CHAPITRE III

Des Miroirs courbes.

JP our découvrir et déterminer en général le lieu apparent, la forme et la grandeur des images que réfléchissent les miroirs courbes , quelle que soit leur figure , il suffit de concevoir la réflexion de chaque rayon lumineux comme se faisant sur le plan tangent à la surface au point d’incidence. Alors on peut, par le calcul , étendre à toutes les surfaces les déterminations que nous avons obtenues pour le miroir plan. Mais , dans les usages pratiques , il est inutile de s’élever à cette généralité , car 011 n’y emploie jamais que des miroirs sphériques concaves ou convexes, les seuls que l’on puisse travailler et polir avec exactitude. Même on n’en obtient d’images nettes que dans le cas où les rayons lumineux tombent presque perpendiculairement sur leur surface. Aussi ce cas sera le seul que nous nous proposons d’examiner.

Pour en fixer les circonstances avec exactitude , concevons dans l’espace un point lumineux lançant ses rayons sur les diverses parties d’une surface sphérique quelconque , concave ou convexe; et , isolant un d’entre eux , cherchons à déterminer la direction du rayon réfléchi qui en résultera. Pour cela , rappelons-nous que la réflexion s’opère toujours dans le plan mené par le point lumineux et par la normale au point d’indice. Ici cette normale est le rayon même de la sphère; ainsi la réflexion s’opérera dans le plan du grand cercle mené par le point d’incidence et par le point, lumineux.

Soit, MAM', fig. 10, l’intersection du miroir par ce plan. Placons-y en S le point lumineux , et désignons par S I le rayon incident que nous avons particulièrement considéré. Du point I au centre de la sphère, menons la normale IC, et prenant l’angle CIR égal à CI S , I R sera la direction du rayon réfléchi.

DES MIROIRS COURBES

Pour réduire cette construction en formule , menons du centre de la sphère la ligne CA au centre A de figure du miroir , dont je suppose que le contour soit circulaire ; et nous servant de cette ligne comme d’un axe de coordonnées , nommons X, X', Y, les angles que forment avec elles le rayon incident I S , le rayon réfléchi IR , et la normale IC. Cela posé , l’angle d’incidence CIS sera exprimé par Y — X; et l’angle de réflexion CIR le sera par X'—V; puisque ces deux angles doivent être égaux , on aura

X' — V — V — X ; d’où X' = ~x+2Y. (i)

L’angle V est donné dès qu’on se donne le point d’incidence I. Car si l’on nomme/ la distance IP de ce point à l’axe du miroir, on aura , en désignant C A ou C I par r ,

Si donc , outre le point d’incidence , on connaît encore l’un des angles X ou X' , on aura aussitôt l’autre par la relation (i) qui existe entre eux. D’après cela on pourra , étant donné le rayon incident , trouver le rayon réfléchi qui y correspond , et réciproquement.

Cette relation servira de même pour tous les autres rayons lumineux émanés de S et compris dans le même plan d’incidence S A C. Mais il y aura d’autres rayons qui s’écarteront de ce plan au-dessus ou au-dessous , et qui se réfléchiront dans les grands cercles qui les contiennent, ce qui semble devoir rendre leur marche plus difficile à calculer. Heureusement ce calcul n’est point nécessaire , du moins quand on se borne à considérer des incidences très-petites, parce qu’alors les rayons dont il s’agit, s’écartant très-peu du plan SAC , vont concourir aux mêmes foyers que les autres; de sorte que la considération des premiers suffit pour déterminer complètement le lieu et la situation de l’image qui résulte de leur ensemble. Ce cas étant le seul qui nous importe, puisque c’est le seul qui se réalise dans les applications usuelles , nous ne considérerons désormais que les rayons dirigés dans le plan d’incidence SAC, que nous nommerons le profil du miroir ? et nous supposerons encore que tous.

DES MIROIRS GOUREES. ïGg

ces rayons forment de très-petits angles avec l’axe central A C , condition indispensable pour que le concours dont nous venons de parler puisse avoir lieu. Ceci nous permettra par conséquent de considérer toujours dans nos formules les angles X , Y, X', comme très-petits, quoique pouvant être d’ailleurs positifs ou négatifs.

Commençons par examiner le cas où le point rayonnant S serait situé sur le prolongement même de l’axe AC, à une si grande distance que tous les rayons incidens qui en émanent puissent être censés parallèles à cet axe, fig. 1 1. Dans ce cas, l’angle X est nul , et , d’après la formule , l’angle X' devient égal à 2 Y. Par conséquent le triangle CIR est isoscèle , et C R = R I. Or l’angle Y devant toujours être supposé très-petit, d’après nos conditions précédentes, il s’ensuit que la somme des deux côtés CR et RI diffère extrêmement peu de C I , et seulement dans les termes de l’ordre du carré du sinus de cet angle. Négligeant donc cette différence , CR sera la moitié de C I ou de C A, c’est-à-dire du rayon de la sphère. Il est évident d’ailleurs que ce résultat n’est pas particulier au point d’incidence I que nous avons considéré , puisqu’il ne renferme rien qui caractérise ce point; ainsi tous les rayons réfléchis viendront également passer par le même point R de l’axe. De là résulte cette conséquence importante : lorsqu’un miroir sphérique , concave ou convexe , d’une petite étendue , reçoit un faisceau de rayons incidens parallèles à son axe , il les réunit par la réflexion en un seul foyer , situé à une distance de sa surface égale à la moitié du rayon de la sphère sur laquelle il est construit. Cet intervalle se nomme la distance focale principale du miroir , et le point R où elle se termine sur l’axe , se nomme le foyer principal . Lorsque le miroir est concave vers le point rayonnant , fig. 1 2 , le foyer principal est situé du côté de ce point en avant du miroir, et il s’y fait une concentration réelle de lumière. Mais si le miroir est convexe , fig. 1 3 , le foyer principal tombe au-delà de sa surface ; les rayons réfléchis ne peuvent donc pas traverser le miroir pour y parvenir, et ainsi le foyer n’indique alors que le point de concours de leurs prolongemens.

Ce cas étant résolu d’une manière générale , rien n’est plus

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facile que de trouver le lieu du foyer dans toutes les autres positions possibles du point rayonnant. En effet, soit S ce point, fig. i/t. Parmi tous les rayons qui en émanent, menons SI parallèle à l’axe CA du miroir. SI, en se réfléchissant, viendra passer au foyer des rayons parallèles , situé en D , milieu de C A ; de sorte que le rayon réfléchi sera ID. Menons encore S A dirigé au centre de figure du miroir , S A se réfléchira évidemment de l'autre côté de l’axe C A , en formant avec lui un angle égal ; de sorte que le rayon réfléchi sera A F. Prolongeons ID et AF jusqu’à ce qu’ils se coupent , le point F sera leur foyer , et ce sera aussi le foyer de tous les autres rayons émanés de S.

Pour réduire cette construction en formule, menons des points S , I , F , les ordonnées SH, IP , F Q , perpendiculaires sur l’axe C A , et représentons les deux premières par y 9 la dernière par Y. Appelons en outre A A' les abscisses AH, A Q du point rayonnant et du foyer, comptées sur l’axe AC, a partir du centre de figure A du miroir. Si nous exprimons le rayon de celui-ci par r, l’abscisse AD du foyer des rayons parallèles sera | r , et on pourra la regarder comme sensiblement égale à PD; car l’arc AI étant supposé très-petit, son sinus-verse AP devient négligeable. Parla même raison , A et A' pourront être censées égales à PH et à P Q. Cela posé, l’égalité des angles H AS et Q A F , situés de part et d’autre de l’axe, donnera d’abord

car ce sont là les expressions de leurs tangentes trigonométriques. De même, l’égalité des angles QDF, PDI donnera

De ces deux équations réunies , l’on tire

La première formule donnera la distance focale A', quand la distance A du point rayonnant au miroir sera connue , ou réci-

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proquement. Lorsque A et A' seront connus , la seconde déterminera Y, c’est-à-dire la distance du foyer à l’axe du miroir. Le signe de Y , comparé à celui de y , indiquera si le point rayonnant et le foyer sont situés du même côté de l’axe , ou l’un au-dessus , l’autre au-dessous. Si, au lieu d’un seul point rayonnant , l’on veut supposer un objet d’une étendue finie , il n’y aura qu’à appliquer successivement ces formules aux divers points qui le composent, et le système de leurs foyers formera l’image de l’objet. Ce calcul peut être abrégé, en remarquant que la première relation entre A et A' est indépendante dey , c’est-àdire de la distance des points rayonnans à l’axe du miroir ; d’où il résulte que tous les points de l’objet qui sont situés sur une même ligne droite perpendiculaire à l’axe , ont aussi leurs images à une même distance A du miroir.

Pour réaliser de la manière la plus simple tous les cas que nos formules embrassent , il faut employer comme corps rayonnant la flamme d’une bougie ,que l’on place successivement àdiverses distances d’un miroir concave ou convexe. Alors on se donne la distance A de l’objet, au miroir , et la formule donne la distance A' du miroir au foyer.

Commençons par supposer le miroir concave ; c’est le cas de la figure sur laquelle nos calculs sont établis. D’abord, si la flamme est fort éloignée du miroir , en sorte que A soit fort considérable par rapport à r , l’image se forme presqu’au foyer des rayons parallèles , c’est-à-dire au-devant du miroir, à une distance égale à i r; et on peut rendre ce phénomène sensible en plaçant en ce point un verre dépoli , sur lequel on reçoit les rayons réfléchis. Si au lieu de la flamme d’une bougie 011 emploie pour objet la lumière même du soleil , il se forme au foyer principal une petite image concentrée du soleil qui y porte une vive chaleur et une lumière éblouissante : c’est le cas de A infini. A mesure que A diminue, A' augmente, comme l’on peut s’en assurer d’après la formule, et l’objet se rapproche de son image, qui est toujours en avant du miroir et renversée. Lorsque A ~ r, on a aussi A' ~ r ; l’objet est placé au centre de courbure du miroir , et coïncide avec son image, A diminuant

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toujours, A' le surpasse, et l’image s’éloigne du miroir plus que l’objet , en grandissant et restant toujours renversée. On peut encore la rendre sensible, comme dans les cas précédens, en la recevant sur un verre dépoli , que l’on regarde du côté opposé. Mais lorsque A — ~ r , ce qui met l’objet au foyer des rayons parallèles , la distance focale A devient infinie , et l’image s’éloigne indéfiniment ; de sorte qu’il devient impossible de l’apercevoir. Enfin A continuant toujours à décroître , A' devient négatif, c’est-à-dire que l’image reparaît au delà du miroir du côté opposé à l’observateur. Elle paraît alors droite , agrandie , et se forme à une distance d’autant plus petite, que A est moindre; de sorte qu’elle se rapproche du miroir en même temps que l’objet, quoique du côté opposé. Enfin, quand A devient nul, A' devient aussi nul , et l’objet, et son image coïncident sur la surface du miroir.

Les phénomènes produits par les miroirs convexes sont beaucoup plus simples. Pour les obtenir, il faut, dans notre formule, faire le rayon r négatif , afin d’intervertir la direction de la courbure que nous avions supposée dans notre construction. Alors la relation entre A et A' devient

d’où

L’objet étant toujours situé au-devant du miroir , A est toujours positif. est donc constamment négatif, c’est-à-dire que l’image se forme toujours au-delà du miroir. Elle paraît droite, et moindre que l’objet ne paraîtrait à la même distance. D’abord , quand l’objet est infiniment éloigné, A' est égal à — \ r, et l’image se forme à une distance du miroir égale à la moitié du rayon de sa courbure. Mais à mesure que l’objet se rapproche du miroir, A diminue, et par suite A'; ce qui fait que l’image se rapproche du miroir. Enfin, quand A est nui, A' devient aussi nul, et l’objet coïncide avec son image sur le miroir même.

Lorsqu’on veut se servir de miroirs sphériques pour des expériences qui demandent de l’exactitude, il faut savoir déterminer lenr foyer. Si le miroir est concave, on le place dans une chambre peu éclairée , à quelque distance d’une fenêtre, d’où

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l’on puisse apercevoir divers objets suffisamment éloignés. O11 tourne sa concavité vers la fenêtre, en l’inclinant un peu à droite ou à gauche , comme on le voit fig. i5 ; de manière que le foyer des rayons réfléchis se projette dans la partie obscure de la chambre. Alors on présente dans cette direction un morceau de carton blanc FF, que l’on rapproche ou que l’on éloigne du miroir , jusqu’à ce que les images des objets viennent s’y peindre avec netteté. Quand on a trouvé le point convenable pour cet effet, on mesure sa distance au centre de figure du miroir, et elle est sensiblement égale à la moitié du rayon de sa courbure. Mais cette méthode exige que la surface du miroir n’occupe qu'une très-petite portion de la sphère sur laquelle il est travaillé; sans quoi la réunion des rayons en un seul foyer 11’est plus rigoureuse, et les approximations dont nous avons fait usage dans nos calculs ne seraient plus applicables.

Si le miroir est convexe, l’opération est plus difficile. Il faut alors coller sur un de ses diamètres une bande de papier noir DO, fig. 16 , en deux points de laquelle on pratique de petites ouvertures circulaires à égales distances du centre de figure. On fait ensuite tomber sur le miroir la lumière du soleil. Les rayons lumineux réfléchis par les deux ouvertures divergent à partir d’un même point qui est le foyer des rayons parallèles. On mesure donc !eur écartement à diverses distances de la surface du miroir, et l’on en conclut le point de leur concours, dont la distance à la surface doit être la moitié du rayon de la sphère. Cette méthode est nécessairement susceptible de peu d’exactitude; mais si l’on avait besoin de mesures trèsprécises, ce qui est fort rare avec cette espèce de miroir, on pourrait les obtenir à l’aide d’un instrument que l'on nomme le sphérornètre , et que nous décrirons plus loin.

Quand on voudra seulement vérifier par l’observation les divers résultats que nous avons déduits des formules, il sera à peu près indifférent d’employer des miroirs métalliques ou des miroirs de verre. Il faut néanmoins remarquer qu’avec ces derniers , on a toujours deux images , l’une réfléchie par la première surface, l’autre réfléchie par la seconde. Celle-ci même est ordi-

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iiairement la plus lumineuse , parce que ,^)our augmenter l’intensité de la réflexion, l’on applique sur la surface postérieure du verre un enduit métallique , formé par un amalgame d’étain et de mercure que l’on nomme le tain ; de sorte qu’à proprement parler, un pareil miroir est réellement composé d’un miroir antérieur de glace , et d’un miroir postérieur métallique. Cette duplication d’images n’a point d’inconvénient grave , lorsqu’on veut simplement observer les résultats généraux de la réflexion ; mais elle serait intolérable dans des observations précises , surtout si l’on voulait grossir les images par des loupes placées près de l’œil, comme il est nécessaire de le faire pour l’astronomie. Aussi les miroirs de métal sont -ils alors les seuls dont on fasse usage. On verra dans l’optique analytique la manière dont ils doivent être employés pour former ces instrumens que l’on appelle des télescopes catoptriques.

1)E L’HÉLIOSTAT.