cela , on voit que, si l’on a à sa disposition un cercle répétiteur, on peut s’en servir aisément comme goniomètre ; car le limbe de cet instrument peut être rendu horizontal, et il porte deux lunettes sur ses faces opposées.

Les procédés que nous venons d’expliquer peuvent servir à mesurer exactement les angles dièdres que les faces des cristaux forment entre elles, ce qui est un des élémens les plus essentiels de la minéralogie. Mais comme ces faces sont ordinairement peu étendues , il faut chercher à les placer aussi près qu’il est possible de l’axe de rotation de l’alidade, c’est-à-dire du centre du cercle , afin que l’image de l’objet qui doit être ramenée dans la lunette sous le fil du micromètre puisse se former sur les deux facettes successivement 5 ce qui 11’aurait pas lieu , par exemple ,si l’une des facettes , en se retournant , se trouvait entièrement hors de la direction que le rayon réfléchi doit avoir pour arriver sous le fil.

M. Wollaston a imaginé pour cet objet un instrument d’une grande simplicité, qui est représenté fîg 9 ; il se compose d’un cercle de cuivre gradué sur son bord, et tournant autour d’un axe horizontal AA , lequel est lui- même porté sur un pied vertical CP. L’axe AA est percé dans toute sa longueur, pour laisser passer un autre axe intérieur a a , dont l’extrémité saillante porte plusieurs pièces à mouvemens rectangulaires , sur lesquelles on attache avec de la cire molle le cristal dont on veut mesurer les angles. Pour se servir de cet instrument, il faut se placer en face de quelque édifice qui offre plusieurs lignes horizontales parallèles les unes aux autres. Alors on pose sa base sur quelque plan horizontal , de manière que son limbe devienne vertical, et perpendiculaire, ou à peu près perpendiculaire aux lignes qui doivent servir de mire. Puis plaçant l’œil tout près du cristal, on fait tourner l’axe intérieur a a jusqu’à ce qu’une des lignes supérieures de l’édifice y soit aperçue par réflexion sur une de ses surfaces , et au moyen des pièces mobiles qui le portent, on le tourne jusqu’à ce que cette image réfléchie

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coïncide avec une des lignes inférieures vues directement. Quand on a obtenu cette condition, l’on fait tourner de nouveau l’axe intérieur aa jusqu’à ce que la même coïncidence s’observe de même sur l’autre face dont on veut mesurer l’angle dièdre avec la première ; c’est à quoi l’on parvient bientôt par quelques essais. Or, lorsque cette coïncidence peut ainsi s’obtenir successivement sur les deux faces sans changer la place de l’œil , sans toucher au cristal, et par la seule rotation de l’axe aa , on est sûr que l’intersection des deux surfaces est elle-même exactement horizontale, et par conséquent parallèle à l’axe a a', dès-lors on ne touche plus au cristal; mais partant d’une des positions dans lesquelles la réflexion s’observe sur une des deux surfaces , on tourne le limbe jusqu’à ce que la réflexion et la coïncidence des mêmes lignes s’observe de même sur l’autre. Ce mouvement s’opère au moyen du grand axe AA, qui fait tourner avec lui l’axe a a , le cristal et le limbe. L’arc dont celui-ci a tourné est mesuré par la division tracée sur le limbe, et il est évidemment égal au supplément de l’angle dièdre formé par les deux surfaces. Mais la division tracée sur le limbe est écrite de manière à indiquer l’angle même , du moins quand on a d’abord mis l’index sur le point zéro.

Pour que l’application de ce procédé soit facile et sûre , il faut que les dimensions du cristal et sa distance à l’œil puissent être considérées comme fort petites , comparativement à l’éloignement des objets qui servent de mire. Car si cela a lieu, la fixité de l’œil n’est plus une condition nécessaire , pas plus qu’elle ne l’est dans les observations que l’on fait en mer avec les instrumens de réflexion. De plus, la verticalité du limbe sera assurée par la possibilité même d’opérer la coïncidence des lignes réfléchies avec les lignes parallèles vues directement ; enfin l’observation de ces coïncidences sur les deux faces attestera de la manière la plus exacte que l’angle mesuré est bien exactement celui qu’elles embrassent. Pour s’habituer au maniement de l’instrument, on peut employer d’abord comme cristal une lame très-mince de chaux sulfatée ; car ces lames , lorsqu’elles sont tirées d’un cristal bien pur , ont leurs deux surfaces exacte-

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inent parallèles ; de sorte que l’on doit trouver l’angle qu’elles comprennent exactement de i8o°. Cela servira donc à la fois d’exercice et de vérification pour la bonté de l’instrument. C’est ce dont on pourra s’assurer aussi avec d’autres cristaux, en répétant plusieurs fois la mesure de leurs angles. Un des avantages particuliers à ce goniomètre, c’est de pouvoir servir à mesurer les angles des plus petits cristaux, auxquels même seuls il est applicable. Or, l’expérience a prouvé que ces petits morceaux sont les seuls dans lesquels on doive chercher une parfaite régularité , les grands cristaux étant presque toujours maclés , c’est-à-dire composés de cristaux plus petits , arrangés dans un ordre qui s’écarte toujours un peu de la forme régulière.

DES MIROIRS COURBES